Université de Montréal 14 mars 2007 Christian FRANCQ GREMARS-EQUIPPE, Université Lille 3 Propriétés statistiques des modèles GARCH
Outline 1 Identification 2
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH 1 Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH 2
Identification d un ARMA-GARCH Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH P Q X t a i X t i = ǫ t b i ǫ t i i=1 i=1 q p ǫ t = σ t η t, σt 2 = ω + α i ǫ 2 t i + β j σt j 2 i=1 j=1 Absence d autocorrélation? P et Q. Effet ARCH? Identification des ordres GARCH p et q.
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Outils pour l identification i) Corrélogrammes de X 1,...,X n ou de ˆǫ 2 1,..., ˆǫ2 n : (ǫ2 t ) suit un ARMA(p q,p); ii) Tests portmanteau, tests d effet ARCH; iii) Méthode du coin, epsilon-algorithme,...; iv) Critères d information (AIC, BIC,...); v) Test de significativité de coefficients ; vi) Analyse de résidus.
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Vérification de l absence d autocorrélation : ǫ t = X t 0.06 0.04 0.02-0.02-0.04-0.06 ˆρ(h) 5 10 15 20 25 30 35 Fig.: Autocorrelations de l indice S&P (en pointillé ±1.96/ n, avec n = 5804). h Si (ǫ t ) bruit blanc iid nˆρ(h) L N (0,1), pour tout h 0. ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), n h ˆγ(h) = n 1 t=1 ǫ t ǫ t+ h
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Autocorrélations empiriques d un GARCH ˆγ m = (ˆγ(1),..., ˆγ(m)), ˆρ m = (ˆρ(1),..., ˆρ(m)) Si Eǫ 4 t < alors nˆγm L N (0,Σˆγm ) et où nˆρm L N ( 0,Σˆρm := γ(0) 2 Σˆγm ), Σˆγm = ( Eǫ 2 t ǫ t iǫ t j ). Remarque : Σˆρm est diagonale lorsque la loi de η t est symétrique.
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Exemple : ARCH (1) On a, si µ 4 α 2 < 1, D où Eǫ 2 t = ω 1 α, Eǫ2 tǫ 2 t 1 = n 1/2ˆρ(1) L N ω 2 (1 + αµ 4 ) (1 µ 4 α 2 )(1 α) { 0, (1 α)(1 + αµ } 4) (1 µ 4 α 2. ) La variance asymptotique est plus grande que pour un bruit indépendant : 1 + α(µ 4 1) (1 µ 4 α 2 ) > 1. Cependant, l écart diminue avec h : Eǫ 2 t ǫ2 t h γ 2 (0) 1 = α(eǫ 2 t ǫ2 t (h 1) γ 2 (0) 1)
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Ne pas faire confiance aux bandes de confiance { ǫt = σ t η t, η t N(0,1) σ 2 t = 1 + 0.3ǫ2 t 1 + 0.55σ2 t 1 0.06 0.04 0.02 0.06 0.04 0.02-0.02-0.04-0.06 2 4 6 8 10 12-0.02-0.04-0.06 2 4 6 8 10 12 Fig.: Autocorrélations empiriques d une simulation d un bruit blanc fort (graphe de gauche) et du GARCH(1,1) (graphe de droite).
Estimations des limites de significativité Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH 0.06 0.04 0.02-0.02 2 4 6 8 10 12-0.04-0.06 Fig.: Corrélogramme d une simulation de taille n = 5000 d un GARCH(1,1).
