FICHE METHODE PROBABILITES CONDITIONNELLES I) A quoi servent les probabilités Conditionnelles a) Exemples :. On jette un dé à faces numérotées de à et on obtient un score pair! Quelle est la probabilité d avoir fait points? = 0,5 = 5%. ( cette probabilité est deux fois plus grande que celle obtenue si l on n avait pas su que le score était pair ). On choisit au hasard un élève dans un groupe composé de filles dont sont droitières et garçons dont 0 sont droitiers! Quelle est la probabilité d être tombé sur un élève droitier sachant que l élève est une fille? = 0,75 = 75% Quelle est la probabilité d être tombé sur un élève droitier sachant que l élève est un garçon? 0,% Quelle est la probabilité d être tombé sur un élève droitier? = 0, = 0% 0 b) Remarques : Le monde dans lequel nous vivons n est pas prévisible à 00%! On ne peut connaître le temps qu il fera dans un mois! On ne peut savoir quels seront les numéros gagnants du prochain tirage du loto!. Cependant, on peut constater que même le hasard respecte certaines lois et c est l objet de ce qui suit. II) Qu est ce qu une probabilité conditionnelle? Définition : ( PROBABILITE CONDITIONNELLE ) Soit E, un sous-ensemble non vide de l univers U d une expérience aléatoire. ( E est un événement ) on note E U et E φ Soit A un sous ensemble de U U La «probabilité de A sachant E» est notée p E (A) et est définie par : p E (A) = p(a E) p(e) A Remarque : On a : p E (E)=
Exemples :. On choisit une carte au hasard avec équiprobabilité dans un jeu de cartes. ( cartes = rouges dont cœurs et carreaux + noires dont piques et trèfles ) p( cœur rouge ) p rouge ( cœur) = = = p( rouge ) p coeur (rouge) = p( cœur rouge ) p( coeur ). On lance le dé truqué suivant : = Score 5 Σ Probabilité 0, 0, 0, 0, 0,5 0, = P PAIR () = p( PAIR ) p( PAIR ) = 0, 0, % P (PAIR) = p( PAIR ) p( ) = 0, 0, = 00 % III) Propriétés fondamentales des probabilités conditionnelles. Propriété : ( PROBABILITE CONDITIONNELLE SI EQUIPROBABILITE ) Soit U = { x ; x ; x n } l univers d une expérience aléatoire où les x i sont les issues. Si toutes les issues ont la même probabilité on dit qu il y a équiprobabilité et on a : p(x ) = p(x ) = = p(x n ) = n ( Chaque événement élémentaire a pour probabilité n ) Soit E un événement non nulle de U Soit A un événement quelconque de U On a p E (A) = A E E = nombre d'issues favorables à A E nombre d'issues favorables à E.. On choisit une carte au hasard avec équiprobabilité dans un jeu de cartes. ( cartes = rouges dont cœurs et carreaux + noires dont piques et trèfles ) cœur rouge p rouge ( cœur) = = rouge. p coeur ( rouge) = cœur rouge coeur = =.
Propriété : ( OPERATION SUR LES EVENEMENTS ) Soit E, un sous-ensemble non vide de l univers U. Soit A un sous ensemble de U On a :. p E ( A) = p E ( A). p E (A B ) = p E (A ) + p E (B ) p E (A B ). Si A B = φ alors p E (A B ) = p E (A ) + p E (B ) Exemple : On choisit une carte dans un jeu de cartes avec équiprobabilité.. p ROUGE ( 9 ) = p ROUGE ( 9) = =.. p PIQUE ( ROI NOIR ) = p PIQUE ( ROI ) + p PIQUE ( NOIR ) p PIQUE ( ROI NOIR ) p PIQUE ( ROI NOIR ) = + =. p PIQUE ( ROI AS ) = p PIQUE ( ROI ) + p PIQUE ( AS ) p PIQUE ( ROI AS ) = + = Propriété : ( EVENEMENTS COMPOSES ) Soient A et B deux sous ensembles non vides de U On a :. p(a B) = p(b) p B (A). p(a B) = p(a) p A (B) Remarque : Il est commode de représenter la propriété précédente par un graphe : Exemples : P(A) A p A (B) A B P(B) B p B (A) B A ( = A B ) Pour obtenir p( A B )on multiplie les probabilités des branches suivies.. On choisit une carte dans un jeu de cartes avec équiprobabilité. p ( cœur rouge ) = p ( Rouge ) p rouge ( cœur) = =. Ou encore : p ( cœur rouge ) = p ( cœur ) p coeur ( rouge) = =.
