Grandeurs, mesures et tracés au cycle 2

Grandeurs, mesures et tracés au cycle 2 Mission AEFE Madagascar du 17 au 19 mars 2014

Éléments généraux Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique. (in BO HS n 3 juin 2008, p18) Cycle des apprentissages fondamentaux 2

Éléments généraux Découvrir les formes et les grandeurs En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance. (in BO HS n 3 juin 2008, p15) Cycle des apprentissages premiers 3

Découvrir les formes À l école maternelle Les élèves sont confrontés à des jeux, à des activités de perception, de classement, de rangement de formes, de constitution d algorithmes : le carré, le triangle, le rectangle, le rond sont connus. 4

Découvrir les formes À l école maternelle Les élèves sont aussi amenés à reproduire des figures, des assemblages de formes. Ils travaillent essentiellement sur des connaissances et des compétences spatiales. 5

Au cycle des apprentissages fondamentaux Le travail sur la perception spatiale des formes géométriques à travers des tâches de repérage et d'orientation conduit progressivement à aborder les connaissances géométriques qui permettent de résoudre des problèmes, portant sur des objets situés dans l'espace physique ou dans l'espace graphique. Les objets abordés au cycle II sont le carré, le rectangle, le triangle, le cercle, l'angle droit. 6

Le Livret Personnel de Compétences Items Situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement Reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels Utiliser la règle et l équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle Explicitation des items Situer un objet et utiliser le vocabulaire permettant de définir des positions (devant, derrière, à gauche de, à droite de ). - Décrire un carré, un rectangle, un triangle rectangle. - Reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits (cube, pavé ). - Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié. - Reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle. - Utiliser des instruments pour réaliser des tracés (règle, équerre). P19/20 des grilles de références 7

Le Livret Personnel de Compétences Items Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs Repérer des cases, des nœuds d un quadrillage Résoudre un problème géométrique Explicitation des items Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques (alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs). Repérer des cases, des nœuds d un quadrillage Résoudre un problème géométrique de reproduction, de construction guidée, de description de figures. P19/20 des grilles de références 8

Les évaluations nationales CE1 2010 9

Les évaluations nationales CE1 13

Les évaluations nationales CE1 14

L ancrage dans les programmes Cet ancrage s appuie sur le principe de la situation d enseignement-apprentissage à partir d OBJETS géométriques et du QUOTIDIEN. Ces activités visent des connaissances dites : 1. fonctionnelles (afin de résoudre des problèmes), privilégiant une entrée par les relations (avant les notions) et un appui sur le vocabulaire spécifique. 2. formelles (par exemple : l apprentissage immédiat de définitions ou de propriétés) (Ces connaissances sont visitées un peu plus tard) 15

L ancrage dans les programmes Une entrée par les relations : 1. Relations d appartenance et alignement 2. Parallélisme, perpendicularité 3. Égalité de longueurs 4. Repérage 5. Isométrie, similitude d objets (par superposition avec ou sans retournement, et un peu plus tard agrandissement ou réduction) 16

L ancrage dans les programmes Le vocabulaireest introduit progressivement, et pendant un court temps on accepte certaines expressions des élèves, telles que «rond» à la place de «cercle». La règle (graduée ou non), des gabarits, des boîtes à formes, des pochoirs, le papier calque, le papier pointé et quadrillé, du papier à maille triangulaire ou carré, des équerres et le compas (CE1) sont les outils et instruments utilisés au cycle II. 17

D une géométrie à l autre Il s agit d aider les élèves à «passer progressivement de : une géométrie de la perception où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception une géométrie de la compréhension où ils le sont par explicitation de leurs propriétés les objets et le recours aux instruments». à 18

D une géométrie à l autre En fonction du développement de l enfant 19

D une géométrie à l autre Géométrie des sens Perception (vue, toucher) et intuitions Géométrie des connaissances Instruments et connaissance Expérimentation Raisonnement preuve Dessin Figure Je vois Je sais Objet sensible Concept Carré, quadrilatère qui a quatre angles droits et ses quatre côtés de même longueur. 20

D une géométrie à l autre Pourquoi faut-il faire ce transfert? La perception ne suffit pas pour appréhender la géométrie, elle peut vous jouer des tours. Comment deux formes apparemment identiques (en forme et en taille) peuvent-elles avoir des aires différentes? 21

