TRANSFERT THERMIQUE I) Préambule : Compréhension et description des flu de chaleurs et des champs de température. Déplacement ) Fondements : a) Principe de la thermique : conservation de l énergie aleur en ; y ; z aleur : T = f(t) Chaleur Entrante Q Matériau quelconque : Q i Q f ariation de la chaleur stocée Chaleur Sortante Q Donc : Q = Q Q = Q f Q i Q > : Le corps absorbe la chaleur Q < : Le corps cède de la chaleur Remarques : - La chaleur stocée se traduit par un niveau moyen de température : Pour Q i T i et pour Q f T f (en K). L énergie (chaleur) est caractérisée par la cinétique des atomes et molécules au sein du matériau. - La variation d énergie stocée s écrit : Q = m. c p. (T f T i ) Et généralement dq = m. c p. dt ou H = Q m (J. g ) - S il y a changement de phase : Changement d état : change l état du matériau (liquide, solide, gaz). Changement de phase : change la morphologie du matériau sans forcement changer son état. Et Q = m. L ou H = L avec L : chaleur latente de transformation - Si Q = Q = Q et Q f = Q i : Donc il n y a pas de variation de la chaleur stocée. Ce qui implique la notion du régime permanent (= indépendant du temps) Eemple : H H 3 H 2b H 2a Donc : H 2 = H 2a H = c pa T 2 T échauffement du système H ab = H 2b H 2a changement d état d un corps pur H 23 = H 3 H 2b = c pb T 3 T 2 H T T 2 T 3 T
b) 2 Principe de la thermique : Si deu points dans l espace sont à des températures différentes il y aura systématiquement transfert de chaleur du point le plus chaud vers le point le plus froid. Le paramètre qui caractérise le transfert est la densité du flu : φ (W. m 2 ) qui traverse une surface ds : S n φ Si l on tient compte de la surface : dφ = φ. n. ds ds S S φ = dφ = φ. n. ds Remarque : Retour sur le principe : La relation entre chaleur et flu est la suivante : φ = dq = m. c p. dt φ = φ φ Donc : φ = régime permanent = φ f φ i 2) Notion de sources internes : Elle correspond à toute apport énergétique lié à un phénomène interne au matériau. Elle est définie par une puissance (p) qu elle produit par unité de volume : - Réaction chimique (Uranium) - Effet Joule 3) Différent modes de transfert thermique : - Conduction : transfert avec support matériel et sans transfert de matière : Eistence dans les solides, liquides, et gaz (pas dans le vide) Phénomène de transfert d énergie cinétique des constituants de la matière. - Convection : transfert avec support matériel et avec transfert de matière : Eistence des les liquides et les gaz (pas dans le vide ni dans les solides) Phénomène de mouvement de molécules : Naturel (E : ballon de montgolfière) Forcée (E : sèche cheveu) - Rayonnement : transfert sans support matériel et sans transfert de matière : Eistence dans tout les cas (même dans le vide) Phénomène de déplacement d onde électromagnétique. II) Etude de la conduction : ) Loi de Fourier : En tout point d un milieu isotrope (= indépendant de l espace pareil en tout point du milieu), la densité de flu thermique instantanée est proportionnelle à la conductivité thermique () du milieu et au gradient de température : φ =. grad(t) et grad T dt d dt dy dt dz
