CALCUL DE PGCD ET DE PPCM DE DEUX NOMBRES ENTIERS I. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES. a et k étant deux entiers naturels tels que k 0. Lorsque a k est un entier naturel, on dit que k est un diviseur de a. (c est à dire quand le reste de la division euclidienne de b par a est zéro) (On dit aussi que a est un multiple de k, ou encore que a est divisible par k) Exemples : 18 2 0 9 2 est un diviseur de 18. On peut aussi écrire 18 2 = 9 9 est un autre diviseur de 18. 26 4 4 n est pas un diviseur de 26. 2 6 Le reste de la division de 26 par 4 n est pas nul. II. ALGORITHMES DE RECHERCHE DU PGCD : a. algorithme des différences : pour déterminer PGCD(295 ; 177), on effectue les soustractions successives : 2 9 5 1 7 7 1 1 8 1 7 7 1 1 8 5 9 1 1 8 5 9 5 9 On prend les deux nombres et on les soustrait. On prend les deux plus petits et on recommence. On s arrête lorsque l on obtient deux nombres égaux. Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la succession des différences de l algorithme. NC/PGCD et PPCM Page 1/5
b. l algorithme d Euclide. Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes de l algorithme d Euclide. III. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX. FRACTIONS IRREDUCTIBLES : a. nombres premiers entre eux : On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1. Exemple : 10 et 7 sont premiers entre eux ; en effet : les diviseurs positifs de 10 sont 1, 2, 5 et 10, les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7, donc PGCD (10 ; 7) = 1 et 10 et 7 sont premiers entre eux. b. fraction irréductible : On dit qu une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemples : PGCD (10 ; 7) = 1 donc 10 7 est une fraction est irréductible. Lorsque l on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible. IV CALCUL DU PPCM DE DEUX NOMBRES ENTIERS. Le ppcm de deux nombres entiers est la plus petit commun multiple à ces deux nombres. Méthode : 1) On écrit les multiples de chaque nombre dans l ordre croissant puis on repère le plus petit commun aux deux listes : c est le ppacm 2) Pour n et p entiers relatifs, ppcm(n ;p) pgcd(n ;p= n p Exemple : quel est le ppcm a) De 375 et 60? b) De 25 et 8? NC/PGCD et PPCM Page 2/5
Chez le fleuriste Un fleuriste dispose de 30 marguerites et 24 tulipes. Il veut composer des bouquets contenant le même nombre de marguerites que de tulipes et utiliser toutes ses fleurs. On veut calculer le nombre maximum de bouquets qu'il peut réaliser. a. Explique pourquoi le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 30 et 24. Lequel de ces diviseurs communs choisir? Combien de bouquets peut-il réaliser au maximum? b. Quelle est alors la composition de chaque bouquet? 29 Exposition Un photographe doit réaliser une exposition de ses œuvres et présenter sur des panneaux des paysages et des portraits. Tous les panneaux doivent contenir autant de photos de chaque sorte. Il veut exposer 224 paysages et 288 portraits. a. Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes ses photos? Justifie. b. Combien mettra-t-il alors de paysages et de portraits sur chaque panneau? 46 Extrait du Brevet On pose : M= 20755 3 988 8 a. Calculer le plus grand diviseur commun D de 20 755 et 9 488. b. Écrire, en détaillant les calculs, le nombre M sous la forme d'une fraction irréductible. c. Le nombre M est-il décimal? Est-il rationnel? Justifier. 56 n est un entier naturel. a. Démontre que si n est impair alors 8 divise n² 1. b. Le nombre 1 + 3 n est-il toujours pair? c. Démontre que 2 n + 2 n + 1 est divisible par 3. Escalier Le nombre de marches d un escalier est compris entre 40 et 80. Si on compte ces marches deux par deux, il en reste une. Si on les compte trois par trois, il en reste deux. Si on les compte cinq par cinq, il en reste quatre. Quel est le nombre de marches de cet escalier? Premiers entre eux a. Démontre que les entiers naturels k et 2k + 1 sont premiers entre eux pour n'importe quelle valeur de k. b. Même question avec k + 1 et 2k + 1. c. Déduis-en des couples d'entiers naturels premiers entre eux. NC/PGCD et PPCM Page 3/5
Exercice 1 Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ un lundi à 14h et font plusieurs tours d'un même circuit. La voiture A fait le tour du circuit en 36 minutes et la voiture B en 30 minutes. Les deux voitures roulent pendant 24 h. Trouver à quels moments les deux voitures se trouvent ensemble sur la ligne de départ et indiquer pour chacun de ces moments le nombre de tours parcourus par chacune des voitures depuis le départ. Exercice 2 a est un entier naturel inférieur à 150. Quand on effectue la division euclidienne de a par 12, le reste est égal à 1. Quand on effectue la division euclidienne de a par 9, le reste est égal à 1. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour a. Exercice 3 1 ) On veut carreler le sol d'une cuisine rectangulaire de longueur 4,55 m et de largeur 3,85 m en utilisant un nombre entier de dalles carrées identiques dont les longueurs des côtés sont égales à un nombre entier de centimètres. a) Quel est le nombre maximum de dalles possibles? b) Quelle est la plus grande dalle qu'on peut utiliser? Combien utilise-t-on alors de dalles? 2 ) On dispose de dalles de longueur 24 cm et de largeur 15 cm. Quelles surfaces carrées dont les longueurs des côtés sont égales à un nombre entier de centimètres peut-on carreler si on se limite aux surfaces carrées ayant une aire inférieure ou égale à 36 m²? Exercice 4 Un fleuriste a 135 roses blanches, 120 roses rouges et 90 roses jaunes. Il veut préparer le plus grand nombre de bouquets ayant la même composition (mêmes nombres de roses de chaque sorte). Quelle composition doit-il choisir pour ses bouquets? Exercice 5 1) Peut-on trouver trois nombres entiers naturels consécutifs dont la somme est 105? 210? 77? 144? 326? Justifiez vos réponses. 2) Quels sont tous les entiers naturels qui peuvent être la somme de trois entiers consécutifs? Justifiez votre réponse. 3) Quelles peuvent être les valeurs possibles du nombre a (avec 0 a 9) pour que le nombre 34a7 soit la somme de trois entiers naturels consécutifs? 4) Le nombre 21 924 est le produit de trois entiers consécutifs que l on souhaite déterminer. a) Décomposer ce nombre en produit de facteurs premiers, puis en déduire les trois entiers cherchés. b) A l aide de votre calculatrice, trouver ces trois nombres par une autre méthode que vous décrirez précisément. NC/PGCD et PPCM Page 4/5
Exercice 6 Soit un terrain triangulaire dont les côtés mesurent 120 m, 96 m et 72m. On veut planter des piquets régulièrement espacés, en respectant la double contrainte suivante : il doit il y avoir un piquet à chaque sommet du triangle et l'écart entre les piquets doit être un nombre entier de mètres. a) Quel est le nombre minimal de piquets nécessaires? b) Quel est le nombre maximal de piquets nécessaires? Exercice 7 Trouver tous les entiers naturels n à quatre chiffres satisfaisant aux conditions suivantes : - le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20 - le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24 - le reste de la division de n par 9 est supérieur à 6 - le reste de la division de n par 5 est égal à 1. Exercice 8 Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : - tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, - tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires, - toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. 1 ) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser? 2 ) Combien y aura-t-il de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet? NC/PGCD et PPCM Page 5/5