EPREUVE COMMUNE DE MTHEMTIQUES CLSSE DE SECONDE NNEE 008-009 Durée : h lundi mai avec calculatrice personnelle (pas d échange) La qualité et le soin apportée à la rédaction, ainsi que la rigueur des réponses entreront pour une part importante dans la notation Les parties sont indépendantes et peuvent être traitées dans l ordre souhaité Partie Statistique 3,5 pts 0 min Exercice analyse d un graphique ( x 0,5pt) Dans cet exercice, on s intéresse à l équipe de football du LOSS, le graphique ci-contre donne le nombre de buts cumulés au cours des 7 premiers matchs de la saison. Par exemple l équipe du LOSS a marqué buts lors du premier match, et aucun au deuxième. ) Quel a été le nombre total de buts marqués lors des 7 premiers matchs de la saison? 9 buts : (ordonnée du point d abscisse 7 du graphique) ) Calculer ensuite la moyenne du nombre de buts marqués par match. rrondir à 0, près. 9 buts ont été marqués lors de sept matchs, le nombre moyen de but par match est donc 7 9 Nombre de buts ycumulés 8 6 soit environ,3 o 6 Match 3) u cours de quel match de la saison cette équipe a-t-elle marqué son cinquième but? Les points d ordonnée 5 du graphique ont des abscisses qui forment l intervalle [ ; 5] C est donc au cours du quatrième match que le cinquième but a été marqué ) u cours de quel(s) matche(s) l'équipe du LOSS a t-elle marqué le plus de buts? Le plus fort accroissement du nombre de buts est 3, c est le nombre de buts marqués lors du quatrième match et aussi lors du septième match. Exercice analyse d une série statistique ( x 0,5pt + x 0,75) Dans cet exercice, on s intéresse au nombre de buts marqués de l équipe de football du RSL. Nombre de buts marqués 0 3 5 Nombre de matchs correspondants 0 0 3 Pour cette série statistique, indiquer, en justifiant : L étendue : nombre de buts maximal auquel on retranche le nombre de but minimal ; 5 0 soit 5 Le mode : Le mode est car le nombre de matchs à quatre but est le plus grand (trois matchs). La médiane : Le nombre total de match est 7 ; la moitié de l effectif est 3,5 il faut additionner les effectifs, 0,, 0, 3 pour atteindre ou dépasser la valeur 3,5 et la somme de 3 et de dépasse aussi 3,5 ; la médiane est donc la valeur de caractère égale à, ou encore, l'effectif total, 7, égal à 3 +, est impair, la médiane est la valeur de caractère du quatrième match lorsque ceux-ci sont rangés par valeurs croissantes du caractère; nous avons deux matchs sans but, un match à deux buts, et le match suivant est à quatre buts Épreuve commune de mathématiques classes de seconde année 008-009 - -
La moyenne arrondie à 0, près : est le nombre de buts marqués divisé par le nombre de 0 + + 3 + 5 matchs:, soit environ,7 + + 3+ Exercice 3 Partie B Géométrie 6,5 pts 0 min Toutes les questions de cette partie sont indépendantes les unes des autres. calculs dans un repère r r Dans un repère orthonormé ( O i, j ) N ( ; ).. Déterminer, par calculs, les coordonnées du milieu I de [MN] (0,5 pt) ;, on a placé deux points M et N de coordonnées respectives : M (- ; 3) et + 3 + I est de coordonnées ; 3 ; I ;. Déterminer, par calculs, les coordonnées du point P tel que OMNP soit un parallélogramme. (0,75 pt) Notons P(x;y) on a MO = NP donc 0 ( ) = x 0 3 = y et 5 = x = y 5 P 3. Calculer MN. Donner la valeur exacte. (0,5 pt) MN = ( ( ) ) + ( 3) = 5² + ( ) ² ; MN = 9 Exercice r r r r r. Dans un repère orthonormé ( O ; i, j ), u et v sont deux vecteurs tels que u ; 3 9 u r et v r sont-ils colinéaires? (Justifier par un calcul). (0,5 pt) et r 5 v ;. 5 3 5 5 = et = ; ces deux valeurs sont différentes( 8 = 7 75 = 5 5 ), 5 5 9 8 u r et v r ne sont pas colinéaires.. Sur la figure, le quadrilatère semble être un carré, indiquer une démarche, utilisant les coordonnées des points, permettant de le vérifier. (/0,75pt) Remarques : On ne demande pas d effectuer les calculs. Vous devez présenter une méthode complète permettant, sans calcul superflu, de le vérifier. On n essaiera pas le lire les coordonnées des points, et on pourra poser (x ; y) Épreuve commune de mathématiques classes de seconde année 008-009 - -
