DM01.1: Révisions de calcul littéral Classe: Nom: Prénom: I. Révisions sur le calcul littéral : Réduire, multiplier. Pour enchaîner des additions et des soustractions, on pense à «je perds, je gagne» : -x+x-6x se lira «je perds x, je gagne x, je perds 6x». On peut faire ce calcul à la calculatrice, à condition de ne pas oublier, quand on écrit le total, d écrire le «x» ou le «x». Exercice 1 : Réduire en utilisant le rappel ci-dessus : x + 4x 6 x =. Attention : x = 1 x et x = 1x. De même, x = 1 x et x = 1x. 6x + x 5x 7x + 9x x x =... x x + 4x 6x 7x + 1x 6 x =... «Ca marche pareil» avec des x, ou avec des constantes, tant que l on additionne ou soustrait au sein de la même «famille». + + = 5x x 1x 7x 5x x... x 1x + 7x x + 4 x =... 1+ 7 4 + 1 7 =... Quand il s agit de multiplications, on traite le signe d une part, et la valeur d autre part. Pour le signe : même signe +, et signe différent -. Pour la valeur, on fait une multiplication «sans les signes», puisqu on s en est déjà occupé. Si nécessaire, décomposer toutes les multiplications pour voir si le résultat est «des x», «des x» Exercice : Effectuer les multiplications suivantes : x 7 = x ( x) =... 6 x =... 5 ( 4) =... x ( 5 x) =... 11 ( 4 x) =... ( 7 x) ( 5) =... 4x 1 =...
II. Révisions sur le calcul littéral : Développer. Pour développer, on distribue chaque nombre de la 1 parenthèse sur chaque nombre de la, de toutes les manières possibles. (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Les flèches représentent des multiplications : on utilise les règles de calcul de l exercice. Comme à l exercice, on se préoccupe du signe séparément : quand on a trouvé le signe, on l écrit. Puis on s occupe de la «valeur sans les signes». Quand on a fini toutes les multiplications, on «réduit» : on classe les termes par «famille», en les déplaçant par «blocs» : Signe-Nombre-Lettre. Puis on fait le total de chaque «famille», comme à l exercice 1. Exercice : Développer, puis réduire : (x + )( 7x + 6) =... =... =... ( x + 7)(9x 1) =... =.. =... NB : La calculatrice, elle, sait TRES BIEN ses tables de multiplications! Utilisez-la! ( x + 7)(6 4 x) =... =... =... (17 9 x)( 1 x) =... =... =. Et c est pareil avec plus de nombres dans les parenthèses : ( 6x + 8 x)(8x 6) =... =.. =... ( 7 5 x)(19 x 7 + x) =... =... =...
III. Révisions sur le calcul littéral : Factoriser. Pour factoriser «à la main» : - On écrit les multiplications qui sont «cachées» - On souligne le facteur commun (celui qui apparaît dans toutes les multiplications) ; attention, on le souligne une seule fois par multiplication. - On écrit le facteur souligné devant (on ne l écrit qu une seule fois), puis on ouvre un crochet, et on y recopie tout ce qui n est pas souligné, y compris les + et les qui sont entre les parenthèses. - On «réduit» le contenu des crochets (voir Exercice 1). Exercice 4 : Factoriser : 5( x + 1) + x( x + 1) =... =... =... =... (x 5) 8 x(x 5) =... =... =... =... Rappel pour «enlever des parenthèses», quand on «réduit» le contenu du crochet : - S il y a + devant la parenthèse, on enlève la ( ), et le + qui est devant, sans rien changer au contenu de la parenthèse. - S il y a - devant la parenthèse, on enlève la ( ), et le - qui est devant, et on inverse tous les signes de ce qu il y avait dans la parenthèse. ( x + 1)(x + 5) + ( x + 1)( x + 6) =... =... =... =... =... (7x + )(x 5) (8x + 1)( x 5) =... =... =... =... =... ( x + ) + ( x + )(x + 5) =... =.. =... =... =...