Si une seule dimension de propagation : φ =. dt d ; = cste car le milieu est isotrope. 2) Equation générale de la conduction : v s On applique le principe de la thermo à un volume v, de surface s contenu dans : - Flu entrant et sortant : φ. n. ds - Source interne : p. dv s - ariation du flu stocé : dm ρ. C p dt dv avec p : puissance de la source m car dm = ρ. dv C p dt Donc : s φ. n. ds + p. dv = ρ. C p dt dv div φ. dv + p. dv = ρ. C p dt dv Avec div φ = dφ d Par suite : div φ + p = ρ. C p dt en tout point du volume + dφ y dy + dφ z dz On suppose que, ρ et C p ne dépendent pas de la température. On applique la loi de Fourier : φ =. grad(t) Donc : div. grad T. div grad T Et div grad T T + p = ρ C p + p = ρ. C p dt + p = ρ. C p dt = T : Laplacien = d2 T + d2 T + d2 T d 2 dy 2 dz 2 dt Et a = ρ C p : diffusivité thermique Finalement : T + p = a dt Equation générale de la conduction 3) Etude de cas pratiques simples en régime permanent : a) Géométrie type mur : T > T 2 - Régime permanent et pas de source interne : T = : Laplacien de T - Flu selon seulement : d2 T d 2 = - Condition au limites : T = T en = T = T 2 en = e e Résolution : - Evolution de T = f() : T = T + T 2 T. e - Epression du φ = φ. S =. S dt (Fourier) φ =. S (T d e 2 T ) - Notion de résistance thermique : si T T 2 = R. φ avec R = e : résistance thermique.s
b) Cylindre creu : T T 2 r r 2 L r Flu radial selon le rayon (r) : Coordonnées cylindriques (r; θ; z) Evolution de T = f(r) : T r = T + T T 2 ln r ln r r r2 Epression du flu : φ = 2π.L. (T T 2 ) ln r 2 r Résistance thermique : R = ln r 2 r 2π.L. T > T 2 c) Sphère creuse : T T 2 r r 2 Flu radial selon le rayon (r) : Coordonnées sphériques (r; θ; φ) Evolution de T = f(r) : T r = T + T T 2 r r r r2 Epression du flu : φ = 4π.r.r 2. r r 2 (T T 2 ) Résistance thermique : R = r r 2 4π.r.r 2. T > T 2 r III) Etude de la conveion : ) Le coefficient d échange thermique par conveion (h) : Supposons T f < T s : Fluide T f Solide T S φ =. S. (T s T f ) Avec S : surface de contact fluide / solide Résistance thermique de conveion : R c =.S Zone de mouvement des molécules et donc transfert thermique.
2) Détermination de en conveion forcée sans changement d état : a) Fluide à l intérieur d une conduite cylindrique : Fluide L epérience montre que n est pas influencé par (T S T f ) mais dépend de 7 grandeurs : - v m : vitesse moyenne du fluide - ρ : masse volumique du fluide - : conductivité thermique du fluide - η : viscosité du fluide - D: diamètre de la conduite - : distance entre l entrée du fluide et la section considérée Grace à une analyse dimensionnelle, on a trouvé une epression reliant plusieurs nombre sans dimension entre eu :.D = A. ρ.v m.d η a η.c p b D c Nombre de Nusselt : Nu Nombre de Reynolds : Re Nombre de Pranl : Pr Abscisse réduite Nu = f Re; Pr; D De plus, il eiste 2 régimes d écoulement : Turbulent et Laminaire. Turbulent : les molécules ne se déplacent que selon l ae ae d écoulement v Laminaire : Les molécules se déplacent dans toutes les directions v - Cas d un écoulement Laminaire : Nu = 3,66 ; Si B = D (Re.Pr ) >,5 Donc (a = b = c = ) et A = 3,66 Nu =,6 B,4 ; Si B,5 - Régime turbulent : Nu =,23 Re,8 Pr,33 (Formule de Colburn) ; Si D > 6 Nu = Nu Colburn + D,7 ; Si D 6
