1. Comment définir une grandeur? Grandeurs et mesures Plusieurs grandeurs peuvent être attachées à un même objet. Les documents d accompagnement des programmes de l école primaire relatifs aux grandeurs et mesure proposent l exemple suivant : «Pour un objet cubique : - une contenance (un volume) [ ] - une masse qui dépend de la matière dont est constitué le cube - des aires, celle d une face ou l aire de toutes ses faces [ ] - des longueurs, celle d une arête ou la longueur totale de ses arêtes.» Le concept de grandeur se construit à travers des activités de comparaison. A partir d activités de comparaison d objets, des classes d objets peuvent être définies. Chaque classe est constituée par des objets de même grandeur. Exemple : Un ensemble de segments dont les deux extrémités coïncident définit une classe de segments de même longueur L. C est cette classe d objets qui définit une longueur particulière L Tout comme le nombre entier cinq qui peut être défini comme la classe des collections constituées de cinq objets. On peut mettre ensemble (dans une même classe) des objets qui sont aussi longs, aussi lourds qui contiennent la même quantité de liquide ou qui ont la même étendue. La constitution de telles classes d objets à l aide d une même relation (dont la caractéristique mathématique est d être une relation d équivalence) définit un ensemble particulier de grandeurs : une longueur, une masse, une aire, une capacité. On peut appeler grandeur tout caractère d un objet susceptible de variations chez cet objet ou d un objet à un autre. 2. Grandeurs repérables et grandeurs mesurables Des relations et des opérations peuvent être définies pour chaque ensemble de grandeurs. Par exemple, l ensemble des longueurs ou des masses peut être ordonné : du plus court au plus long, ou du plus léger au plus lourd, Une grandeur repérable est une grandeur pour laquelle on peut définir une relation d ordre qui permet de comparer et ranger des objets selon cette grandeur. Pour ce type de grandeur, l expression grandeur de A < grandeur de B < grandeur de C a du sens. Les longueurs, les masses, les aires, les températures sont des grandeurs repérables. Pour certaines grandeurs repérables, on peut définir : - une addition : la grandeur de deux objets réunis est égal à la somme des grandeurs de chaque objet : grandeur de (A + B) = grandeur de A + grandeur de B - une multiplication externe : la grandeur d un certain nombre n d objets identiques réunis est égale à n fois la grandeur de l objet (grandeur de la réunion de n objets A = n x grandeur de A) On peut additionner des longueurs, des masses, des aires Pour d autres grandeurs, il est impossible de définir de telles opérations. Par exemple, on ne peut pas additionner des températures : quand on mélange deux liquides (ce qui peut correspondre à la réunion de ces liquides) dont les températures sont différentes, la température du mélange n est pas égale à la somme des températures des deux liquides. Une grandeur mesurable est une grandeur repérable pour laquelle on peut définir une addition et une multiplication externe. Exemples : les longueurs, les masses, les aires, les contenances et les durées sont des grandeurs mesurables. La longueur est une grandeur pouvant concerner plusieurs types d objets : des segments, des arcs de courbe, des surfaces
Selon les objets, elle peut être désignée par des mots différents. Par exemple : altitude, dénivelé, hauteur, profondeur, périmètre. Quand on considère les rectangles, on parle de leur longueur et de leur largeur qui sont toutes les deux des longueurs si l on considère le terme en tant que grandeur. Deux tiges sont de même longueur si l on peut mettre en correspondance leurs deux extrémités respectives. Si on considère deux segments, la somme de leurs longueurs est la longueur du segment obtenu en reportant bout à bout sur une même droite les longueurs des deux segments initiaux. Le périmètre d une surface fermée plane est la longueur du contour qui délimite la surface. Exemple : le périmètre d un polygone est la somme des longueurs des côtés du polygone.. Les problèmes qui donnent du sens au concept de grandeur Tous ces problèmes peuvent être résolus sans avoir recours à la mesure. a) Comparer ou ordonner des objets selon une grandeur. b) Construire un objet de grandeur identique à celle d un objet donné. 2. Comment peut-on définir la mesure d une grandeur? Nous établissons une relation entre les grandeurs mesurables et les nombres sans y réfléchir, et pourtant cette relation n est pas si simple. - que représente 12 cm, 34 m² et 4,5 L? - comparer 12 cm et 1,2 dm Réponses 12 cm, est une longueur, 34 m² est une aire et 4,5 L est une capacité 12 cm et 1,2 dm désignent la même longueur, 12 est un nombre qui est la mesure de cette longueur lorsque le centimètre est pris comme unité et 1,2 est un nombre qui est la mesure de cette longueur lorsque le dm est pris comme unité. On voit donc que la mesure d une grandeur dépend de l unité choisie. Une mesure est donc un nombre. Pour mesurer une grandeur, il est nécessaire de la comparer à une grandeur choisie comme unité et nous cherchons à savoir combien de fois cette grandeur unité est contenue dans la grandeur. Cette opération s appelle le mesurage et le nombre d étalons contenus dans la grandeur est sa mesure. Soit A un objet dont on veut déterminer la grandeur a en fonction d une grandeur u choisie comme unité. Soit u est exactement contenue n fois dans a. Soit u n est pas exactement contenue dans a et il y a un reste, il faudra alors envisager le recours à des sous-unités, ou à l encadrement. A l école élémentaire, les mesures sont des nombres entiers ou des nombres décimaux ; Au cycle 3,la mesure des longueurs et des aires constituent un contexte privilégié pour prendre conscience de l insuffisance des entiers et pour travailler sur les fractions et les nombres décimaux. Les problèmes qui permettent de donner du sens au concept de mesure de grandeur a) Mesurer une grandeur d un objet donné. b) Comparer ou ordonner des objets selon une grandeur c) Construire un objet dont la grandeur est donnée. d) Construire un objet de grandeur identique à celle d un objet donné. e) Estimer la mesure d une grandeur d un objet. f) Convertir, d une unité à une autre, la mesure d une grandeur d un objet g) Déterminer, par calcul, la mesure d une grandeur.