Tests portmanteau Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Q m = nˆρ mˆσ 1 L ˆρ m ˆρ m χ 2 m et Q r m = nˆr mˆσ 1 L ˆρ mˆr m χ 2 m m mais := n ˆρ 2 L (i) χ 2 m, Q BP m i=1 Q LB m := n(n + 2) Q r,bp m := n m ˆρ 2 L (i)/(n i) χ 2 m, i=1 m ˆr 2 L (i) χ 2 m i=1 où ˆr m = (ˆr(1),..., ˆr(m)) : vecteur d autocorrélations partielles
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Tab.: Tests portmanteau sur une simulation de taille n = 5000 d un GARCH(1,1). Tests de bruit GARCH basés sur Q m m 1 2 3 4 5 6 ˆρ(m) 0.00-0.06-0.03 0.05-0.02 0.00 ˆσˆρ(m) 0.025 0.028 0.024 0.024 0.021 0.026 Q m 0.00 4.20 5.49 10.19 10.90 10.94 P(χ 2 m > Q m) 0.9637 0.1227 0.1391 0.0374 0.0533 0.0902 Tests usuels, pour hypothèse de bruit blanc fort m 1 2 3 4 5 6 ˆρ(m) 0.00-0.06-0.03 0.05-0.02 0.00 ˆσˆρ(m) 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 Q LB m 0.01 16.78 20.59 34.18 35.74 35.86 P(χ 2 m > Q LB m ) 0.9365 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Tab.: Comme le tableau précédent, mais pour des tests fondés sur les autocorrélations partielles à la place des autocorrélations. Tests de bruit GARCH basés sur Q r m m 1 2 3 4 5 6 ˆr(m) 0.00-0.06-0.03 0.05-0.02 0.00 ˆσˆr(m) 0.025 0.028 0.024 0.024 0.021 0.026 Q r m 0.00 4.20 5.49 9.64 10.65 10.650 P(χ 2 m > Qr m ) 0.9637 0.1227 0.1393 0.0470 0.0587 0.0998 Tests de bruit blanc fort basés sur Q r,lb m m 1 2 3 4 5 6 ˆr(m) 0.02-0.01-0.01-0.02 0.00 0.01 ˆσˆr(m) 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 Q r,lb m 0.01 16.77 20.56 32.55 34.76 34.76 P(χ 2 m > Q r,lb m ) 0.9366 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH X t = η t + 0.56η t 1 0.44η t 2, η t iid N(0,1). Tab.: Tests portmanteau de GARCH pur, sur une simulation de taille n = 100 d une MA(2) Tests de bruit GARCH fondés sur les autocorrélations m 1 2 3 4 5 6 Q m 1.6090 4.5728 5.5495 6.2271 6.2456 6.4654 P(χ 2 m > Q m) 0.2046 0.1016 0.1357 0.1828 0.2830 0.3731 Tests de bruit GARCH fondés sur les autocorrélations partielles m 1 2 3 4 5 6 Q r m 1.6090 5.8059 9.8926 16.7212 21.5870 25.3162 P(χ 2 m > Q r m) 0.2046 0.0549 0.0195 0.0022 0.0006 0.0003
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH X t = η t + 0.56η t 1 0.44η t 2, η t iid N(0,1). Tab.: Tests portmanteau de bruit blanc fort, sur une simulation de taille n = 100 d une MA(2) Tests de bruit blanc fort fondés sur les autocorrélations m 1 2 3 4 5 6 Q LB m 3.4039 8.4085 9.8197 10.6023 10.6241 10.8905 P(χ 2 m > Q LB m ) 0.0650 0.0149 0.0202 0.0314 0.0594 0.0918 Tests de bruit blanc fort fondés sur les autocorrélations partielles m 1 2 3 4 5 6 Q r,bp m 3.3038 10.1126 15.7276 23.1513 28.4720 32.6397 P(χ 2 m > Qr,BP m ) 0.0691 0.0064 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000
Test LM d effet ARCH Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Cas GARCH pur (P = Q = 0). H 0 : p = q = 0 Corrélogrammes des carrés ǫ 2 t + tests portmanteau; Test LM. Le test du multiplicateur de Lagrange (ou du score, ou de Rao) : ǫ 2 t = β 0 + β 1 ǫ 2 t 1 + + β qǫ 2 t q + u t LM := nr 2 χ 2 q sous H 0
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH X t ARMA(P,Q) et Eǫ 4 t < (i.e. EX 4 t < ) MA(Q) ρ X (h) = 0 pour tout h > Q, AR(P) r X (h) = 0 pour tout h > P. Formule de Bartlett généralisée Si Eǫ t1 ǫ t2 ǫ t3 ǫ t4 = 0 quand t 1 t 2, t 1 t 3 et t 1 t 4 alors lim ncov {ˆρ(i), ˆρ(j)} = v ij + v n ij, où v i,j = ϕ {ρ X ( )} (formule de Bartlett usuelle) v i,j = ϕ {ρ X ( ),ρ ǫ 2( ),η ǫ := Kur(ǫ t )}.