b) Fluide le long d un mur : D Fluide - Laminaire : Nu = 2 3 Re,5 Pr,33 Avec D = dimension caractéristique diamètre de la conduite dans a) - Turbulent : Nu =,36 Re,8 Pr +,83 (Pr,5 ) 3) Détermination de en conveion libre sans changement d état : La détermination de se fait toujours à partir de nombre sans dimension : - Nombre de Nusselt : Nu =.D - Nombre de Pranl : Pr = η.c p - Nombre de Grashof : Gr = α.g. T s T f.ρ 2.D 3 Avec α : coefficient de dilatation du fluide ; α = T On montre que Nu = a. (Pr. Gr) m : ln (Nu) 2 I) Echange thermique par rayonnement : ) Généralité : 3 η 2 ln (Pr. Gr) avec T : température moyenne Zone Pr. Gr a m 3 à 5.²,8 2 5.² à 2. 7,54 8 3 2. 7 à 4,35 4 3 Tous les corps émettent un rayonnement de nature électromagnétique. Il est polychromatique (,3 µm < λ < µm). La longueur d onde du maimum d émission et l intensité dépend de la température. On distingue 2 cas : - Les corps opaques : émission de la surface seule Pour une certaine longueur d onde - Les corps partiellement transparent : émission du volume D D Régime turbulent D Bilan des flu sur une surface (S) : φ i = Flu incident φ i φ a n φ r φ e S φ r = Flu réfléchi φ t = Flu transmis φ a = Flu absorbé φ e = Flu émis Réfleion spéculaire (miroir) Réfleion diffuse (toutes les directions) φ t
Conservation de l énergie : φ i = φ r + φ t + φ a et φ a = φ e (avec possibilité d une différence de longueur d onde) 2) Réception sur un corps opaque : a) L éclairement (E) : d E = dφ ds (W. m 2 ) ds b) Le facteur d absorption : α n ; λ = φ a φ i < valeurs < Attention : On appelle «corps noir» un matériau avec α n ; λ = c) Le facteur de réfleion : ρ n ; λ = φ r φ i < valeurs < Attention : On appelle «corps noir» un matériau avec ρ n ; λ = De façon générale, pour un corps réel («non-noir») : α n ; λ + ρ n ; λ = 3) Emission d un corps opaque : a) La luminance L(n ; λ) : Elle correspond au flu rayonné dans une direction n par unité d angle solide (dω) et par unité de surface à n, ds n et par unité de longueur d onde : θ dω r n ds ds dω = ds (Pour un espace complet Ω = 4π stéradian) r 2 L n ; λ = d²φ e (n;λ) L n ; λ = d²φ e(n;λ) (W. ds n dω ds cos (θ) dω m 2. St ) ds n b) L émittance (M) : φ e M = dφ e ds (W. m 2 ) ds Attention : Si L est indépendante de la direction, on montre que : M λ = π. L(λ) Loi de Lambert
c) Rayonnement d un corps noir : On définit la Luminance monochromatique d un corps noir : L λ C =,9. 6 S. I C On montre par la loi de Planc que : L λ = λ 5 c2 Avec C 2 =,44. 2 S. I e λ.t T = température en K L λ T λ m (T ) T 2 λ m (T 2 ) λ m (T 3 ) Conséquences : - T > T 2 > T 3 T 3 - L λ augmente si T augmente - λ m (T) augmente si T diminue λ Loi de Wien : λ m T = 2898 µm. K Pour connaitre la totalité du flu émis, il faut effectuer une intégration sur tout le domaine de λ : M = dφ ds = M. dλ = π. L λ. dλ C est pourquoi lorsque l on chauffe un corps, celui-ci émet dans le visible, car à la base le rayonnement incident émet dans de très grande longueur d onde (IR) Donc : M = ς. T 4 Loi de Stefan Avec ς = 5,67. 8 W. m 2. K 4 Constante de Stefan d) Rayonnement d un corps noir opaque : De façon générale, on montre que M λ = α λ M (λ) avec M(λ) : émittance d un corps non-noir. On préfère plutôt remplacer α(λ) par ε(λ) car le corps émet un rayonnement, avec α(λ) = ε(λ) Et ε(λ) : émissivité. loi de Kirchoff On définie également ε pour l ensemble du domaine de longueur d onde : Pour un λ donné : ε(λ) Pour tout les λ : ε Si ε λ = cste, alors le corps est dit «gris» d après M λ = ε λ. M (λ) 4) Echange de rayonnement entre 2 corps noirs : a) La relation de Lambert : d 2 φ 2 = L cos θ ds dω n n 2 = M π cos (θ ) cos (θ 2 ) ds ds 2 D² θ θ 2 dω 2 D dω d 2 φ 2 = L 2 cos θ 2 ds 2 dω 2 Tapez une équa = M 2 π cos (θ ) cos (θ 2 ) ds ds 2 D² ds ds 2 Relations de Lambert
