Cet exemple de sujet pour l écrit du nouveau CRPE (2014) n engage que son auteur. L usage de la calculatrice est interdit. Sauf indication du contraire, toutes les réponses seront justifiées. PREMIERE PARTIE, PROBLÈME (13 points) On veut fabriquer pour des élèves de petite section de maternelle un jeu de forme constitué d une plaque creusée d alvéoles, et de pièces venant s encastrer dans ces alvéoles. Ces pièces seront assimilées à des surfaces planes, on ne s intéressera pas à leur épaisseur. Dans la réalité, il est nécessaire que les pièces aient des dimensions très légèrement plus petites que les alvéoles afin de pouvoir être introduites sans difficulté. Dans la première partie de ce problème, on négligera cette contrainte et on considèrera que la pièce et l alvéole destinée à la recevoir ont des dimensions identiques. Partie A : choix des pièces. 1) Toutes les pièces du jeu seront différentes. Afin de garantir qu aucune pièce n entre dans une alvéole autre que la sienne, on envisage les contraintes suivantes : Contrainte A : les aires de toutes les pièces seront égales. Contrainte P : les périmètres de toutes les pièces seront égaux. a. La contrainte A, utilisée seule, garantit-elle qu aucune pièce n entre dans une alvéole autre que la sienne? b. La contrainte P, utilisée seule, garantit-elle qu aucune pièce n entre dans une alvéole autre que la sienne? c. Est-il possible de respecter simultanément les contraintes A et P, c est-à-dire de construire plusieurs formes différentes ayant simultanément la même aire et le même périmètre? Pour la suite, et quelles que soient les réponses aux questions précédentes, on décide que toutes les pièces auront des aires égales. 2) L une des pièces est un carré. Pour étudier les formes à donner aux différentes pièces, on réalise plusieurs exemplaires identiques de ce même carré dans du papier de couleur, puis on réalise d autres formes en découpant un de ces carrés en plusieurs morceaux et en recollant les morceaux obtenus sur une feuille blanche. Expliciter les contraintes à respecter pour que la figure ainsi obtenue ait la même aire que le carré initial. 3) Vous trouverez en annexe 1 plusieurs exemplaires d un même carré tracé sur un quadrillage. Tracer à droite de chaque carré une figure ayant la même aire que le carré, et qu on pourrait obtenir en découpant le carré en deux ou plusieurs morceaux et en assemblant ces morceaux. Les différents morceaux issus du découpage seront dessinés à la fois sur le carré et sur la figure proposée. Aucune justification et aucune trace de construction ne sont demandées. Les figures à obtenir sont les suivantes : a. un triangle rectangle isocèle b. un triangle rectangle non isocèle c. un losange non carré d. un parallélogramme (ni rectangle ni losange)
4) Les côtés de la pièce carrée mesurent 5 cm. Le graphique qui suit représente la fonction qui au nombre x associe le nombre y = π x 2 À l aide de ce graphique, déterminer une valeur approchée à un millimètre près du diamètre du disque ayant la même aire que la pièce carrée. Partie B : étude du jeu entre la pièce et son alvéole.
Pour que les enfants puissent placer les pièces dans leur alvéole sans trop de difficulté, il est nécessaire que l alvéole soit légèrement plus grande que la pièce. Le schéma ci-dessus montre une pièce triangulaire et la construction de l alvéole correspondante (les dimensions ne sont pas respectées). Cette construction s effectue en deux étapes : Construction à l extérieur du triangle de trois rectangles. Chacun d entre eux a pour côté l un des côtés du triangle. Les côtés perpendiculaires au côté du triangle mesurent 0,1 mm. Construction de trois arcs de cercles de rayon 0,1 mm ayant chacun pour centre un sommet du triangle et pour extrémités deux sommets de deux rectangles distincts. On appellera secteur angulaire une partie de disque limitée par deux rayons et un arc de cercle. 1) Montrer que les trois secteurs angulaires de la figure peuvent être assemblés pour former un disque complet. 2) On cherche à généraliser ce procédé pour construire l alvéole correspondant à un quadrilatère avec quatre rectangles et quatre arcs de cercle. Montrer que ce procédé est inapplicable pour certains quadrilatères. On admettra que quand le procédé est applicable à un quadrilatère (c est le cas pour tous ceux envisagés dans la partie A) les quatre secteurs angulaires de la figure peuvent être assemblés pour former un disque complet. 3) On applique ce procédé pour construire l alvéole correspondant à une pièce carrée de 5 cm de côté. L affirmation suivante est elle vraie : l aire de l alvéole est supérieure à celle de la pièce carrée de plus de 1%. DEUXIEME PARTIE (13 points) Cette partie est constituée de trois exercices indépendants. Exercice 1. a) Un cycliste part à 9 h, il roule à la vitesse constante de 20 km/h. Un cyclomotoriste part du même point dans la même direction à 9 h 30, à la vitesse constante de 40 km/h. À quelle heure le cyclomotoriste rattrapera-t-il le cycliste? b) Un cycliste part à 9 h 45, il roule à la vitesse constante de 20 km/h. Un autre cycliste part du même point dans la même direction à 10 h 05, à la vitesse constante de 24 km/h. À quelle heure le second cycliste rattrapera-t-il le premier? Exercice 2. a) On pose la division euclidienne d un nombre entier A par 7, le reste est 6. Donner une valeur possible du nombre A, supérieure à 100 et inférieure à 200 (on notera A1 cette valeur). b) On pose la division euclidienne d un nombre entier B par 7, le reste est 4.