D une géométrie à l autre 22

Les différents espaces en géométrie Micro-espace Méso-espace Macro-espace développement représentation Ex. : vers 6/7 ans, l enfant passe du perceptif au représentatif, de l intuition à l opération 23

Les différents espaces en géométrie Micro-espace Méso-espace Macro-espace Espace proche du sujet; on peut voir, toucher et déplacer les objets de cet espace; il y a perception exhaustive des objets. Le sujet est à l extérieur de l espace. Il n est pas nécessaire de conceptualiser pour appréhender cet espace. Exemple: L espace de la table de l enfant Espace accessible à une vision globale. Les objets sont fixes ou semi-fixes, visibles selon diverses perspectives. Le sujet est à l intérieur de l espace; il peut s y déplacer pour observer selon différents points de vue. Une conceptualisation est utilepour appréhender cet espace (maquette, plan) Exemple: La classe de l enfant Espace accessible seulement à des visions locales. Les objets sont fixes et une partieseulement est sous le contrôle de sa vue. Le sujet est à l intérieurde l espace et doit coordonner des informations partielles. Une conceptualisation est indispensablepour appréhender cet espace (plan, carte). Exemples: Le village ou le quartier de l enfant, sa ville 24

Les différents espaces en géométrie Quelques concepts et notions à tenir compte : Intérieur, extérieur, frontière (limite) Latéralité, profondeur, hauteur Antériorité, postériorité Section (coupe, traverse, à travers ) Contigüe (touche», contact, contre ) Proximité, éloignement, les intervalles 25

Les pratiques Principes didactiques et pédagogiques 1. Favoriser l observation et la manipulation, 2. introduire de la pluralité, de la négation, de la hiérarchisation 3. Permettre la «constructivité» et la variabilité 4. Entrer par la problématisation 5. Aider à construire une méthodologie et fixer le vocabulaire 6. Entraîner à la validation par les instruments et les propriétés 7. Travailler sur les figures mais aussi les solides (lien, empreintes) 26

Les pratiques Pluralité Lors de l introduction d un concept présenter des exemples riches et variés 27

Les pratiques Négation Lors de la présentation d un concept il faut le situer par rapport au non-concept 28

Les pratiques Hiérarchisation Nécessité de replacer un concept parmi d autres plus généraux, plus particuliers 29

Les pratiques Carte d identité La constructionde cette carte est progressive 30

Les pratiques «Constructivité» La construction intuitive devra précéder l analyse et la pensée réflexive en passant par des situations-problèmes. Combien d emplacements sont disponibles pour poser cette forme? 31

Les pratiques Variabilité Le concept est présenté en faisant appel à tous les moyens de perception et de représentations possibles. 32

La main de l homme Liens avec l espace réel 33

La main de l homme 34

La main de l élève Plan et maquette de la classe 35

Manipulation Manipuler pour favoriser les images mentales «une image mentale, c'est de l'action intériorisée» (Piaget) Mettre les élèves en situation de manipulations très fréquentes et très variées. 36

Tracer pour comprendre Les activités de géométrie plane à l école ont une finalité : le développement d un langage et de ses règles d utilisation en mathématiques. La construction géométrique consiste à décrire les étapes de l élaboration d une figure plus ou moins complexe. DESSINER TRACER CONSTRUIRE 1. Dessin :expérience sur une feuille de papier 2. Reproduction instrumentée : langage en situation 3. Construction : propriétés d une figure dans un registre langagier 37

Tracer pour comprendre «Les activités de tracé sont fondamentales dans le processus de construction des connaissances géométriques.» DESSINER TRACER CONSTRUIRE AGIR COMPRENDRE METTRE EN MOTS Cela permet de dépasser peu à peu la perception au profit de la compréhension des propriétés et des relations. 38

De l espace au plan Des difficultés La géométrie plane n est pas une traduction des formes de l espace. Représenter des objets 3D en 2D, le passage du tri au bidimensionnel est source de conflit pour un élève. Faire le plan de la classe est problématique. La représentation spatiale sur une feuille de papier est source de difficulté (repérage, positions relatives des objets, passer d une latérale à une vue «d en haut» ) 39