b) Facteur de forme F : L intégration sur S et sur S 2 des relations de Lambert permet de connaitre les flu φ 2 et φ 2. Soit : φ 2 = M φ 2 = M 2 S S 2 cos (θ ) cos (θ 2 ) ds ds 2 π.d² S S 2 cos (θ ) cos (θ 2 ) ds ds 2 π.d² On pose : F 2 = S S S 2 cos (θ ) cos (θ 2 ) ds ds 2 π.d² F 2 = S 2 S S 2 cos (θ ) cos (θ 2 ) ds ds 2 π.d² F 2 et F 2 sont des facteurs de forme, pris selon le point de vue. Donc : φ 2 = M S F 2 φ 2 = M 2 S 2 F 2 avec F 2 S = F 2 S 2 Relation de réciprocité c) Flu échangé entre S et S 2 : φ tot = φ 2 φ 2 = M S F 2 M 2 S 2 F 2 = S F 2 (M M 2 ) Loi de réciprocité = S 2 F 2 (M M 2 ) Loi de Stefan = S F 2 ς (T 4 T 4 2 ) = S 2 F 2 ς (T 4 T 4 2 ) d) Evaluation des facteurs de formes : Ce sont des intégrales de surfaces : - Surfaces simples = calcul analytique. - Surfaces complees = calcul numérique. Quelques eemples : F 2 = F 2 = Sphérique Mur Cylindrique F 2 = ; F 2 = S S 2
5) Echange de rayonnement entre corps réels opaques : Pour calculer le flu total qui part de chaque surface, on introduit une nouvelle grandeur, la radiosité : J (Car il y a 2 flu qui transitent : φ e et φ r ) φ i φ r φ e Tout ce qui part de la surface J = φ e+φ r S ( Densité de flu) φ a On montre que : J = ε M + ( ε) E - Eemple de 2 surfaces parallèles : J 2 φ = S J J 2 = S (M M 2 ) ε + ε 2 J 2 On introduit un nouveau facteur de forme F = Donc : φ = S F (M M 2 ) φ = S F ς (T 4 T 2 4 ) ε + ε2 ) Mesures de températures : - Critères de choi du capteur : Domaines de température désirée. Intervalle eploitable autour de la température moyenne. - Ces critères dépendent de : Sensibilité (K ) : évolution d une propriété en fonction de T Fidélité reproductibilité même si valeur fausse, mais la même en fonction du temps Le temps de réponse (s) L eactitude de la mesure (K) ) Thermomètres à dilatation : - De gaz (Thermo-manomètre) : variation de volume ou de pression d une masse de gaz : Sensibilité : p dp 3,7. 3 K avec P : pression du gaz au repos - De liquide à enveloppe de verre ou métallique : variation de volume d un liquide (Mais attention on mesure la différence de dilatation entre le liquide et l enveloppe) : Sensibilité : d,2 à 3 K - De solide à tige (ou bilame) : variation de longueur d un matériau : Sensibilité : L dl,5. 5 K tige,5. 3 K (bilame) Bilame : 2 matériau de coéf. de dilatation différent Défleion : Quand T augmente
2) Thermomètre à résistance : - Métalliques (Pt ; Ni ; Cu) : ariation de la résistance électrique d un conducteur : Sensibilité : R dr Pt 3,9. 3 K ) Pas d oydation = f(t) Ni 6,6. 3 K Cu 3,9. 3 K - Germanium ou Carbone : ariation de résistance électrique d un matériau conducteur non-métallique : Sensibilité : dr = n avec < n < 3 selon le matériau R dt T - Oydes (thermistances) : ariation de la résistance électrique d un matériau semi-conducteur : Sensibilité : dr = b R dt T2 avec < b < 4 selon le matériau 3) Les couples thermoélectriques : a) Principe : effet Seebec : De l énergie électrique est engendrée dans un circuit par thermoélectricité lorsqu il est formé d au moins 2 conducteurs de nature différentes et à des températures