1 Introduction à l effet Doppler.

Introdution à l effet Doppler Ph. Ribière ribierep@orange.fr Merredi 9 Novembre 2011 1 Introdution à l effet Doppler. Vous avez tous fait l expériene de l effet Doppler dans la rue, lorsqu une ambulane, toute sirène allumée passe à vos ôtés ou qu une moto passe près de vous? Quelle est votre sensation sonore? 2 L effet Doppler pour une onde sonore. 2.1 Formule de l effet Doppler sonore pour un réepteur fixe. Pour interpréter ela, imaginons une soure S qui émet des bips sonores à intervalle de temps régulier T S. Un réepteur R se situe sur la trajetoire retiligne de la soure. Le son se propage à la vitesse. 2.1.1 La soure se rapprohe du réepteur. Considérons le as où la soure S se rapprohe à la vitesse v S du réepteur. Un premier bip est émis par la soure à une date t 1 A la date t 1 la soure et le réepteur sont distants de d. Le bip est perçu par le réepteur à une date t 1 = 1

Ph. Ribière IPHO 2011 2 Un seond bip est émis par la soure à une date t 2 = t 1 + T S Le bip est perçu par le réepteur à une date t 2 = La soure se rapprohe du réepteur don la durée de propagation diminue, e qui modifie la période perçue (et don la fréquene) de l onde sonore. Le réepteur voit don les bips espaés d un intervalle de temps T R = Don une fréquene f R = Don une pulsation ω r = Don une longueur d onde (sonore) λ R = 2.1.2 La soure s éloigne du réepteur. Considérons maintenant le as où la soure S a dépassé le réepteur et s éloigne don à la vitesse v S du réepteur. Le réepteur voit les bips espaés d un intervalle de temps T R = Don une fréquene f R = Il est maintenant possible d interpréter votre expériene sonore de l effet Doppler, sahant que les sons graves orrespondent à des basses fréquenes et les sons aigus à des hautes fréquenes.

Ph. Ribière IPHO 2011 3 Figure 1 Effet Doppler sonore 2.1.3 Formule de l effet Doppler pour un réepteur fixe. Nous retiendrons don la relation suivante, qui regroupe et généralise les formules vues i-dessus : f R = 1 1 v S. u S R.f S (1) Appliation : Une ambulane qui se déplae à v A = 20m.s 1 émet le la à 440Hz. Un passant immobile regarde le passage de l ambulane. Quelle fréquene perçoit-il lorsque l amulane se rapprohe puis quand elle s éloigne? La vitesse du son dans l air est de 340 m.s 1 Remarque : Que se passe-t-il si v S =? La fréquene f R tend vers. Que se passe-t-il du point de vu physique? Les ondes sonores émises par la soure se propagent à la vitesse, qui est aussi la vitesse de propagation du son. Don toutes les ondes sonores émises par la soure vont arriver au même instant au niveau

Ph. Ribière IPHO 2011 4 du réepteur. L aumulation de toutes es ondes (et don de la puissane sonore) est perçue par le réepteur omme un grand bruit sourd. C est e bruit que vous perevez lorsqu un avion militaire franhit le mur du son, est à dire que sa vitesse dépasse la vitesse du son. Les ondes sonores émises se onentrent et génèrent une onde de ho. Vous retrouvez alors le fait que l onde sonore est, entre autre, une onde de pression. La variation de pression d une onde sonore lassique est faible (quelques pasals 1 omparés à la pression atmosphérique de l ordre de 10 5 Pa) mais leur aumulation génère une forte variation de pression suseptible de faire exploser les vitres. Figure 2 Passage en supersonique et onde de ho sonore. Autre formulation de l effet Doppler : Il peut être intéressant de aluler le déalage relatif en fréquene, dû à l effet Doppler. f f = f R f S f S = Nous retiendrons don la relation suivante, valable si les vitesses de déplaements sont faibles devant la vitesse de l onde : f f 1. 20 Pa orrespondent à un son de 120dB = f R f S f S v S. u S R (2)

