RAPPORT INTRODUCTIF CONTROLE DES OP]~RATIONS D'ASSURANCE DANS LES BRANCHES NON-VIE F. BICHSEL Berne Les 5 contributions suivantes ont ~td pr6sent6es sur le th~me no 3: par R. E. Beard: 2 contributions intituldes,,calculation of Reserves for Non-Life Insurance" (Le calcul des r6serves pour les branches non-vie) par Karl Borch: 1),,Control of a Portfolio of Insurance Contracts" (Le contr61e d'un portefeuille d'assurances) par B. H. Jongh: 1) "The Insurer's Ruin" (La ruine de l'assureur) par T. PentikAinen, Helsinki:,,On the Solvency of Insurance Companies" (De la solvabilit~ des compagnies d'assurance) par Erkki Pesonen, Helsinki "Magnitude Control of Technical Reserves in Finland" (Le contr61e du montant des r6serves techniques en Finlande) Les questions traitfies par ces auteurs peuvent gtre groupdes comme suit: I. Donn6e la situation d'une compagnie d'assurance, quelles sont les affaires qu'elle devrait accepter? 2. Donn~e la situation d'une compagnie d'assurance, dans quelle mesure doit-eue r6assurer son portefeuille? 3. Le calcul des r~serves techniques, c'est-k-dire de la r6serve pour risques en cours et pour les sinistres non r6gl6s. 4. La d6termination des r6serves de s6curit~ n6cessaires en plus des r6serves techniques proprement dites. 1) Published in Astin Bulletin Vol. IV Part I.
232 CONTR6LE DANS LES BRANCHES NON-VIE Les deux premieres questions ont 6t6 trait6es seulement par M. Karl Borch. Dans sa tr~s intdressante contribution, M. Borch formule le principe suivant pour la gestion d'une compagnie d'assurance: L'esp6rance math~matique de la valeur actuelle des dividendes futurs doit ~tre maximale, 6tant entendu que la compagnie cesse d'exister d~s que son capital devient n6gatif. M. Botch mentionne d'abord que, d'apr~s un th6or~me de Shubik-Thompson, pour un portefeuille d'assurances donne, la meilleure politique est d'employer d'abord tout profit ~ l'augmentation de la rdserve de s6curitd jusqu'~ ce que celle-ci atteigne un montant ddtermin~ et de distribuer ensuite ce qui exc~de ce montant comme dividende. I. En ce qui concerne la question de savoir quelles affaires une compagnie pourrait accepter en addition au portefeuille donn~, M. Botch arrive ~t la conclusion que dans certaines conditions une compagnie pourrait avoir intdr~t ~ accepter une affaire dont l'esp~rance math6matique des sinistres d6passe la prime de risque. Ce paradoxe s'explique par le fait que l'acceptation d'une telle affaire pourrait, si tout va bien, rallonger consid~rablement la vie de la compagnie et ainsi beaucoup augmenter l'esp~rance math6matique des dividendes futurs. Je pense que ce r6sultat est tr~s discutable du point de vue pratique. I1 est certainement correct du point de rue math~matique dans les hypotheses faites par M. florch, mais on peut se demander s'il est juste de prendre en consideration seulement l'esp~rance mathdmatique de la valeur totale actuelle des dividendes futurs et de n~gliger la variance de ce total. 2. La deuxi&me question, celle de la r6assurance d'un portefeuille donn6, a 6galement 6t6 traitde seulement par M. Borch. Sous les conditions que je viens de citer, il traite le cas d'un module extr~mement simple oh il arrive ~ des conclusions qui me semblent tr~s paradoxales du point de vue pratique. 3. Le calcul des reserves techniques, c'est-a-dire des r6serves pour risques en cours et pour les sinistres non r6gl6s, est largement trait6 dans les deux rapports de M. Beard. L'un a ~t6 prdpar6 par M. Beard ~ la demande de la sixi~me Conference europ6enne des services de contr61e des assurances
CONTR~LE DANS LES BRANCHES NON-VIE 233 privies. M. Beard dit dans cet expos6 qu'il a exprim~ ses vues personnelles, mais que le sujet serait discut6 h Lucerne. Je me limiterai ~ relever quelques points qui me semblent particuli~rement int~ressants dans les deux expos6s de M. Beard. a) Pour le calcul de la r6serve pour risques en cours, il est pr6f~rable de se fonder plut6t sur les sinistres survenus dans le pass6 que sur la prime, celle-ci pouvant ~tre insuffisante et conduire ainsi k des r6serves insuffisantes. En d'autres termes, il vaut mieux employer une m6thode prospective qu'une m6thode r6trospective. Evidemment, cette mani~re de proc~der n'est indiqu6e que si le portefeuille est assez grand et si une ~tude statistique a montr6 que la difference entre les sinistres survenus et la prime de risque est significative. Ici, la seule fr6quence des sinistres donne des crit~res beaucoup plus sensibles que leur montant global. b) Pour la mesure de la fr6quence des sinistres il importe de tenir compte des sinistres sans suite qui dans certaines branches peuvent ~tre assez nombreux. I1 faut aussi prendre en consideration les sinistres survenus mais pas encore annonc6s. c) La r6serve pour risques en cours doit aussi couvrir les frais d'administration futurs pour les risques en question. d) Pour d6terminer les r6serves pour risques en cours et sinistres non r~gl~s, il ne suffit pas de calculer l'esp~rance math~matique de ces grandeurs, n faut ajouter une marge de s6curit6 pour tenir compte de leurs fluctuations al6atoires. e) La d~termination de la distribution des sinistres d'apr~s leur montant est rendue plus difficile par les circonstances suivantes: changement du volume et de la composition du portefeuille; changement de la valeur de la monnaie et de l'attitude des tribunaux ; d~lai entre la survenance et le r~glement d'un sinistre, d~lai qui est en g~n6ral plus long pour les sinistres d'un montant 61ev6. Ces changements ont pour effet que la distribution des montants des sinistres rdglds pendant une ann6e n'est pas la m~me que la distribution des montants des sinistres survenus pendant une annie. Evidemment c'est cette derni&re qu'il faut connaitre.