. On choisit au hasard avec équiprobabilité un dé parmi dés équilibrés puis on lance le dé choisit. ( le premier a faces, le deuxième faces et le troisième. Les faces sont numérotées respectivement de à, de à et de à. on cherche p( dé 5), la probabilité d être tombé sur le dé puis d avoir fait 5. On peut représenter la situation par un arbre pondéré de probabilités. p dé (5) = dé 5 p (dé) = dé dé dé 7 p dé (5) = 5 p 0 dé (5) = 0 dé 5 dé 5 dé 5 dé 5 dé 5 Pour calculer la probabilité il suffit de multiplier les probabilités des branches suivies On connaît p (dé) = p (dé) = et p dé(5) =. Donc p( dé 5) = p(dé) p dé (5) = = et on a de même p( dé 5) = p(dé) p dé (5) = = p( dé 5) = p(dé) p dé (5) = 0 = 0 Propriété : ( PROBABILITE TOTALE ) Soient A et B deux sous ensembles non vides de U Soit E un événement quelconque de U Si A et B forment une partition de U, c est à dire : A B = φ et A B = U ALORS. p( E ) = p ( A E) + p (B E) U A E B. p ( E ) = p (A) p A(E) + p (B) p B(E)
Exemples :. Dans l exemple du jeu de cartes : () Rouge, Noir sont disjoints ( Rouge noir = ). () Rouge Noir = Ω ( rouges et noires réunies = toutes les cartes ). Donc Rouge, Noire forment une PARTITION de Ω. Donc : p(roi ) = p(roi Noire) + p ( Roi Rouge) Donc p(roi ) = p ( Noire) p Noire (Roi) + p( Rouge ) p Rouge ( Roi) Donc p(roi ) = + = + =. Pour l exemple des dés précédents ( voir l arbre de probabilité ci dessous ) on cherche p(5) =? ( la probabilité d avoir fait 5 à l issue des deux expériences ) () dé, dé et dé sont à disjoints ( incompatibles ). () dé dé dé = Ω. ( pour l issue de la ère expérience, il n y a que ces cas! ) Donc dé, dé et dé forment une PARTITION de Ω Donc p(5) = p( dé 5) + p( dé 5) + p( dé 5) ou encore p(5) = p(dé) p dé (5) + p(dé) p dé (5) + p(dé) p dé (5) p(5) = + + 0 = + + 0 = = 7 7. de même : p( 5) = 7 + 5 + = 5 7 dé dé dé ( ou bien 7 7 = 5 7 ) 7 5 0 dé 5 dé 5 dé 5 dé 5 dé 5 dé 5 Remarque : Il suffit de repérer dans l arbre, les branches qui conduisent à l obtention d un 5 à l issu des deux expériences et pour chacune, de multiplier les probabilités des branches suivies puis d additionner le tout.
III) INDEPENDANCE de DEUX EVENEMENTS Définition : ( INDEPENDANCE ) Soient A et B deux sous ensembles ( événements ) non vides de U. Les événements A et b sont indépendants si : p A (B) = p (B) Exemple : Dans un jeu usuel de cartes. Roi, Rouge sont-ils indépendants? p Rouge (Roi) = = et p(roi ) = = donc p Rouge(Roi) = p(roi ) Donc Roi et Rouge sont indépendants Propriété 5 : ( INDEPENDANCE ) Soient A et B deux sous ensembles ( événements ) non vides de U. Les événements A et B sont indépendants si au moins une des trois conditions suivantes est vérifiée :. p A (B) = p (B). p B (A) = p (A). p(a B ) = p(a) p(b) Exemple : On choisit une carte au hasard avec équiprobabilité dans un jeu de cartes. Déterminons si les événements Cœur, Rouge sont indépendants ou pas. p(cœur) p( Rouge ) = =, p ( Cœur Rouge ) = p(cœur) p(rouge) p( Cœur Rouge ),Cœur et Rouge ne sont pas indépendants. Remarque : Ne pas confondre événements incompatibles avec événements indépendants. ( A B = pour l un et p(a) p(b) = p(a B) pour l autre )