On peut vérifier que BCD est un parallélogramme, par exemple en établissant que [C] et [BD] ont le même milieu ou alors en établissant l'égalité des vecteurs B et DC (ou bien celle de D et BC ). On peut ensuite obtenir que BCD est un losange en établissant par exemple l'égalité des côtés B et D On peut enfin établir que BCD est un carré en établissant que les diagonales C et BD sont de même longueur. Exercice 5 équations de droite. Lire l équation de la droite d tracée ci-contre. (/0,5 pt) L'ordonnée à l'origine est, et le taux d'accroissement est 3 (avancer de unités pour monter de 3 trois); équation de la droite: y = x. Représenter la droite dans le repère ci-contre d équation : y = x + 5. (/0,5 pt) vec pour x, + 5 = + 5 = + 5 = + 5 = Les points de coordonnées ( ; 6) ( 0;5) ( ;) sont des points de la droite., avec pour x ( ) 6 3. Le point K de coordonnées ( ;,5) appartient-il à? (Justifier par un calcul) (/0,5 pt) 0 9 + 5 = = =,5,5 ; le point K ( ;,5) n'est pas un point de.. Déterminer, par calculs, l équation réduite de la droite (B) avec ( ; -) et B (6 ; 5). (/ pt) y x B B _ y x = ( ) 6 = = 3 et "y y = 3( x x ) " s' écrit " y ( ) = 3( x ) " soit "y = 3x 3" 5 6 5. Déterminer, par calculs, une équation de la droite parallèle à passant par C (-3 ; ). (/ pt) " y y = C ( x x ) " s' écrit " y = x ( 3) 3 ( ) " soit " y = x " C + Épreuve commune de mathématiques classes de seconde année 008-009 - 3 -
Partie C Fonctions 0 pts 60 min Les deux exercices suivants sont indépendants et traitent tous deux de la production journalière d une laiterie. Exercice 6 Étude graphique Toutes réponses de cet exercice s obtiendront par lecture graphique de la courbe qui suit On considère le bénéfice B(x) en euros de la laiterie en fonction du nombre x de milliers litres de lait vendus. On considère C la courbe représentative de la fonction B dans le repère orthogonal. ) a) Enoncer les variations de la fonction B sur [0 ; 50] à l aide d une phrase. (0,5pt) La fonction B est croissante de 00 à 65 sur l'intervalle[ 0, 5], et elle est décroissante de 65 à 600 sur l'intervalle [ 5 ; 50], ) b) Résumer les variations de la fonction B sur [0 ; 50] dans un tableau de variation. (pt) ) c) En déduire le nombre de litres de lait qu il faut vendre pour que la laiterie réalise un bénéfice maximal. Indiquer alors le bénéfice maximal de l entreprise. (0,5pt) 65 est le maximum de la fonction B, atteint en 5 ; 65 euros est donc le bénéfice maximal, et il est obtenu pour une vente de 5 000 litres de lait ) Un ouvrier se dit que «plus on vend de litres de lait plus on augmente le bénéfice». Est-ce vrai au vu du graphique? Justifier. (0,5pt) La fonction B est décroissante strictement sur [ 5 ; 50],; il est donc incorrect d'affirmer que plus on vend de litres de lait, plus le bénéfice est important. Épreuve commune de mathématiques classes de seconde année 008-009 - -
3) Déterminer graphiquement le bénéfice réalisé pour 0 000 litres de lait vendus. Indiquer la méthode utilisée. Laisser les traits de construction. (0,75pt) On trace la droite d'équation " x =0 ", elle rencontre la représentation graphique de la fonction B en un point, et on trace la parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point, celle-ci rencontre l'axe 0y au point d'ordonnée 600; on a donc B(0) = 600 ; le bénéfice pour 0 000 litres de lait est donc de 600 euros. 5) Déterminer graphiquement le ou les nombres de litres de lait qu il faut vendre si on souhaite un bénéfice de 55 euros. Indiquer la méthode utilisée. Laisser les traits de construction. (0,75pt) On trace la droite d'équation " y =55 ", elle rencontre la représentation graphique de la fonction B en deux points, et on trace les parallèles à l'axe des ordonnées passant par ces points, celles-ci rencontrent l'axe 0x aux points d'abscisses 5 et 5; pour des ventes de 5 000 litres et 5 000 litres, le bénéfice est de 55 euros 6) Par lecture graphique, déterminer sur quel(s) intervalle(s) le bénéfice B