234 CONTR()LE DANS LES BRANCHES NON-VIE f) Pour la d6termination de la r6serve pour sinistres non r6glds il y a deux m6thodes: la m6thode individuelle et la mfthode collective. M. Beard constate que, d'apr~s les exp6riences faites, la m6thode collective qui travaille avec le nombre et le montant moyen des sinistres donne des r6sultats plus exacts que la mfthode de l'estimation individuelle. 4. D6termination des r6serves de sdcurit6. J'entends ici les termes,,r6serves de sdcurit6" dans un sens math6matique, c'est-k-dire que je comprends par,,r6serves de s6curit6" toute r6serve destin6e ~ parer k des fluctuations al6atoires, y compris le capital et les r6serves libres. Toutes les contributions prdsentdes s'occupent de la question des r6serves de s6curit6 qui peut ~tre divis6e de la mani~re suivante: a) r6serves de s6curitd n~cessaires pour parer aux fluctuations al6atoires du montant n~cessaire au r~glement des risques en cours et des sinistres en suspens. Cette question a 6t6 trait6e, comme je l'ai d6jk dit, par M. Beard. b) R6serves de s6curit6 pour parer aux fluctuations al6atoires en rapport avec les risques souscrits pendant l'ann6e ~ venir: Comme l'exposent MM. Pentik~iinen et Pesonen, c'est la r6serve de s6curit6 que doit fixer l'autofit~ de surveillance pour permettre la continuation des op6rations d'une compagnie pour une ann6e. Cette r6serve pent en principe ~tre calcul6e si l'on donne la probabilit6 de ruine, c'est-k-dire la probabilit6 que la reserve de s~curit~ ne sera pas suffisante. Dans ce calcul, il faut aussi prendre en consideration les fluctuations qui peuvent survenir dans les probabilitds de base pour la survenance d'un sinistre. Le calcul exact pent ~tre tr&s compliqu6. C'est la raison pour laqueue MM. Pentikliinen et Pesonen donnent des approximations par des formules relativement simples. L'approximation de M. Pesonen peut ~tre d~crite comme suit: Le portefeuiue donn6 est remplac6 par un autre portefeuille qui a la m~me esp~rance math6matique du rnontant des sinistres, mais oh tous les sinistres ont le m~me montant, celui-ci ~tant ~gal au montant maximum d'un sinistre individuel du portefeuille originel.
CONTR~LE DANS LES BRANCHES NON-VIE 235 Pour ce portefeuille fictif la r6serve de s6curit6 n6cessaire est calcul6e par application de la distribution simple de Poisson. M. Pentikltinen relate que des 6tudes approfondies ont conduit 6tablir les r6gles suivantes pour la constitution des r6serves de s~curit~ en Finlande, les montants ~tant exprim6s en L. Si la prime annuelle est inf6rieure ~ 270,000 L, la r6serve dolt se monter k 13,ooo L plus 20% de la prime annuelle. Si la prime annuelle est sup6rieure k 270,000 L, la r6serve doit se monter & 67,ooo L plus lo% de la prime annuelle. J'ajoute ici que M. Pentik~inen donne un aper~u sur tousles facteurs qui doivent 4tre pris en considdration pour juger de la solvabilit6 d'une compagnie d'assurance. c) Finalement, on peut consid~rer la rdserve de s6curit6 n~cessaire pour parer aux fluctuations al~atoires qui r6sulteront d'un portefeuille donn6 si celui-ci subsiste un certain nombre d'ann6es, fini ou infini. C'est le point de vue de la th6orie du risque proprement dite. Dans son expos6 M. Jongh pr~sente tr6s clairement le calcul de la probabilit6 de ruine pour une r6serve de s~curit6 initiale ddtermin~e. I1 fait remarquer que pour l'application pratique de cette th6orie, il faut connaitre tr6s exactement la fonction de distribution des gains ou pertes annuels du portefeuille donn6, ce qui est assez difficile et n~cessite un mat6riel de statistique assez volumineux. Tous les auteurs eit6s jusqu'ici calculent des r6serves de s6curit6 sur la base d'une probabilit6 de ruine donn6e. I1 est clair que le choix de cette probabilit6 constitue un 616ment arbitraire. M. Borch 4vite cet 616ment arbitraire par le proc6d6 suivant : Comme je l'ai d~jh mentionn6, il formule le prineipe que l'esp6- rance math6matique de la valeur actuelle des paiements futurs de dividendes doit ~tre maximale. Pour un portefeuille donn~, il arrive ainsi ~ d6terminer une r~serve de s6curit6 qui doit ~tre accumul~e avant que des dividendes soient pay6s. M. Borch traite des cas extr4mement simples. I1 semble que l'application de sa th4orie ~ des cas pratiques conduira ~ des probl6mes math6matiques tr~s difficiles.