Des difficultés Contrôle du geste graphique et utilisation des instruments. Quel calvaire pour un élève! Une tâche simple! 40

Des difficultés 1. Tenir la règle à deux mains souplement. 2. Aligner la règle sur un point puis la faire pivoter délicatement autour de ce point jusqu à l alignement soit réalisé. 3. Lâcher la règle d une main (en maintenant l autre fermement) 4. Attraper un crayon sans lâcher la pression sur la règle. Une main souple (crayon), une main ferme (règle) 5. Le trait débute sur un point et se termine exactement sur l autre 6. Tracer le trait : appui fort sur la règle et appui moins fort sur la crayon. 7. Le crayon doit suivre la règle en s appuyant légèrement dessus. La tâche la plus simple mobilise des habiletés motrices, des connaissances et des techniques. 41

Image mentale Des difficultés Dans une classe de cycle 2 : C est un carré. C est un losange, ce n est plus un carré. 42

Image mentale Des difficultés Dans une classe de cycle 2 : -Qui peut dire ce qu on appelle un sommet dans une forme géométrique? -C est la pointe en haut. -Mais alors, ce triangle n a qu un sommet? -Oui, en haut maîtresse, comme sur la montagne. Quels stéréotypes cela suppose-t-il? 43

Des difficultés Image mentale des réponses Pour favoriser la construction des objets théoriques en géométrie, il est nécessaire de varier les représentations. Objet théorique : le rectangle Quadrilatères dont les 4 angles sont droits. (6 représentations possibles) 44

Laisser l élève vivre la géométrie Stéréotype Autre représentation Un triangle Un rectangle Un carré 45

Laisser l élève vivre la géométrie Prendre en compte la dimension créatrive dans les apprentissages. Demander aux élèves de relier les points à leur convenance pour tracer des figures différentes. À travailler sur des moments de langage consacrés à la description des figures. 46

Laisser l élève vivre la géométrie Quelles sont les possibilités raisonnables de tracés? 47

Laisser l élève vivre la géométrie Reconstruire un carré à partir des pièces d un tangram (7 pièces) D un tangramini (5 pièces) L utilisation de pièces mobiles permet de mieux s approprier le concept. 48

Laisser l élève vivre la géométrie Exemple : un problème de recherche de CM2 adapté au CE1 (La tribu des math Magnard) Dans chaque figure, colorie : Un grand triangle Des petits triangles Des triangles rectangles Avec ou sans gabarit d angle 49

Problématiser Utiliser les instruments : 1. Dessiner un triangle rectangle à l aide d un gabarit (vérifier l angle droit et mesurer les longueurs des côtés (à indiquer en nombre de carreaux )). 2. Tracer un triangle rectangle sur une feuille pointée, une feuille quadrillée, une feuille blanche. 3. Aider à construire une méthodologie 50

Problématiser Étape 1 : tracer l angle droit avec gabarit ou équerre. Étape 2 : prolonger les côtés avec la règle. Étape 3 : mesurer la longueur des côtés. Étape 4 : relier les points B et C. 51

Validation et évaluation dans le groupe classe La validation dite «pratique» ou validation «à l œil» : elle consiste à dire si, perceptivement, une production est correcte ou non. (elle a ses limites) La validation instrumentée : recours aux instruments. Le passage à une validation basée sur les propriétés : plutôt pour le cycle3 MAIS l idée de la JUSTIFICATION est à travailler dès le cycle2 52

Évaluation des compétences par le maître L évaluation doit prendre en compte les différents champs : Perception Relations Propriétés En faisant intervenir des savoirs et des savoir-faire : Repérer Situer Reproduire -Tracer Résoudre 53

Évaluation des compétences par le maître Des propriétés Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs Des activités Repérer, Situer, Décrire et Nommer, Représenter, Reproduire, Tracer, Construire 54

Évaluation des compétences par le maître L élève doit repérer, situer, décrire et nommer des objets par rapport à soi / à des repères fixes dans la cour de récréation / à des repères fixes dans l espace classe des objets dans la feuille de papier des objets sur un quadrillage un cheminement Coder / décoder un cheminement sur quadrillage plan Décrire et nommer des formes / leurs caractéristiques / propriétés 55