Expressions explicites : Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH v ij = ρ X (l)[2ρ X (i)ρ X (j)ρ X (l) 2ρ X (i)ρ X (l + j) l= 2ρ X (j)ρ X (l + i) + ρ X (l + j i) + ρ X (l j i)], vij = +(η ǫ 1) ρ ǫ 2(l) [ 2ρ X (i)ρ X (j)ρ 2 X (l) 2ρ X(j)ρ X (l)ρ X (l + i) l= 2ρ X (i)ρ X (l)ρ X (l + j) + ρ X (l + i) {ρ X (l + j) + ρ X (l j)}].
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Algorithme pour estimer les v ij et v ij : L algorithme suivant est rapide quand on utilise l algorithme de Durbin-Levinson pour ajuster les modèles AR. i) On ajuste un AR(p 0 ) à la série X 1,...,X n en utilisant un critère d information pour sélectionner l ordre p 0 ; ii) On calcule les ACRT ρ 1 (h), de ce modèle AR(p 0 ); iii) On calcule les résidus e p0 +1,...,e n du modèle AR(p 0 ); iv) On ajuste un AR(p 1 ) à la série e 2 p 0 +1,...,e2 n en utilisant un critère d information pour sélectionner p 1 ; v) On calcule les ACRT ρ 2 (h), de ce modèle AR(p 1 ); vi) On estime lim n ncov {ˆρ(i), ˆρ(j)} par ˆv ij + ˆv ij, où
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH ˆv ij = l max l= l max ρ 1 (l)[2ρ 1 (i)ρ 1 (j)ρ 1 (l) 2ρ 1 (i)ρ 1 (l + j) 2ρ 1 (j)ρ 1 (l + i) + ρ 1 (l + j i) + ρ 1 (l j i)], ˆv ij = ˆγ ǫ 2(0) ˆγ 2 ǫ (0) lmax [ ρ 2 (l) 2ρ1 (i)ρ 1 (j)ρ 2 1 (l) 2ρ 1(j)ρ 1 (l)ρ 1 (l + i) l= l max 2ρ 1 (i)ρ 1 (l)ρ 1 (l + j) + ρ 1 (l + i) {ρ 1 (l + j) + ρ 1 (l j)}], l max : paramètre de troncation déterminé numériquement de sorte que ρ 1 (l) et ρ 2 (l) soient inférieurs à une certaine tolérance (ex. 10 5 ) pour tout l > l max.
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH ARMA(2,1)-GARCH(1,1) X t 0.8X t 1 + 0.8X t 2 = ǫ t 0.8ǫ t 1 ǫ t = σ t η t, η t iid N(0,1) σt 2 = 1 + 0.2ǫ 2 t 1 + 0.6σ2 t 1 0.4 0.2 0.2-0.2-0.4-0.6 5 10 15 20-0.2-0.4-0.6-0.8 5 10 15 20 Fig.: Corrélogramme (graphe de gauche) et corrélogramme partiel (graphe de droite) : bandes de confiance à 95% pour n = 1000.