est plus grand ou égal à 5 euros? Justifier. (pt) On trace la droite d'équation " y =5 ", elle rencontre la représentation graphique de la fonction B en deux points, et on trace les parallèles à l'axe des ordonnées passant par ces points, celles-ci rencontrent l'axe 0x aux points d'abscisses environ 0,9 et 9; On relève les abscisses des points de la courbe de la fonction B qui sont situés au dessus de la droite "y = 5"; on observe que ces abscisses forment à peu près l'intervalle [0,9 ; 9]. Exercice 7 Étude algébrique Toutes les réponses de cet exercice se feront analytiquement. Le bénéfice, en euros, de x milliers litres de lait vendus est donné par : B( x) = x + 30x + 00, pour x appartenant à l intervalle [0;50]. ) Compléter le tableau suivant : (pt) x 0,5 3 5 0 6, 33 0 B( x ) 00,75 6 65 600 50,79 30 0 Indiquer le calcul effectué pour la valeur 3. ( ) X x² + 30 X 00 3 ² + 30 3 + 00 = 69 + 390 + 00 ou programmer : + ) a) Montrer que B( x) = ( x 0)( x 0). (0,5pt) Développons, pour tout x : ( x 0) ( x 0) = x² 0 x + 0 x + 00 = x² + 30 x + 00 = B(x) ) b) Résoudre par étude algébrique B( x ) = 0. (0,5pt) Un produit de nombres réels est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul; B (x) = 0 x 0 = 0 ou x 0 = 0 x = 0 ou 0 = x ( ) ( ) 0 et -0 sont les solutions réelles de ( x 0)( x 0) = 0,0 est la seule solution dans l'intervalle [ 0, 50]. ) c) Donner, à l aide de la question précédente, le nombre de litres de lait tel que le résultat de la laiterie soit égal à 0 (Cela signifie que le bénéfice est nul). (0,5pt). C'est pour 0 000 litres de lait que le bénéfice est nul. 3) a) Résoudre par étude algébrique B( x ) > 0 x 0 0 x 0 x 0 0 x 0 x 0. (0,75pt) Épreuve commune de mathématiques classes de seconde année 008-009 - 5 -
Les solutions de l'inéquation b(x) > 0 dans l'intervalle[ 0, 50],. forment l'intervalle [ 0, 0], 3) b) Donner, à l aide de la question précédente, le nombre de litres qu il faut vendre pour avoir un bénéfice strictement positif. (0,5pt) Il en résulte que pour avoir un bénéfice strictement positif, il faut vendre moins de 0 000 litres de lait. ) Déterminer par étude algébrique, le nombre de litres de lait tel que le bénéfice soit strictement plus petit que 00 euros. Mettre le résultat sous forme d un intervalle. (,5pts) Pour x de [ 0, 50], B(x) < 00 x ² + 30 x + 00 < 00 x² + 30 x < 0 x ( x 30) < 0. Les solutions forment l'intervalle ] 30, 50[ Exercice bonus : (+ pt) Catherine Charlotte toujours très sportive s entraîne à la course à pied avec Loïc-Jean sur le stade municipal. Ils entament le 00 mètres endiablé! Ils courent l un après l autre d un pas régulier. Catherine Charlotte atteint alors la ligne d arrivée au moment où Loïc-Jean passe la marque des 95 mètres. Loïc-Jean n est pas content de s être fait battre par son amie. Il souhaite prendre sa revanche. Bonne joueuse, Catherine Charlotte accepte et décide même de partir 5 mètres derrière la ligne de départ. La course commence En admettant que chacun conserve le même rythme sur toute la distance et qu ils courent à la même vitesse que dans la course précédente, qui franchira le premier la ligne d arrivée? Justifier. Pendant que Catherine-Charlotte court 00 mètres, Loïc- Jean court 95 mètres, Catherine-Charlotte court donc plus vite, et si elle parcourt 5 mètres de plus, pendant ce temps là Loïc- Jean n'aura pas le temps de parcourir une distance de 5 mètres; voila pourquoi si Catherine-Charlotte court 05 mètres, Loïc- Jean n'aura pas pu parcourir 00 mètres; Catherine-Charlotte franchira encore la première la ligne d'arrivée. Ou bien : notons v la vitesse de course de Catherine-Charlotte, en mètres par seconde et notons v ' celle 00 95 95 9 de Loïc-Jean: puisque la durée de la première course est et ; on a v ' = v, soit v ' = v. v v ' 00 0 Catherine-Charlotte met 05 v 05 secondes pour accomplir 05 mètres; pendant ce temps, Loïc-Jean parcourt v 9 05 soit 99,75 mètres 0 05 9 v ' soit v mètres, c'est-à-dire:! v 0 Épreuve commune de mathématiques classes de seconde année 008-009 - 6 -