Ph. Ribière IPHO 2011 5 Figure 3 Génération de l onde de ho sonore. 2.2 Formule générale de l effet Doppler sonore. Dans un as plus général, la soure et le réepteur peuvent être en mouvement l un par rapport à l autre. Néanmoins nous nous limiterons au as où les mouvements s effetuent toujours sur la droite Soure-Réepteur que nous nommerons axe u x. Dans e as, la vitesse (algébrique) de la soure est v S et elle du réepteur est v R. (Les deux vitesses sont omptées positives suivant + u x ) Pour trouver la formule de l effet Doppler, l idée est de se ramener à la situation préédente par un hangement de référentiel. On se plae don dans le référentiel R où le réepteur est fixe, soit un référentiel qui se translate à la vitesse +v R par rapport au référentiel R d origine. Dans e référentiel R, la soure se déplae à la vitesse v S = Les ondes sonores se déplaent elles à la vitesse = En injetant es deux valeurs dans la formule 1, il vient finalement : f R =

Ph. Ribière IPHO 2011 6 Nous retiendrons don la relation suivante, qui généralise l ensemble des as renontrés : f R = 1 v R. u S R 1 v S. u S R.f S (3) Autre formulation de l effet Doppler : Il est là enore intéressant de aluler le déalage relatif en fréquene, dû à l effet Doppler. f f = f R f S f S = Nous retiendrons don la relation suivante, valable si les vitesses de déplaements sont faibles devant la vitesse de l onde : f f = f R f S f S ( v S v R ). u S R (4) De plus, l énoné demande parfois de travailler ave la longueur d onde et plus exatement ave l éart relatif des longueurs d ondes. Pour trouver la formule faisant intervenir les longueurs d onde onnaissant la relation préédente, il faut prendre la différentielle logarithmique de l expression liant longueur d onde et fréquene : λ =.T = f. Il faut aussi toujours vérifier par le raisonnement physique la pertinene du résultat. Pour ela, nous retiendrons que : Le rapprohement relatif de la soure et du réepteur fait augmenter la fréquene reçue (déalage vers les sons aigus). L éloignement relatif de la soure et du réepteur fait diminuer la fréquene reçue (déalage vers les sons graves). Appliation : interprétation de la fréquene perçue dans l exemple i-dessus.

Ph. Ribière IPHO 2011 7 Citons pour finir deux appliations de l effet Doppler Sonore : les radars (routiers, au tennis,...) et l éhographie Doppler. 2.3 Formulaire de l effet Doppler sonore. A retenir, pour les ondes sonores : L onde sonore émise par la soure se déplaçant à la vitesse v S à la fréquene f S, est perçue par le réepteur en mouvement à la vitesse v R à la fréquene f R f R = 1 v R. u S R 1 v S. u S R.f S (5) e qui orrespond, pour des vitesses v <<, à un éart relatif de fréquene : f f = f R f S f S ou un éart relatif de longueur d onde : ( v S v R ). u S R (6) λ λ = λ R λ S λ S ( v S v R ). u S R (7) Reste à retenir l interprétation physique du phénomène : Le rapprohement relatif de la soure et du réepteur fait augmenter la fréquene reçue ou diminuer la longueur d onde (déalage vers les sons aigus). L éloignement relatif de la soure et du réepteur fait diminuer la fréquene reçue ou augmenter la longueur d onde (déalage vers les sons graves). 3 L effet Doppler pour une onde lumineuse. 3.1 Introdution qualitative. Le as des ondes lumineuses est plus déliat. Néanmoins, la démonstration faite à la partie 2.1 tient en remplaçant les bips sonores par des flash lumineux. La première formule (1) est don vraie aussi pour des ondes lumineuses. Mais la démonstration faite dans la partie 2.2, elle, en faisant un hangement de référentiel, lâhe. Il n est plus vrai d érire que dans le référentiel R, la vitesse des ondes =-v R. En effet, la théorie de la relativité d Einstein (1905) suppose que les lois physiques sont invariantes par hangement de référentiel, e qui suppose entre autre que la vitesse des ondes lumineuses est la même dans tous les référentiels. Au final, dans R et R, la vitesse des ondes lumineuses est.