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH 0.4 0.2 ARMA(2,1)-GARCH(1,1) X t 0.8X t 1 + 0.8X t 2 = ǫ t 0.8ǫ t 1 ǫ t = σ t η t, η t iid N(0,1) σt 2 = 1 + 0.2ǫ2 t 1 + 0.6σ2 t 1 0.2-0.2-0.4 5 10 15 20-0.2-0.4 5 10 15 h 20 h -0.6-0.6 Fig.: Autocorrélations et autocorrélations partielles empiriques d une simulation de taille n = 1000. Les traits en pointillé estiment les bandes de confiance à 95%.
Méthode du coin Identification Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH (l,k) = det[ρ X (l + i j)] 1 i k,1 j k ARMA(P, Q) minimal si et seulement si (i,j) = 0 i > Q et j > P, (i,p) 0 i Q, (Q,j) 0 j P. i\j 1 2... Q Q + 1.... 1 ρ 1 ρ 2... ρ q ρ q+1....... P P + 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Valeurs studentisées t(i, j) = n ˆ (i,j) ˆσˆ (i,j) Sur une simulation de taille n = 1000 d un ARMA(2,1)-GARCH(1,1).p..q..1...2...3...4...5...6...7...8...9...10...11...12... 1 17.6-31.6-22.6-1.9 11.5 8.7-0.1-6.1-4.2 0.5 3.5 2.1 2 36.1 20.3 12.2 8.7 6.5 4.9 4.0 3.3 2.5 2.1 1.8 3-7.8-1.6-0.2 0.5 0.7-0.7 0.8-1.4 1.2-1.1 4 5.2 0.1 0.4 0.3 0.6-0.1-0.3 0.5-0.2 5-3.7 0.4-0.1-0.5 0.4-0.2 0.2-0.2 6 2.8 0.6 0.5 0.4 0.2 0.4 0.2 7-2.0-0.7 0.2 0.0-0.4-0.3 8 1.7 0.8 0.0 0.2 0.2 9-0.6-1.2-0.5-0.2 10 1.4 0.9-0.2 11-0.2-1.2 12 1.2
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Identification d un GARCH pur : ǫ 2 t ARMA(p q, p) Sur une simulation de taille n = 5000 du GARCH(2,1) σ 2 t = 1 + 0.1ǫ 2 t 1 + 0.05σ 2 t 1 + 0.8σ 2 t 2.max(p,q)..p..1...2...3...4...5...6...7...8...9...10...11...12...13...1 1 5.3 2.9 5.1 2.2 5.3 5.9 3.6 3.7 2.9 2.9 3.4 1.4 5.8 2 2-2.4-3.5 2.4-4.4 2.2-0.7 0.6-0.7-0.3 0.4 1.1-2.5 2.8-0 3 4.9 2.4 0.7 1.7 0.7-0.8 0.2 0.4 0.3 0.3 0.7 1.4 1.4 4-0.4-4.3-1.8-0.6 1.0-0.6 0.4-0.4 0.5-0.6 0.4-1.1 5 4.6 2.4 0.6 0.9 0.8 0.5 0.3-0.4-0.5 0.5-0.8 6-3.1-1.7 1.4-0.8-0.3 0.3 0.3-0.5 0.5 0.4 7 3.1 1.2 0.3 0.6 0.3 0.2 0.5 0.1-0.7 8-1.0-1.3-0.7-0.5 0.8-0.5 0.3-0.6 9 1.5 0.3 0.2 0.7-0.5 0.5-0.7 10-1.7 0.1 0.3-0.7-0.6 0.5 11 1.8 1.2 0.6 0.7-1.0 12 1.6-1.3-1.4-1.1 13 4.2 2.3 1.4 14-1.2-0.6 15 1.4
Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité conditionnelle Identification des ordres GARCH Identification de p et q pour un ARMA-GARCH ˆǫ 2 t ǫ 2 t Sur une simulation de taille n = 1000 du ARMA(2,1)-GARCH(1,1).max(p,q)..p..1...2...3...4...5...6...7...8...9...10...11...12... 1 4.5 4.1 3.5 2.1 1.1 2.1 1.2 1.0 0.7 0.4-0.2 0.9 2-2.7 0.3-0.2 0.1-0.4 0.5-0.2 0.2-0.1 0.4-0.2 3 1.4-0.2 0.0-0.2 0.2 0.3-0.2 0.1-0.2 0.1 4-0.9 0.1 0.2 0.2-0.2 0.2 0.0-0.2-0.1 5 0.3-0.4 0.2-0.2 0.1 0.1-0.1 0.1 6-0.7 0.4-0.2 0.2-0.1 0.1-0.1 7 0.0-0.1-0.2 0.1-0.1-0.2 8-0.1 0.1-0.1-0.2-0.1 9-0.3 0.1-0.1-0.1 10 0.1-0.2-0.1 11-0.4 0.2 12-1.0
1 Identification 2
Estimation par MCO de modèles ARCH(q) ARCH(q) : u t = ǫ 2 t σ2 t = (η2 t 1)σ2 t différence de martingale Représentation AR semi-forte q ǫ 2 t = ω 0 + α 0i ǫ 2 t i + u t, t = 1,...,n i=1 où Y = Xθ 0 + U, Y = (ǫ 2 1,...,ǫ2 n ), θ 0 = (ω 0,α 01,...,α 0q ). ˆθ n = (X X) 1 X Y
Convergence des MCO Si Eǫ 8 t < + hypothèses de régularité n (ˆθ n θ 0 ) L N(0, (κη 1)A 1 BA 1 ) où A = E θ0 (Z t 1 Z t 1 ), B = E θ 0 (σ 4 t Z t 1Z t 1 ), Z t 1 = ( 1,ǫ 2 t 1,...,ǫ2 t q). ( ω = 1, α = 0.1 ) ( ω = 1, α = 0.2 ) ( ω = 1, α = 0.3 ) 3.98 1.85 8.03 5.26 151.0 106.5 1.85 2.15 5.26 5.46 106.5 77.6 Tab.: Matrice de variance asymptotique des MCO dans le cas ARCH(1)
Estimation par MCG Identification Afin de tenir compte de l hétéroscédasticité conditionnelle on définit l estimateur des moindres carrés pondérés θ = ( X X) 1 X Ỹ. (1) où X = σ 2 1 (ˆθ) ǫ 2 0... ǫ 2 q+1. σn 2 (ˆθ) ǫ 2 n 1... ǫ 2 n q, Ỹ = ǫ 2 1. ǫ 2 n. Si Eǫ 8 t < + hypothèses de régularité n ( θn θ 0 ) L N(0, (κη 1)J 1 ), J = E(σt 4 Z t 1 Z t 1).
Quasi-Maximum de Vraisemblance Un estimateur QMV de θ = (θ 1,...,θ p+q+1 ) = (ω,α 1,...,α q,β 1,...,β p ) est une solution mesurable ˆθ n de ˆθ n = arg min ln (θ), θ Θ où ln (θ) = n 1 n t=1 l t, et lt = l t (θ) = ǫ2 t σ 2 t + log σ 2 t.
Convergence : Identification A θ (z) = q i=1 α iz i, B θ (z) = 1 p j=1 β jz j. A1 : θ 0 Θ [ω, ) [0, ) p+q et Θ compact. A2 : γ(a 0 ) < 0 et θ Θ, p j=1 β j < 1. A3 : A4 : η 2 t a une distribution non dégénérée. si p > 0, A θ0 (z) et B θ0 (z) n ont pas de racine commune, A θ0 (1) 0, et α 0q + β 0p 0. Convergence Sous A1-A4, l estimateur QMV est fortement convergent : ˆθ n θ 0 p.s.
Normalité asymptotique : A5 : κ η := Eηt 4 <. A6 : θ 0 Θ, où Θ désigne l intérieur Θ. Normalité asymptotique Sous A1-A6, n(ˆθn θ 0 ) D N { 0,(κ η 1)J 1}, où ( 2 ) ( l t (θ 0 ) 1 J := E θ0 θ θ = E θ0 σt 4(θ 0) σ 2 t (θ 0) θ σt 2(θ ) 0) θ.
