Compléments sur les suites - Récurrence Exercices - Corrigé Exercice Pour n N nn + ), on pose Hn) : k := + + 3 + + n =. k= Pour n =, les deux membres de l égalité valent et donc H) est vraie. Soit ensuite n N tel que Hn) est vraie. Montrons que Hn + ) est également vraie. Par hypothèse de récurrence, on a nn + ) [ n ] ++3+ +n + ) = ++3+ +n + n + ) = + n + ) = n + ) + n + )n + ) =. Ainsi Hn + ) est vraie. Le principe de récurrence assure que pour tout n N, Hn) est vraie i.e. nn + ) k = + + + n =. k= Exercice Soit x R\{}. Pour n N, on pose Hn) : x k := + x + x + + x n = xn+ k=0 x. Pour n = 0, on a x 0 = = x donc H0) est vraie. x Soit n N tel que Hn) est vraie. Montrons que Hn + ) est vraie. On a + x + x + + x n+ = + x + x + + x n + x n+ = xn+ + x n+ x = xn+ x n+ x) x = xn+ + x n+ x n+ x = xn+ x. Et par suite, Hn + ) est vraie. Le principe de récurrence assure que pour tout n N, Hn) est vraie i.e. k=0 x k = + x + x + + x n = xn+ x. Exercice 3 Pour n, on pose Hn) : n n. Pour n =, les deux membres de H) valent et donc H) est vraie. Soit n N, n tel que Hn) est vraie. Montrons que Hn + ) est vraie. On a Il suffit donc de montrer que n n + ). Or n+ =. n n par Hn). n n + ) = n n = n ) n + ).
Comme n, alors n et n + sont tous les deux positifs et donc n n + ) 0. Autrement dit, n+ n n+). Ainsi Hn+) est vraie et par suite, par le principe de récurrence, pour tout n, Hn) est vraie i.e. n n. Exercice Pour n N, on pose Hn) : il existe k Z tel que n + = 3k. Pour n = 0, on a n + = + = 3 donc H0) est vraie. Soit n N tel que Hn) est vraie. Donc il existe k Z tel que n + = 3k ; autrement dit, n = 3k. Donc n+ + =. n + =.3k ) + = k = 3k ) = 3k, avec k = k Z. Ainsi Hn +) est vraie. Le principe de récurrence assure que pour tout n N, Hn) est vraie i.e. n + est un multiple de 3. Exercice 5 i) On remarque que pour tout n N, on a u n > 0 donc pour déterminer le sens de variation de u n ), on peut s intéresser à u n+ et le comparer à. Alors soit n N, on a u n u n+ u n = 3 n+ n + 3 n n = 3n n +. Et donc u n+ = 3n u n n + = n n+ > 0. Autrement dit, u n+ > et par suite u n ) est strictement u n croissante. ii) Soit n N, on a v n+ v n = n + ) n = + n+) n+) ) ) n = n n n+) n+) + n. Or n + > n > 0 donc n + ) > n car la fonction x x est strictement croissante sur R + et donc n + ) < n car la fonction x x est strictement décroissante sur R +. Donc v n+ v n > 0 et par suite, v n ) est strictement croissante. iii) Soit n N, n. On a w n+ w n = 3n + n 3n + 3n + )n ) 3n + )n ) 7 = = n n )n ) n )n ) < 0. Donc w n ) est strictement décroissante. iv) Soit n N. On a y n+ y n = Donc y n ) est strictement croissante. + + + n + ) n+ + + + ) n = > 0. n+ v) On a z 0 = et z = donc z 0 > z et ainsi, z n ) ne peut pas être croissante. Par ailleurs, z = 3 donc z < z et par suite, z n ) ne peut pas être décroissante. Donc finalement, z n ) n est pas monotone.
vi) Soit n N. On a t n+ t n = n + )) 3 n) 3 = n 3 n) 3 = 3n + 3n = 3 n ) + ) < 0. Donc t n ) est strictement décroissante. Exercice ) En calculant les premiers termes de u n ) et v n ), on obtient : u 0 =,u = 3,u = 9,u 3 = 5 7, et v 0 = 9, v = 9 3, v = 9 9 et v 3 = 9 7. ) On peut conjecturer que v n = 9 pour tout n N. Montrons cette conjecture par récurrence. 3n Pour n N, on pose Hn) : v n = 9 3 n. H0) est vraie par définition de v n ). Soit n N tel que Hn) est vraie. Autrement dit, v n = 9. Par définition, on a 3n 9 ) v n+ = u n+ n+5 = 3 u n + n n+5 = 3 u n n+5 = 3 u n n + 5) = v n 3 = 3 n 3 = 9 3 n+. Donc Hn + ) est vraie. Le principe de récurrence assure que pour tout n N, v n = 9 3 n. Rq : grâce à la première question, notre conjecture aurait pu être v n+ = v n 3. Autrement dit, v n) est géométrique, de raison 3 et de premier terme v 0 = 9. Au final, on retrouve bien la même expression explicite de v n en fonction de n. 3) Par définition, on a pour tout n N, u n = v n + n 5 trouvée dans la question précédente, on trouve que donc en remplaçant v n par l expression u n = 9. n 5 +. 3n ) Cette question est nettement plus difficile que les précédentes. Soit n N. On a k = k=0u k=0 3 k + k 5) k=0 = 3 n+ + nn + ) 5n + ). 3 3