Ph. Ribière IPHO 2011 8 Mais ette hypothèse amène un nombre important de modifiations de la vision du monde. En partiulier, le temps ne s éoule pas de la même façon dans R et R et les mesures de distane ne sont pas les mêmes dans R et R. De e fait, l effet Doppler apparaît mais la démonstration est, vous l avez ompris, moins simple. C est la formule donnant l éart relatif des fréquenes ou des longueurs d onde qui se généralise : f f λ λ = f R f S f S = λ R λ S λ S ( v S v R ). u S R ( v S v R ). u S R Les appliations de l effet Doppler lumineux sont par exemple le refroidissement d atomes par Laser (de manière shématique, un atome en mouvement ne voit pas les mêmes fréquenes qu un atome au repos et don il n absorbe pas les ondes de mêmes fréquenes) ou bien la mesure de la forme de la galaxie ou de l expansion de l Univers. Figure 4 Déalage vers le rouge du spetre lumineux d absorption ou Redshift. En bas expériene sur Terre et en haut, résultat de l observation d une galaxie lointaine. Remarque : La formule donnée n est valable que pour les faibles vitesses omparées à la vitesse de la lumière. Néanmoins, la formule exate diverge si la vitesse v de la partiule tend vers. Cet effet, analogue de l onde de ho sonore, est appelé effet Cerenkov et est observé dans l eau des entrales nuléaires en maintenane : une lumière intense est émise donnant au réateur sous l eau une ouleur bleue.

Ph. Ribière IPHO 2011 9 Figure 5 Effet Cerenkov dans un réateur. 3.2 Formulaire de l effet Doppler lumineux Pour les ondes lumineuses, dans le as de vitesses v << : f f = f R f S f S ( v S v R ). u S R (8) λ λ = λ R λ S λ S ( v S v R ). u S R Interprétation physique du phénomène : Le rapprohement relatif de la soure et du réepteur fait augmenter la fréquene reçue ou diminuer la longueur d onde (déalage vers le bleu). L éloignement relatif de la soure et du réepteur fait diminuer la fréquene reçue ou augmenter la longueur d onde (déalage vers le rouge, redshift en anglais). (9)

Ph. Ribière IPHO 2011 10 Figure 6 spetre des ondes életromagnétiques 4 Exeries sur l effet Doppler. 4.1 L effet Doppler dans tous ses états. Une moto roule à 60km.h 1 et son moteur est à 3000 tours/min. Le bruit de la moto est lié aux explosions qui se produisent dans les ylindres de la moto : à haque tour de l arbre moteur, 4 des 8 pistons de la motos ont été le siège d une explosion. La vitesse du son dans l air 2 sera prise de 330m.s 1 et la vitesse de la lumière de 3.10 8 m.s 1. 1. Quelle est la fréquene du son émis par la moto? 2. Cette moto (qui roule trop vite) roise un piéton qui attend pour traverser. Quelle est la fréquene du son perçu par le piéton lorsque la moto se rapprohe du passage piéton? 3. Quelle est la fréquene du son perçu par le piéton lorsque la moto a dépassé le passage piéton? 4. La moto double une voiture qui roule à 40km.h 1. Quelle est la fréquene du son perçu par l automobiliste avant le dépassement? 5. Quelle est la fréquene du son perçu par l automobiliste après le dépassement? 6. La moto passe un feu orange (e qui est très dangereux.) Un agent de la irulation siffle ette infration ave son sifflet qui émet un son à 900Hz. Quelle est la fréquene du son perçu par le motard? 7. Le motard, physiien, dit alors : mais j ai vu le feu vert par effet Doppler! Et l agent lui répond : Dans e as, je vous retire votre permis pour grave exès de vitesse! Est e possible? 2. La vitesse du son dans l air dépend de la température, elle peut don légèrement varier, il faut bien lire l énoné.

