Chapitre 5 ( 4heures) Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5. Introduction et définitions. Analyse dimensionnelle des équations de bilan: - Forme adimensionnelle des équations de continuité et de Navier-Stokes. - Critères de similitude. 3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π). 4. Exemples d application.
éfinitions:. Maquette : modèle réduit.. Prototype : modèle en grandeur réelle. Exemple: F-6 Échelle /7 3 a maquette: Est beaucoup moins coûteuse que le prototype. Elle se prête à une étude plus facile et à des modifications moins onéreuses. Essais sur une maquette: Permettent: de vérifier les calculs. de trouver des solutions que les théories actuelles sont incapables de fournir. Étude de l écoulement autour d une maquette d avion (Échelle /7) 4
a technique des maquettes (modèles réduits) est basée sur les règles de similitude, donc sur l analyse dimensionnelle. Ces règles permettent:. d une part de concevoir et d exploiter la maquette;. mais aussi de transposer les résultats obtenus à la réalité, c est à dire à des prototypes à l échelle réelle. es résultats des mesures expérimentales et les conclusions établies sur ces maquettes ne sont transportables de la maquette au prototype que si certaines conditions sont satisfaites:. Similitude géométrique.. Similitude cinématique.. Similitude dynamique. 5 Similitude géométrique: (formes) e rapport de toutes les dimensions du prototype et de la maquette doit être constant: a maquette doit être à l échelle exacte du prototype et les différentes dimensions doivent être reliées par le même facteur géométrique κ G. Exemple: R I R II mélangeur,i mélangeur,ii 6
Similitude cinématique: (mouvements, trajectoires) orsqu on a ainsi caractérisé les parois solides, il faut caractériser le mouvement relatif du fluide par rapport à ces parois. a similitude cinématique est satisfaite si une modification dans le temps des vitesses sur le prototype est accompagnée d une modification correspondante sur la maquette. En se référant au schéma ci-après, il y a similitude cinématique si un élément de fluide correspondant en A et en A situés sur des lignes de courant correspondants respectivement au prototype et à la maquette mettent des temps correspondants pour parvenir aux points correspondants C et C. 7 ' t κg κκt (Indices: vitesse; t temps) ' t' A Prototype C A Maquette C 8
a similitude cinématique traduit seulement le fait que le facteur d échelle géométrique, κ G, est égal au produit des facteurs d échelle de temps, κ t, et de vitesse, κ. Exemple: Soit un modèle réduit à l échelle κ G /0 du prototype. Si on veut maintenir la similitude cinématique avec un facteur d échelle de temps, κ t, il faut que les vitesses dans la maquette soient 0 fois inférieures à 9 Similitude dynamique: (forces: inertie, pesanteur, pression, viscosité,...) Pour avoir une similitude dynamique entre la maquette et le prototype, il faut que le rapport des forces appliquées à des éléments homologues (sur la maquette et le prototype) doit être constant quelles que soient les forces homologues considérées. Exemple: Rapport des pressions dynamiques: ρ ρ cte 0
Similitude et analyse dimensionnelle Relation entre similitude et analyse dimensionnelle: Prenons l exemple du calcul d une force F m.a (m: kg; a: m/s ) Si à la suite d un changement d unité: - l unité de masse devient M fois plus petite; - l unité de longueur devient fois plus petite; - l unité de temps devient t fois plus petite. a mesure de la force F est alors multipliée par Mt -. Il revient donc au même d utiliser un étalon k fois plus petit. On peut donc avoir des renseignements sur la similitude en faisant un calcul dimensionnel. Analyse dimensionnelle des équations de bilan (BS: pages 97-03)
. ariables adimensionnelles (réduites): Soient: une dimension caractéristique de l écoulement (largeur d un obstacle, diamètre d une canalisation ). une vitesse caractéristique (vitesse moyenne de l écoulement, vitesse d une paroi mobile ). - p 0 une pression de référence. 3 Pour mettre les équations de bilan sous forme adimensionnelle et étudier les propriétés de similitude des écoulements, on défini les variables adimensionnnelles (réduites) suivantes: x x y y z z t t t p ( ) p ρ 4
. Opérateurs adimensionnalisés: Opérateur Nabla: δ + δ + δ 3 x y z δ + δ + δ3 (x ) (z ) (z ) 5 Opérateur de aplace: x + y z (x ) + (y ) (z ) 6
érivée particulaire: + t + t ( t ( ) ) + + t (Équation 3.7-7 BS) 7 3. Forme adimensionnalisée de l équation de continuité: 0 ( ) 0 0 (Équation 3.7-8 BS) Ainsi les similitudes géométriques et cinématiques garantissent automatiquement l invariance de l équation de continuité. 8
4. Forme adimensionnelle de l équation de mouvement: (Navier-Stokes) ρ ρ p + µ + ρg g ( ) ( ρ p ) + µ + ρg ( ρ ) des deux côtés: µ p + ρ (Équation 3.7-9 BS) g g + g 9 g On défini les nombres adimensionnels suivants: Nombre de Froude (Forces d inertie/forces de gravité) Fr g ρ Nombre de Reynolds Re (Force d inertie/forces visqueuses) µ p + Re + Fr g g Après intégration on obtient: p p ( t, x, y,z,re,fr) ( t,x, y,z,re,fr) 0
5. Conclusion: équation adimensionnelle de Navier-Stokes fait intervenir des coefficients adimensionnels qui caractérisent à eux seuls tout ce qu il faut connaître de l écoulement: e nombre de Reynolds (Re), le nombre de Froude (Fr) et le nombre d Euler (Eu). Si pour deux systèmes et de géométries similaires on a: Fr Fr Re Re, et Eu Eu ces deux systèmes auront la même solution analytique. Exemple : Écoulement autour d un cylindre (BS 3.7-) Étude expérimentale de l écoulement d un fluide newtonien autour d un cylindre. On aimerait étudier la variation de la pression en fonction:. de la vitesse du fluide;. de sa densité et sa viscosité;. du diamètre du cylindre et de sa longueur. y v x
Exemple : Mise à l échelle d un mélangeur (BS 3.7-) On désire prédire la profondeur du vortex dans une cuve agitée en fonction de la vitesse d agitation. étude doit se faire sur une maquette à l échelle réduite. éterminer les conditions appropriées pour ce travail expérimental. 3