Les points essentiels Les situations qui permettent de construire les concepts de grandeur et mesure peuvent être traitées par diverses méthodes, compte tenu des contraintes : - par comparaison directe : juxtaposition, superposition, mise en regard des deux objets, utilisation de la balance Roberval pour les masses ; - par comparaison indirecte : recours à un objet intermédiaire, à un instrument de report (longueur servant de gabarit, masse fixée) ou transformation de l un des objets pour le rendre comparable à l autre (par exemple, une ligne non rectiligne peut être transformée en ligne rectiligne) ; - par mesurage, en utilisant un étalon arbitraire ou conventionnel (la grandeur unité) et en associant un nombre à la grandeur (le nombre de reports nécessaires de la grandeur unité). Cette dernière méthode marque l accès à la mesure, au sens mathématique du terme. Il devient alors pertinent de construire des objets définis par des mesures (l unité de grandeur étant fixée) ou de mesurer des grandeurs relatives à des objets (la grandeur à mesurer étant précisée). Les activités de comparaison (directe ou non) sont essentielles. C est à travers elles que l élève accède aux grandeurs considérées et distingue progressivement la longueur d un objet de la place qu il occupe ou sa masse du volume qu il occupe. Programmes Programme cycle 2 Grandeurs et mesures Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. Grandeurs et mesures CP - Repérer des événements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures. - Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse. - Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs. - Connaître et utiliser l euro. - Résoudre des problèmes de vie courante. CE1 - Utiliser un calendrier pour comparer des durées. - Connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime d euro. - Mesurer des segments, des distances. - Résoudre des problèmes de longueur et de masse. Programme cycle 3 Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit. Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l aire d un rectangle et d un triangle. Les angles : comparaison, utilisation d un gabarit et de l équerre ; angle droit, aigu, obtus. Le repérage du temps : lecture de l heure et du calendrier. Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. La monnaie La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées.
CE 2 - Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient :. Longueur : le mètre, le kilomètre, le centimètre, le millimètre ;. Masse : le kilogramme, le gramme ;. Capacité : le litre, le centilitre ;. Monnaie : l euro et le centime ;. Temps : l heure, la minute, la seconde, le mois, l année. - Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, des masses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombre entier ou un encadrement par deux nombres entiers. - Vérifier qu un angle est droit en utilisant l équerre ou un gabarit. - Calculer le périmètre d un polygone. - Lire l heure sur une montre à aiguilles ou une horloge. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus. CM1 - Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées, ainsi que les unités du système métrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations. - Reporter des longueurs à l aide du compas. - Formules du périmètre du carré et du rectangle. Aires - Mesurer ou estimer l aire d une surface grâce à un pavage effectif à l aide d une surface de référence ou grâce à l utilisation d un réseau quadrillé. - Classer et ranger des surfaces selon leur aire. Angles - Comparer les angles d une figure en utilisant un gabarit. - Estimer et vérifier en utilisant l équerre, qu un angle est droit, aigu ou obtus. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. CM2 - Calculer une durée à partir de la donnée de l instant initial et de l instant final. - Formule de la longueur d un cercle. - Formule du volume du pavé droit (initiation à l utilisation d unités métriques de volume). Aires - Calculer l aire d un carré, d un rectangle, d un triangle en utilisant la formule appropriée. - Connaître et utiliser les unités d aire usuelles (cm2, m2 et km2). Angles - Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. - Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure.