Exercice 7 Soit n N. On a u n+ u n = 3n + 8 3n + 5) = 3. Donc u n ) est arithmétique de raison 3. n + En revanche, en calculant v n+ v n = n + ) + n + n + = n 3n n + ) + ) ) n, on se rend compte + que v n+ v n n est pas constante, donc v n ) n est pas arithmétique. De même, le calcul de v n+ nous montre que ce quotient n est pas constant et alors v n ) n est pas géométrique non plus. Enfin, pour tout n N, on a w n+ w n = donc w n ) est géométrique de raison. Exercice 8 La suite u n ) est arithmétique de raison r donc u n = nr +u 0 pour tout n N. Nous allons utiliser cette formule pour répondre aux différentes questions. ) On a 30 = u =. + u 0 donc u 0 = et par suite, u 8 = + = 38. ) On a u u = r donc r = 0 et alors u 0 = 5. 3) Cette question n a aucun sens... Ensuite v n ) est géométrique de raison q donc v n = q n v 0 pour tout n N. ) On a q = v v 5 =. ) On a v v 3 = v 3 v = 7 5 = q) donc v = 9 5. 3) On a q = v 5 v 3 = donc q = ou q =. Exercice 9 Soit n N. On a n + n + = n + ) donc u n = n + 3 n + 3 n + n + = finalement u n et u n ) est bornée. n + n + ) et ainsi u n. Par ailleurs, u n+ 3 n + )n + 3) < 0 donc u n) est décroissante et donc u n < u 0 =. Donc v n Soit n N. On a v n = n + n majorée. = n + n > 0. Donc v n) est minorée mais en revanche, elle n est pas Exercice 0 En calculant les premiers termes, on peut conjecturer que u n 8 pour tout n N. Montrons cette conjecture par récurrence. Pour n N, on pose Hn) : u n 8. Par définition, u 0 = donc Hn) est vraie. Soit n N tel que Hn) est vraie. Autrement dit, on suppose que 8 u n 8. Donc u n et par suite 8 u n 0. Donc 8 u n+ 0 et ainsi u n+ 8. Donc Hn + ) est vraie. La principe de récurrence assure que pour tout n N, Hn) est vraie i.e. u n 8.
Exercice Pour n N, on pose Hn) : u n. H0) est vraie par définition de u 0. Soit n N tel que Hn) est vraie. On a donc u n donc u n + et donc u n + car la fonction x x est croissante sur R +. Donc u n+. Ainsi Hn + ) est vraie. Le principe de récurrence assure que pour tout n N, on a u n. Rq : une étude un peu plus attentive de la suite montre qu en fait la suite est constante égale à! Montrer le par récurrence. Exercice ) On a S =, S = 5 et S 3 =. ) Soit n N. On a S n+ = S n + n + ). nn + )n + ) 3) Pour n N, on pose Hn) : S n =. On vérifie aisément que H) est vraie. Soit n N tel que Hn) est vraie. D après la question précédente, on a Donc S n+ = S n + n + ) nn + )n + ) = + n + ) par Hn). nn + )n + ) + n + ) S n+ = n + )nn + ) + n + )) = = n + )n + 7n + ) n + )n + )n + 3) =. nn + )n + ) Donc Hn + ) est vraie. Par le principe de récurrence, pour tout n N, on a S n =. Exercice 3 Partie A : On considère la fonction f : [,3] R. x 8x + 3 x + La fonction f est dérivable sur I comme quotient de fonctions dérivables et pour tout x [,3], on a f 8x + ) 8x + 3) 5 x) = x + ) = > 0. Donc f est strictement croissante sur [,3]. Le tableau de x + ) variations de f sur I est le suivant : x 3 f + f C 3 7 5
Partie B : Pour n N, on pose Hn) : < u n < 3. H) est vraie car u = 3. Soit n N tel que Hn) est vraie. D après la partie A, la fonction f est strictement croissante sur [,3] donc en appliquant f à Hn), on obtient < 7 = f ) < f u n) = u n+ < f 3) = 3. Et ainsi, Hn + ) est vraie. Le principe de récurrence assure que pour tout n N, Hn) est vraie i.e. < u n < 3. Partie C : On définit v n = u n 3 pour tout n N. u n + Soit n N. On a v n+ = u n+ 3 u n+ + = 8u n + 3 u n + 3 = 5u n 5 8u n + 3 u n + + 9u n + 9.u n + u n + = 5 9 v n. Donc v n ) est géométrique de raison 5 9. Par ailleurs, v 0 = 5 3. ) 5 n. Donc, on montre par récurrence que pour tout n N, on a v n = 5 3 9 Par ailleurs, on a v n = u n 3 u n + donc u n = v n + 3 pour tout n N. Donc finalement, pour tout n N, v n 3 5 ) 5 n 3 9 u n = ) 5 n. + 5 3 9 Exercice Entrées : a, un nombre début algorithme n 0 3 u 0 tant que u a faire 5 n n + u u + n 7 fin tant que 8 retourner n 9 fin algorithme Alors pour a =, on trouve n =, pour a =, n = 3 et pour a =, n = 7.
Exercice 5 ) On a u =, u = 3, u 3 = 7, u = 5, u 5 = 3 et u = 3. ) On conjecture que pour tout n N, on a u n = n. 3) Pour n N, on pose Hn) : u n = n. H) est vraie par définition de u n ). Soit n N tel que Hn) est vraie. On a u n+ = u n + = n )+ = n+. Donc Hn + ) est vraie et par suite, par le principe de récurrence, on a que pour tout n N, u n = n. Exercice Par définition, si n N, n! = nn )n )... Or dans ce produit, tous les termes sont supérieurs à sauf ), donc n! n. 7