Évaluation des compétences par le maître L élève doit représenter, reproduire Prendre conscience de ce qu est reproduire Notion d identique Notion de vérification (calque, mesure, nombre de cases, codage point, nœud, case) Cas de la symétrie axiale 56

Évaluation des compétences par le maître L élève doit tracer, construire À main levée Avec un gabarit ou un pochoir Avec un calque Avec un pliage Avec une règle Avec une équerre En suivant des consignes, un programme de construction 57

Pour l élève Tracer avec des points de construction 58

Pour l élève Tracer avec des points de construction 59

Pour l élève Tracer de restauration. 60

L importance des outils et instruments Le compas n est pas exigible au CE1, mais peut être très utiles (report de mesure) 61

L importance des outils et instruments Instrument fondamental au CP. Un principe pédagogique : faire en sorte que cet instrument soit reconnu comme incontournable pour tout tracé rectiligne. À quoi sert une règle graduée? Elle permet de tracer des lignes droites(droites) ou des morceaux de lignes que l on appelle segments. Elle permet de mesurer des longueurs. On trace au papier à crayon bien taillé. On appuie légèrement pour pouvoir effacer. 62

L importance des outils et instruments L équerre permet de reconnaître et de construire des angles droits. Pour plus tard, l équerre servira à construire et reconnaître des droites perpendiculaires. 63

Pour l élève C est une façon ludique de travailler la motricité fine et le calcul mental. 64

Défi Trouver tous les quadrilatères que l on peut former avec ces 4 triangles rectangles. Les 4 triangles sont identiques Le grand côté de l angle droit a une longueur double de celle du petit côté. À vous de jouer? 65

Défi 66

Géoplan Le logiciel Géoplan existe mais le mieux est de créer le sien ou plutôt les siens) JL Sigrist site JL Sigrist 67

Géoplan Une fiche d activité comme point de départ. 68

Géoplan Modalités pédagogiques du géoplan Travailler par 2 Procédé Lamartinière Reproduction Problématisation Vérification Fabrication Feuille pointée plastifiée Feutres de la couleur des élastiques Fond blanc ou support neutre pour la table de l élève et le tableau Un repérage des picots 69

Géogébra Le logiciel Géogébra des didactitiels sont utiles pour une première prise en main. 70

Faire de la géométrie C est Observer l espace réel, sensible et faire le lien avec les objets géométriques Passer d un espace perçu à un espace conçu Faire construire, tracer des objets géométriques (solides, figures) Proposer des activités (dont manipulations) finalisées dans un but identifié par les élèves S interroger (résoudre des problèmes) sur les objets et situations géométriques Utiliser et acquérir un vocabulaire spécifique en situation Acquérir des connaissances, des techniques réutilisables Utiliser des techniques et des instruments Acquérir une certaine rigueur Ce n est pas Observer passivement des objets Apprendre par cœur, réciter les définitions Dessiner(représentation personnelle) De l «à peu près» Limiter les connaissances à ce seul domaine transfert nécessaire à conduire et interdisciplinarité à faire jouer Faire«seulement» des fiches 71

défi 72

défi Rechercher tous les polygones que l on peut obtenir en juxtaposant les 5 carrés identiques. Contrainte : 2 carrés doivent toujours avoir un côté commun. Activité qui peut se faire au cycle 2 (varier les difficultés). Faire noter les polygones trouvés par tâtonnement sur une feuille. De temps en temps, demander le nombre trouvé. Puis progressivement dire qu on peut en trouver 12 et faire continuer les recherches. (Cf. fiche les Pentaminos) 73

défi Consigne : Rechercher tous les polygones que l on peut obtenir en juxtaposant les 2 triangles identiques (quadrillés rectoverso pour les grands si on veut les faire reproduire). Contrainte : 2 triangles doivent être juxtaposés par deux côtés de même longueur. Si 2 triangles quelconques : on obtient 6 figures. Uniquement des quadrilatères avec des angles rentrants que l on n a pas forcément l habitude de voir. - Si 2 triangles rectangles : 6 - Si 2 triangles rectangles isocèles : 3 74

Calque or not calque Quelle consigne donnée pour ces deux exercices? 75

Calque or not calque 76