Donner deux valeurs possibles du nombre B. La première valeur, notée B1, sera comprise entre 500 et 1000, la seconde valeur, notée B2 sera comprise entre 2000 et 3000. c) Poser les divisions euclidiennes par 7 de chacun des nombres B1 - A1 et B2 - A1. d) Démontrer que si A est un entier dont la division euclidienne par 7 a pour reste 6, si B est un entier dont la division euclidienne par 7 a pour reste 4, et si B>A, le reste de la division de B-A par 7 est égal à 5. Exercice 3. Le document ci-dessous est extrait du fichier «Tous en maths» destiné aux élèves de CE2 (Nathan, 2012).
a) On considérera que la population de la France en 2 000 était d environ 60 millions d habitants. En utilisant les données du graphique figurant sur le document, calculer un ordre de grandeur de la quantité de papier recyclée par jour et par habitant en France en l an 2 000. b) La valeur calculée à la question précédente ne correspond manifestement pas à la réalité. Expliciter une erreur mathématique figurant dans le document qui est probablement à l origine du caractère erroné du graphique. Le problème ci-contre est extrait du manuel «au rythme des maths» destiné aux élèves de CE2 (Bordas, 2012). La distance réelle entre le col de Serre et Saint-Flour est d environ 42 km. Celle entre Issoire et le col de Serre d environ 90 km (données lues sur une carte routière de l IGN et confirmées par le service en ligne de calcul d itinéraires de Google). c) Proposer une hypothèse expliquant l écart entre les valeurs fournies et attendues dans le problème et les données réelles. d) Proposer un énoncé de ce problème, modifié afin d éliminer les contradictions entre le problème et la réalité tout en conservant les données numériques fournies (208 km et 128 km) ainsi que la réponse attendue (80 km).
Partie A TROISIEME PARTIE (14 points) Analyse d exercices proposés à des élèves et de productions d élèves. Les élèves d une classe de CE1 ont été confrontés en salle de motricité à la tâche suivante. Deux lignes parallèles tracées sur le sol représentaient les bords d une rivière. Les élèves, par groupe, devaient placer quatre plaques carrées représentant des pierres dans la rivière afin que des lapins puissent traverser la rivière pour aller de leur maison à leur réserve de carottes, sans faire de grands bonds (même les petits lapins doivent pouvoir passer). La tâche était considérée comme réussie si tous les enfants du groupe pouvaient faire la traversée sans sauter et en marchant uniquement sur les plaques. Revenus en classe, les élèves ont dessiné au tableau leurs propositions, qui ont été discutées collectivement avec le maître. Ce travail a été suivi d une phase individuelle dans laquelle chaque élève devait représenter la façon de placer les carrés dans la rivière. Chaque élève disposait de 4 petits cubes qu il devait d abord placer sur sa feuille, puis entourer. Les bords de la rivière et les indications M (pour maison des lapins) et C (pour la réserve de carottes) figuraient sur le document fourni à chaque élève par le maître. Vous trouverez en annexes 2 et 3 les productions de 4 élèves. a) Les cadres autour de chaque production d élève correspondent au document fourni à l élève. Expliciter les choix faits par le maître pour la disposition de la rivière et des repères M et C. et discuter la pertinence de ces choix. b) Indiquer deux avantages du choix consistant à fournir des cubes aux élèves pour effectuer leur dessin. c) Expliciter 4 critères de réussite de la tâche. d) Pour chaque production d élève, indiquer quels sont les critères donnés à la question précédente qu elle satisfait. e) On considère que la rivière a une largeur de 9 mètres, et que les carrés ont des côtés de 1mètre. Représenter schématiquement à main levée une disposition des carrés permettant que tous les intervalles à franchir soient inférieurs à un mètre. Partie B Le problème suivant est posé à des élèves de CM2 : Dans une cour d école, il y a quatre bancs identiques le long d une palissade qui relie deux bâtiments. La palissade mesure 65 mètres et les bancs mesurent 2,50 m de long. A chaque extrémité, la distance entre le bâtiment et le banc le plus proche est de 5 mètres. Les espaces entre deux bancs ont tous la même longueur. Quelle est cette longueur? Le maître affiche au tableau le schéma suivant :
65 m 5m 2,50 m? a) Décrire deux procédures différentes que peuvent employer des élèves de ce niveau pour résoudre ce problème. b) En annexe 4 figurent les productions de deux élèves. Pour chacun d entre eux, décrire sa procédure et analyser les erreurs éventuelles.
Annexe 1 un triangle rectangle isocèle un triangle rectangle non isocèle un losange non carré un parallélogramme (ni rectangle ni losange)
Annexe 2
Annexe 3
Elève A Annexe 4 Elève B