IV. Révisions sur le calcul littéral : Résoudre une équation. Méthode : (voir dernière suivante pour un exemple) 1/ Enlever les parenthèses devant lesquelles on a «+» ou (uniquement celles-là), des deux côtés de l égalité. / Développer les parenthèses devant lesquelles on a ou rien du tout («omission du signe», voir II), des deux côtés de l égalité. / Réduire chacun des deux côtés de l égalité. 4/ En soustrayant ou en additionnant à chaque fois la même chose des deux côtés de l égalité, s arranger pour avoir à gauche tous les termes en x et en x, et à droite les termes constants (il faut plusieurs lignes de calcul pour y arriver). 5/ Réduire à nouveau de chaque côté. 6/ On obtient une équation de la forme bx = a. On divise alors chaque membre de l égalité par le nombre b, sans s occuper de savoir si les nombres a et b sont des fractions, des racines carrées, ou n importe quel type de nombres (tant qu ils ne contiennent ni x, ni x ). 7/ Si le résultat obtenu est une fraction, la laisser sous forme fractionnaire, mais l écrire sous la forme a ou a, et la simplifier le plus possible. b b 8/ Ecrire S = {...} Exercice 5 : Résoudre : Avec les étapes 6,7 et 8 seulement: 5x = + 5 4x = 48 1x = 8 x = 40 Avec les étapes 5,6,7 et 8: x + 8x 1x = 6 + 7 14 + 1 1x x 15x = 0 + 1 4 + 1 Avec les étapes, 4, 5, 6, 7 et 8: x + 1 5x + x 4 = x 8 + 4x 1 6 14 x + x = x x + x
Avec n'importe quel type d'étapes (mais certaines d'entre elles peuvent être inutiles): 5(x + 4) = 4(x + ) + = + + + ( x ) ( x 1 x) (4x 1)...... ( x + 4)(x ) x ( x + 1)(x + 4) = x ( x + ) x 4x + 4 (voir "équation-produit" en dernière page) (x + )( 7x + 1) = 14x x + 1
Exemple d'équation dans le cas général: - (x + 7 - x) + x (x - ) = x (7x + 1) - 4x x 7 + x + x (x - ) = x (7x + 1) - 4x - x 7 + x + x (x - ) = x (7x + 1) - 4x - x 7 + x + x 6x = 7x + x - 4x x x + x 6x + 7 = 7x 4x + x x 8x 5 = x + x x 8x 5 = x + x 1 étape de calcul : x 8x 5 x = x + x x On peut simplifier car x x. Il reste : 8x - 5 = + x étape de calcul : 8x 5 + 5 = + x + 5 On peut simplifier car 5 + 5. Il reste : 8x = + x + 5 étape de calcul : 8x x = + x + 5 x On peut simplifier car + x x. Il reste : 8x x = + 5 9x = Ici, b = 9 et a =. 9x = 9x = 9 9 x = 9 x = 9 = 1 S = { 1 } Etape 1/ : Enlever les parenthèses précédées par + ou -. Etape / : Développer les autres parenthèses. Etape / : Réduire de chaque côté. Grouper les termes par type (x, x, constantes), puis calculer le total de chaque type. Etape 4/ : «S arranger», en faisant la même opération de chaque côté (plusieurs étapes de calcul), pour avoir tous les termes en x ou en x à gauche, et toutes les constantes à droite. Etape 5/ : Réduire à nouveau de chaque côté. Etape 6/ :Suivre la démonstration de la pté : bx = a bx = a. b b x = b a. Etape 7/ : Simplifier le résultat. Etape 8/ : Ecrire S = {...} Exemple d'équation-produit: Si, après factorisation, on obtient un produit nul, on appelle cela une "équation-produit": ( ) x 5 = ( x 5)(4x + ) ( ) ( x 5 ) ( x 5)(4x + ) ( x 5)( x ) ( x 5)( x ) ( x 5) ( x 5) ( 4x + ) ( x 5)[ x 5 4x ] ( x 5)( + 1x 4x 5 ) ( x 5)( x 7) x 5 ( x 5)(4x + ) = ( x 5)(4x + ) ( x 5)(4x + ) 5 4 + Pour qu'un produit doit nul, il faut et il suffit que l'un au moins de ses facteurs soit nul. x 5 x=5 7 7 S = 5; x 7 x = 7 x =