Exemple : le cas ARCH(1) ( ω = 1, α = 0.1 ) ( ω = 1, α = 0.5 ) ( ω = 1, α = 0.95 ) 3.46 1.34 4.85 2.15 6.61 2.83 1.34 1.87 2.15 3.99 2.83 6.67 Tab.: Matrice de variance asymptotique du QMV dans le cas ARCH(1)
Expériences de simulation n α n RMSE(α) {Var as [ n(ˆα n α 0 )]} 1/2 / n ˆP[ˆα n 1] 100 0.85221 0.25742 0.25014 0.266 250 0.88336 0.16355 0.15820 0.239 500 0.89266 0.10659 0.11186 0.152 1000 0.89804 0.08143 0.07911 0.100 Tab.: Comparaison de la loi asymptotique et de la loi empirique de l estimateur de α 0, pour 1000 simulations d un ARCH(1), ω 0 = 0.2, α 0 = 0.9.
Problème cette théorie ne marche pas lorsque certains coefficients GARCH sont nuls q p σ t 2 (θ) = ω + α i ǫ 2 t i + β j σ t j(θ) 2 0 i=1 j=1 contraintes sur Θ α 0i = 0 ou β 0j = 0 θ 0 Θ Ce n est pas le cas pour les ARMA
Quand le paramètre est sur le bord (coefficients nuls) : La loi asymptotique n est pas normale Quand θ 0 (i) = 0, } n {ˆθ(i) θ0 (i) 0 p.s., n. La matrice d information J = E θ0 ( 1 σ 4 t (θ 0) σ 2 t (θ 0 ) θ σt 2 ) (θ 0 ) θ peut ne pas exister sans conditions de moments supplémentaires.
Loi asymptotique Λ = lim n(θ θ0 ) = Λ 1 Λ p+q+1, n Λ i = R si θ 0i 0, Λ i = [0, ) si θ 0i = 0. Comportement asymptotique du QMV Sous des hypothèses de régularité, n(ˆθn θ 0 ) D λ Λ où λ Λ := arg inf λ Λ {λ Z} J {λ Z}, avec Z N ( 0,(κ η 1)J 1).
Exemple 1 : Un seul coefficient est nul θ 0 = (θ 01,θ 02,...,θ 0,p+q,0) Λ = R p+q [0, ), γ i = E(Z p+q+1z i ) Var(Z p+q+1 ) n(ˆθn θ 0 ) N λ Λ = Z 1 γ 1 Z p+q+1. Z p+q γ p+q Z p+q+1 Z + p+q+1
Modèle ARCH(1) ajusté à un bruit : θ 0 = (ω 0, 0) 0.4 0.3 0.4 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1-4 -3-2 -1 1 2 3-1 1 2 3 Fig.: Distribution asymptotique de n(ˆω n ω 0 ) Fig.: Distribution asymptotique de nˆα n
Exemple 2 : Aucun effet GARCH ARCH(q) avec θ 0 = (ω 0,0,...,0). Λ = R [0, ) q et Z N { ( 0,(κ η 1)J 1 (κη + 1)ω = 0 2 ω 0 e ω 0 e I q )}. n(ˆθn θ 0 ) L λ Λ = Z 1 + ω 0 (Z 2 + + Z q+1 ) Z + 2. Z + q+1.