Ph. Ribière IPHO 2011 11 Dans le as de l affirmative, aluler la vitesse (peu réaliste) qu aurait du avoir le motard pour voir le feu vert (λ v = 560nm) au lieu d orange (λ o = 610nm). 4.2 Le sous marin : effet Doppler lors d un aller retour de l onde. Le sous marin l Invinible, qui se déplae à la vitesse v I = 1m.s 1, en mission d entraînement, a pris en hasse le bâtiment le Dusquesne. Afin de déterminer la vitesse de e bâtiment, le sous marin émet des ondes ultra-sonores de fréquene f E = 40kHz qui vont se réfléhir sur le bateau qui se déplae à la vitesse v D. Le son perçu au retour par le sous marin est f R = 39,856kHz. La vitesse du son dans l eau est de 1480 m.s 1 1. Etablir le lien entre la fréquene f I de l onde sonore que perevrait le Duquesne s il la aptait, f E et les vitesses. 2. Etablir le lien entre la fréquene f I et f R 3. En déduire le lien entre f E et f R 4. Caluler alors la vitesse du bâtiment. 4.3 Deux interprétations de l onde sonore dans le tuyau. Un haut parleur est plaé à l entrée x=0 d un tuyau sonore. Son rôle est uniquement de guider le son pour éviter que elui ne se répartisse dans tout l espae. L onde sonore émet un son de fréquene f = 500Hz. L autre extrémité du tuyau sonore est fermée par une paroi mobile à la vitesse u (très faible de ). A t=0, la paroi mobile est mise en mouvement, partant de x=d. Un miro est mis en x R = D, il perçoit un son de fréquene approximative f 500Hz modulé en 2 amplitude (l amplitude roît et déroît jusqu à s annuler dans le as présent). La durée entre deux silenes est τ = 34ms. La vitesse du son dans l air sera prise de 340m.s 1 1. Quelle est la fréquene de l onde réfléhie du fait du mouvement de l extrémité? Quel autre phénomène ondulatoire permet d expliquer la modulation d amplitude perçue? Déterminer la vitesse u. 2. On peut aussi interpréter les observations omme la onséquene d ondes stationnaires lentement perturbées par le déplaement de l extrémité du tuyau. De quelle distane se déplae l extrémité mobile entre deux silenes? Retrouver la valeur de u. Remarque : un tuyau sonore dont l extrémité est immobile est un système qui permet aussi de mesurer failement la vitesse de l onde sonore. Un système d onde stationnaire se rée dans le tuyau et il est alors possible et faile ave un miro de mesurer la longueur d onde. Connaissant la fréquene émise, il devient alors faile de aluler la élérité de l onde sonore. = λ.f. 4.4 Largeur de raie Doppler. 1. L énergie de l atome d hydrogène est quantifiée par le nombre quantique prinipal n. E atome H (n) = 13,6 n 2 ev. Cet atome se désexite de l état n=3 vers l état n=2 en émettant un photon. Caluler

Ph. Ribière IPHO 2011 12 la fréquene et la longueur d onde de l onde assoiée à e photon. Cette onde életromagnétique est-elle dans le visible, l infra-rouge ou l ultra-violet? (Rappel : h=6,62.10 34 S.I.) 2. La raie de lumière possède ependant une ertaine largeur λ. Cette largeur est proportionnelle à T où T désigne la température. Sahant que les atomes ont une énergie inétique d agitation thermique telle que E C = 5 2 k BT (k B désigne la onstante de Boltzmann), expliquer la dépendane en T de λ. 3. Caluler en ordre de grandeur la largeur de la raie à température ambiante (25 C). (Rappel : k B =1,38.10 23 S.I., N A =6,023.10 23 et M H = 1g.mol 1 ) Figure 7 Spetre visible de l hydrogène 4.5 Redshift, paradoxe d Olbers et onstante de Hubble. L astronome Olbers énonça le paradoxe de la nuit noire en 1823. Comment est-il possible que le iel de la nuit soit noir, ar quelle que soit la diretion dans laquelle on observe, il y a toujours une étoile et don le iel noturne devrait être au moins aussi lumineux que le iel de la journée? 3 Différentes hypothèses ont été avanées pour résoudre e paradoxe, mais la véritable expliation n est apparue que réemment, ave l apparition de la théorie de la relativité d Einstein et la ompréhension que l Univers n est pas statique mais en expansion. 1. La galaxie Ursa Major I est observée et plus préisément les raies H et K du alium. Les longueurs d ondes trouvées sont λ H =413,0nm et λ K =416,6nm. Sur Terre, la mesure de es raies donne λ H =396,8nm et λ K =393,4nm. La galaxie Ursa Major I se rapprohe-t-elle ou s éloigne-t-elle de la Terre? 2. Déduire des deux mesures la valeur moyenne de la vitesse d éloignement de la galaxie de la Terre en km.s 1. 3. Le graphique de la distane D des étoiles à la terre en fontion du déalage Doppler z = λ λ observé depuis la Terre est représenté figure 8 Justifier à partir des observations de e graphique en éhelle logarithmique que le lien entre D et z est linéaire. 4. En déduire alors que D est proportionnelle à la vitesse (relative) d éloignement de la Terre v. 3. Olbers onevait alors l Univers omme statique et infini, ontenant une infinité d étoiles.