différentes : Métal A f. e. m = f(t) Soudure T Métal B f. e. m = force électromotrice (µ) Par convention, le couple thermoélectrique, est noté A/B dans le sens positif de la f.e.m. La f.e.m est notée E(A/B) avec E A B = E(B A) T A Remarques : - La relation entre E et T n est pas linéaire et très différent selon le couple. - les couples thermoélectrique, par convention, E(A B) à T = C soit nulle. b) Eemple de montage réel : Cu E Ta (Fe Cu) D où : E = E T (Fe Ct) E Ta (Fe Cu) E Ta (Cu Ct) Appareil de mesure de E T a Fe Soudure E T (Fe Ct) Ct = Constantan Cu E Ta (Cu Ct) T E ne correspond donc pas à la température réelle du niveau du couple Fe Ct : Il faut impérativement le corriger, par un boitier électrique de compensation : génère un f.c.e.m égale à E Ta (Fe Cu) + E Ta (Cu Ct) Il faut indiquer le thermocouple utilisé : On plonge les thermocouples dans la glace fondante : E Fe Cu = E Cu Ct =
4) Les pyromètres optiques : Un pyromètre mesure la luminance (ou flu lumineu). On en déduit la température en utilisant les lois du rayonnement thermique : Plusieurs façons d obtenir la température d une source. Plusieurs façons de définir la température d une source. a) Définitions des températures d une source : - Température de luminance : T λ Température du corps noir possédant, pour une longueur d onde λ, la même luminance (L λ ) que la source : L λ T = L λ T λ ε λ L λ T = L λ (T λ ) Loi de Wien Loi de Planc simplifiée : Donc : ε λ C λ 5 e C λ.t T λ T = λ C 2 ln (ε λ ) = C 2 λ 5 e C2 λ.t λ Source Si source = corps noir : ε λ = et T = T λ Si corps réel : On a toujours T λ < T - Température de radiance : T r On mesure la luminance sur tout le domaine spectrale : L T = L T r ε L T = L (T r ) Loi de Stefan + Loi de Lambert : ε π ς T4 = π ς T r 4 Emissivité Moyenne Donc : T r = ε 4 T Si corps noir : ε = et T = T r Si corps réel : T r < T - Température de couleur : T c On compare la répartition spectrale de la source à celle d un corps noir, on mesure à 2 longueurs d ondes différentes, le rapport des 2 luminances : L λ2 (T) L λ (T) = ε λ L λ (T) ε λ2 L λ2 (T) = L λ 2 (T c ) L λ (T c ) Donc : = ελ2 ln T c T C 2 ( λ2 ) ε λ λ En générale, on pose = ε λ2 ε λ Si corps noir : ε λ = ε λ2 = donc T c = T Si corps réel : T c > ou < T, selon le rapport ε λ2 ε λ Remarques : - Pas besoin de connaitre ε λ et ε λ2 - Si ε λ ε λ2, car λ λ 2 d où T c T
b) Appareils de mesures : Dispositif optique (lentille et/ou miroir) formant une image de la source sur un détecteur. Eemple : Four Source Émission Fenètre Détecteur Attention : L appareil assimile toujours, à priori, la source à un corps noir. - Pyromètre à radiation totale (mesure de T r ) : T = T r - Pyromètre monochromatique (mesure de T λ ) : T = + λ T λ C2 ln (ε λ ) - Pyromètre bichromatique (mesure de T c ) : T = f(λ ; λ 2 ; ) - Pyromètre à disparition de filament : On compare la luminance L λ (T) de la source à celle d une lampe (source) étalon servant de réf : L λ (T ) Mesure visuelle : disparition du filament de la source par réglage manuel de L(T ) Système automatique : à l aide d un détecteur qui mesure à la fois L(T ) et L (T ) et il y a un ajustement de L λ (T ) pour que : L λ T = L λ (T) Et dés que L λ (T) est trouvée, on en déduit la température. Remarque : Ces pyromètres sont directement gradués en température. ε 4