Test de nullité de certains coefficients θ 0 = (θ (1) 0,θ(2) 0 ), θ (i) R d i, d 1 + d 2 = p + q + 1. Hypothèse nulle : H 0 : θ (2) 0 = 0 Hypothèse maintenue : θ (1) 0 > 0 (+ A1 A5, A7 et A8 ou A9)
Statistiques de test : W n = n (2) ˆθ n ˆκ η 1 Identification { KĴn 1 K } 1 ˆθ(2) n Wald, ) ) n l n (ˆθ n 2 l n (ˆθ n 2 R n = ˆκ η 1 θ Ĵ 1 n 2 M. Lagrange (Rao, score) θ { } L n = 2 log L n (ˆθ) log L n (ˆθ n 2 ) Quasi rapport de vrais., ˆθ n 2 : estimateur contraint de θ 0 et K = ( I d1, 0 d1 d 2 ). Région critiques usuelles au niveau asymptotique α : {W n > χ 2 d 2 (1 α)}, {R n > χ 2 d 2 (1 α)}, {L n > χ 2 d 2 (1 α)}.
Distributions sous la nulle : Sous H 0 et les hypothèses précédentes W n L W = λ Λ Ωλ Λ, R n L χ 2 d2, L n L L = 1 2 Ω = K { (κ η 1)KJ 1 K } 1 K. { } inf Z Kλ 0 λ 2 J inf Z Kλ=0 λ 2 J.
Le comportement asymptotique du test de Rao est très différent de celui des 2 autres tests. Sous H 0 et sous des alternatives locales o P (1) W n = 2 ˆκ η 1 L n.
Exemple 1 : Tester qu un coefficient est nul. H 0 : α 0i = 0 (ou H 0 : β 0j = 0) W = 2 κ η 1 L = U2 1l U 0 1 2 δ 0 + 1 2 χ2 1 où U N(0,1). Les tests { } 2 {W n > χ 2 1 (1 2α)} ˆκ η 1 L n > χ 2 1 (1 2α) ont même niveau asymptotique α (pour α 1/2). Le test standard {W n > χ 2 1 (1 α)} a le niveau asymptotique α/2.
1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 Fig.: Puissance locale asymptotique du test de Wald (trait plein) et du test du score (en pointillé) pour tester qu un coefficient GARCH est nul.
Exemple 2 : Tester l homoscédasticité contre un ARCH(q). H 0 : α 01 = = α 0q = 0 Le test du score est très simple : R n n R 2 où R 2 est le coefficient de détermination dans la régression de ǫ 2 t sur c et ǫ2 t 1,...,ǫ2 t q. Le test de Wald est aussi très simple : W n n q ˆα 2 i. i=1
Comparaison empirique des puissances Tab.: Pourcentage de rejet de l hypothèse d homoscédasticité conditionnelle. Le nombre de répliques est N = 5000, le niveau nominal est 5%, le DGP est ARCH(q) avec α i = n 1/2. q n = 500 n = 1000 n = W n R n L n W n R n L n W n R n L n 1 24.8 17.9 25.5 24.8 18.9 25.6 25.9 17.0 25.9 2 36.8 25.6 36.8 38.1 26.8 39.3 35.8 22.6 35.8 3 44.3 32.6 46.6 47.5 31.7 49.8 44.6 27.5 44.6
En résumé Pour les modèles GARCH, convergence and normalité asymptotique peuvent être obtenus sans hypothèse de moment sur ǫ t. On a besoin de θ 0 Θ pour la normalité asymptotique. Quand θ 0 / Θ, la loi asymptotique n est pas normale, mais c est la projection d un vecteur gaussien sur un cône convexe. Pour tester H 0 : ǫ t GARCH(p 0,q 0 ) contre H 1 : ǫ t GARCH(p,q) avec (p,q) > (p 0,q 0 ) la loi asymptotique de la statistique de Wald ou du rapport de vraisemblance n est pas χ 2, asymptotiquement, le test du score n est pas affectée par des coefficients nuls sous H 0.
Le test de Wald modifié d homoscédasticité conditionnelle { } ( q n ˆα 2 i > c 1 q ( ) ) q 1 q,α, P 2 q δ 0 + i 2 q χ2 i > c q,α = α, i=1 i=1 semble attractif pour sa simplicité et ses performances.