Ph. Ribière IPHO 2011 13 Figure 8 Loi de Hubble 5. La Loi de Hubble s érit don H O D = v où H O est la onstante de Hubble. A partir des résultats de la question 1, et sahant que Ursa Major I est située à 200Mp de la terre, en déduire une estimation de la onstante de Hubble en km.s 1.Mp 1. En effetuant une régression linéaire sur la ourbe, la onstante de H 0 75km.s 1.Mp 1 où Mp désigne le megaparse. (1p 3.10 16 m) 6. Quelle est la dimension de la onstante de Hubble? En déduire une estimation de l âge de l Univers. 7. Sahant que l Univers est en expansion, justifier que la nuit soit noire. 5 Corretion des exeries sur l effet Doppler. 5.1 L effet Doppler dans tous ses états. 1. f s = 4.50 = 200Hz 2. f R = 1 1 v S.f S = 210Hz 3. f R = 1 1+ v S.f S = 190Hz 4. f R = 1 v R 1 v S.f S = 203Hz 5. f R = 1+ v R 1+ v S.f S = 197Hz 6. f R = (1 v R ).f S = 854Hz

Ph. Ribière IPHO 2011 14 7. Le motard se rapprohe du feu triolore don il voit un déalage vers les faibles longueurs λ d onde, don ei est théoriquement possible. Calulons la vitesse. λ = λ R λ S λ S v R soit v R = λ. λ 2,46.107 m.s 1 = 6,83.10 6 km.h 1, e qui peu réaliste. 5.2 Le sous marin : effet Doppler lors d un aller retour de l onde. 1. f D = 1 v D 1 v I.f E 2. f R = 1+ v I 1+ v D.f D 3. f R = 1+ v I 1+ v D. 1 v D 1 v I.f E don v D = 3,67m.s 1 5.3 Deux interprétations de l onde sonore dans le tuyau. 1. f R = 1 u.f 1+ u E soit f R f E 2u.f E. Ave la formule des battements : a 0 os(ωt) + a 0 os(ω t) = 2.a 0 os( ω+ω.t) os( ω ω.t) le signal 2 2 enveloppe varie don à la pulsation ω ω Don (f R f E ).τ = 1 d où u = 2.f E.τ et s annule pour ω ω.τ = π 2 2 (e qui est homogène) 2. Le phénomène peut être vu omme une onde stationnaire lentement perturbée par le déplaement de l extrémité. Sahant que la distane entre deux minima est λ, on en déduit que λ = u.τ soit 2 2 u =, même formule que préédemment. 2.f E.τ 5.4 Largeur de raie Doppler. 1. E 3 E 2 = 3,022.10 22 J soit f =4,56.10 14 Hz et λ=657nm raie de Balmer, appartient au visible. 2. E C = 5 2 k BT = 1 2 mv2 d où v = 5k B T m et d après la formule de l effet Doppler pour les ondes lumineuses : λ = λ 0.v = λ 0 k B T. La raie est élargie par effet Doppler (ertains atomes ayant m une vitesse positive, se rapprohant, et d autres une vitesse négative, s éloignant). 3. λ=3,5.10 12 m, e qui est faible omparé à λ 0, les raies spetrales apparaissent fines. 5.5 Redshift, paradoxe d Olbers et onstante de Hubble. 1. Le déalage se fait vers les grandes longueurs d ondes don vers le rouge. (En anglais Redshift) 2. v = 14970km.s 1. 3. Quand z est multiplié par 10 (déalage d une déade), la distane est elle aussi multipliée par 10. On peut aussi dire que le oeffiient direteur de la droite est 1 sur le graphique (v z 1 soit lnv = 1.lnz) 4. z = λ λ = v eloignement don v D