Exemple de progression générale sur la notion de longueur en CE1 : o Séquence 1 : «comparer des longueurs par procédures directes ou indirectes et reporter des longueurs.» o Séquence 2 : «Comparer et reporter des longueurs à partir d une unité étalon.» o Séquence 3 : «Mesurer des longueurs en cm.» o Séquence 4 : «Connaître et utiliser les unités usuelles km, m et cm et les équivalences entre elles.» Exemple : séquence 3 : Séance 1 : découverte de l unité : le cm Séance 2 : mesurer en cm avec le double décimètre (découverte) Séance 3 : construire ou finir une figure nécessitant des mesures (entrainement) Séance 4 : entrainement : comparer des longueurs en utilisant leurs mesures en cm Séance 5 : évaluation : on demande de mesurer des segments, une ligne brisée, comparer des longueurs et construire un segment de longueur donnée. Cette séquence est la 3 ème de la progression ci-dessus Les pré requis Pour la séance1 : - Comprendre que la mesure est la mémoire d une longueur et permet de comparer des longueurs en comparant leurs mesures - Connaître le principe du mesurage (report d une unité étalon), Pour la séance 2 : - Connaître l unité de mesure : le cm Pour la séance 3 : - être capable de mesurer des longueurs, avec une règle graduée en cm - être capable de comparer des nombres entiers ou de les situer entre deux entiers. Les supports pédagogiques : Une bande à partir de laquelle les élèves devront construire une autre bande de même longueur à l aide d une bande unité de 1 cm ou d une règle à mesurer graduée en cm (information inconnue des élèves) Un double décimètre Les exercices d entraînement du manuel Cap Maths. Les difficultés prévisibles : - liées au mesurage : mauvais report de la bande unité ou mauvaise compréhension de l action de mesurage. - Placement de la graduation 0 pour mesurer
Sur les aires : La notion d aire est abordée dans le domaine grandeurs et mesures à partir du CM1. L aire est une grandeur pouvant concerner plusieurs types d objets : une surface fermée plane, un solide composée de surfaces fermées. L aire rend compte de la place ou de l étendue occupée par la surface : une aire est la classe d équivalence de toutes les surfaces qui ont la même étendue dans le plan. Deux surfaces S 1 et S 2 ont la même aire soit parce que : - S 1 et S 2 sont superposables. - S 1 et S 2 sont composées de surfaces telles qu en les découpant et les recollant, il est possible d obtenir deux nouvelles surfaces superposables. - Il est possible de paver S 1 et S 2 à l aide d un nombre de pavés identiques, l aire d un des pavés étant l unité. Si deux surfaces S 1 et S 2 sont disjointes alors l aire de la réunion de S 1 et S 2 est égale à la somme des aires de S 1 et S 2. On utilise cette propriété pour déterminer les aires de surfaces complexes que l on peut découper en surfaces disjointes dont on peut déterminer plus facilement les aires ou dont on peut déplacer certaines parties pour obtenir une surface dont on sait déterminer l aire. Les différentes compétences qui permettent de travailler la notion d aires : - classer et ranger des surfaces selon leurs aires (comparer et construire) - mesurer l aire d une surface grâce à un pavage effectif à l aide d une surface de référence ou grâce à l utilisation d un réseau quadrillé - estimer l aire d une surface grâce à un pavage effectif à l aide d une surface de référence ou grâce à l utilisation d un réseau quadrillé - connaître les unités d aires usuelles - utiliser les unités d aires usuelles - calculer l aire d un carré, d un rectangle, d un triangle en utilisant la formule appropriée - Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. - Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure Pour chacune de ces classes de problèmes voici les procédures que peuvent mettre en œuvre les élèves : Comparer : procédures directes, par superposition, par découpage, par pavage (unité étalon), unités usuelles Estimer : à partir d une unité usuelle Mesurer : avec un pavage (unité étalon ou usuelle), formule Convertir : tableau, équivalences Construire : découpage et recomposition, calcul (ex : construire un rectangle de même aire que le carré. Mais des notions de géométrie interfèrent!) Calculer : Calculer la longueur connaissant l aire.
Exemple de séquence : Objectif : les élèves doivent être capables de : classer et ranger des surfaces selon leur aire. Niveau : CM1 Séance1 : «comprendre ce qu est l aire d une surface et que des surfaces de forme différentes peuvent avoir la même aire» séance de découverte Séance 2 : «comparer des surfaces selon leurs aires, les classer et les ranger (découpage et recouvrement)» séance de consolidation Séance 3 : «construire une surface qui a la même aire qu une surface donnée» Séance 4 : «exercices d entrainement pour comparer des aires» évaluation Séquence suivante ayant pour objectif : apprendre à mesurer des aires : Séance 1 : mesurer des aires en utilisant un pavage à l aide d une surface de référence Séance 2 : mesurer des aires en utilisant un réseau quadrillé Séance 3 : estimer l aire d une surface en utilisant un pavage à l aide d une surface de référence ou un réseau quadrillé. Séance 4 : «exercices d entrainement pour mesurer des aires» :