Ph. Ribière IPHO 2011 15 5. v = H O.D ave H 0 72km.s 1.Mp 1. Remarque 1 : La mesure de la distane Terre étoile s éffetue en regardant la lumière reçue sur Terre de l étoile et en la omparant à la lumière supposée émise par l étoile. Remarque 2 : Le parse est la distane à laquelle le système Terre Soleil distant de 1u.a. 1,5.10 11 m serait vu sous une seonde d ar= π 180 60 60. 6. H 0 s exprime en seonde 1. H 1 0 = 4.10 17 s = 1,27.10 10 ans = 12,7Gans. 7. La lumière visible des étoiles lointaines, don s éloignant à grande vitesse de la Terre, est déalée vers les basses fréquenes don les grandes longueurs d onde, et se retrouve dans l infra-rouge, don invisible à l oeil. Seules les étoiles prohes sont visibles. La onstante de Hubble est aujourd hui onnue ave une préision de l ordre de 8%. La première estimation faite par Hubble était assez différente de ette valeur ar il se trompait sur la mesure de la distane D entre l étoile et la Terre. Figure 9 Loi de Hubble, évolution historique 6 Exeries non orrigés sur l effet Doppler. 6.1 Boite de nuit. Un haut-parleur distants de 10 m d un mur émet un son de fréquene égale à f=300 Hz. La son émis est réfléhi par le mur. Une personne se déplae entre les deux haut-parleurs à la vitesse de 3 m/s. Quelle est la fréquene des battements entendus?

Ph. Ribière IPHO 2011 16 6.2 Véloimétrie Doppler. On envoie des ultrasons de f 0 = 5MHz sur des globules sanguins qui s éloignent à la vitesse v d un entimètre par seonde. On suppose que la élérité de l onde dans le orps est = 1500m.s 1 1. A quelle fréquene les globules sanguins les réémettent-ils? 2. Quelle est la période du battement qui en résulte? 3. Reprendre le alul en supposant que l angle entre le faiseau sanguin et la sonde est de α = 30 6.3 Regard vers la Grande Ourse. La Grande Ourse est la troisième plus grande onstellation du iel. Elle ontient le grand hariot ou grande asserole, l un des astérismes les plus onnus de l hémisphère nord, ave ses sept plus brillantes étoiles. Dubhe (β Ursae Majoris), la deuxième étoile de la onstellation, distane de d=37,9 p (parse) de la terre, est une supergéante orange, environ 30 fois plus grande que le Soleil. C est également une étoile double ar elle possède un ompagnon, moins massif, distant de R=23 ua, qui orbite autour d elle en T=44 ans. Chaune des étoiles du système double émet de la lumière dans l orange λ = 565, 3nm. Quelles sont les fréquenes de la lumière qu elles nous envoient et que nous perevons depuis la terre? Rappel : la loi de Hubble affirme que pour une galaxie distante de d, la vitesse d éloignement v est donnée par v = H 0.d ave H 0 = 72km.s 1.Mp 1 (72 kilomètres par seonde et par mégaparse).

Ph. Ribière IPHO 2011 17 Table des matières 1 Introdution à l effet Doppler. 1 2 L effet Doppler pour une onde sonore. 1 2.1 Formule de l effet Doppler sonore pour un réepteur fixe................. 1 2.1.1 La soure se rapprohe du réepteur........................ 1 2.1.2 La soure s éloigne du réepteur.......................... 2 2.1.3 Formule de l effet Doppler pour un réepteur fixe................. 3 2.2 Formule générale de l effet Doppler sonore......................... 5 2.3 Formulaire de l effet Doppler sonore............................ 7 3 L effet Doppler pour une onde lumineuse. 7 3.1 Introdution qualitative................................... 7 3.2 Formulaire de l effet Doppler lumineux.......................... 9 4 Exeries sur l effet Doppler. 10 4.1 L effet Doppler dans tous ses états............................. 10 4.2 Le sous marin : effet Doppler lors d un aller retour de l onde............... 11 4.3 Deux interprétations de l onde sonore dans le tuyau.................... 11 4.4 Largeur de raie Doppler................................... 11 4.5 Redshift, paradoxe d Olbers et onstante de Hubble.................... 12 5 Corretion des exeries sur l effet Doppler. 13 5.1 L effet Doppler dans tous ses états............................. 13 5.2 Le sous marin : effet Doppler lors d un aller retour de l onde............... 14 5.3 Deux interprétations de l onde sonore dans le tuyau.................... 14 5.4 Largeur de raie Doppler................................... 14 5.5 Redshift, paradoxe d Olbers et onstante de Hubble.................... 14 6 Exeries non orrigés sur l effet Doppler. 15 6.1 Boite de nuit......................................... 15 6.2 Véloimétrie Doppler..................................... 16 6.3 Regard vers la Grande Ourse................................ 16