2 DEFINITION DE LA GEOMETRIE DE LA DENTURE

2 DEFINITION DE LA GEOMETRIE DE LA DENTURE 2.1 INTRODUCTION Les dentures Klingelnberg sont produites par un outil coupant pendant une procédure de génération continuelle [9]. Les réglages de la achine sans correction produisent des surfaces de denture conjuguées (Fig. 2.1), ais c'est une possibilité théorique dans la plupart des applications. Fig. 2.1 Disposition des engrenages spiro-coniques Klingelnberg 38

La fore de la courbure directrice est une épicycloïde allongée, qui se crée par un ouveent de rouleent sans glisseent. La hauteur de denture est constante. Le point de référence P pris au ilieu de la denture (Fig. 2.1) est situé à l'intersection de la courbure directrice et d'un cercle, ce cercle a un rayon égal à la longueur de la génératrice oyenne, Ceci se réalise dans le plan de la génération. Le surface de denture définitive est déterinée par la fore de la courbure directrice, la fore de l'outil coupant et son positionneent dans l'outil. Dans les applications réelles, les surfaces réelles déviennent des surfaces de denture conjuguées pour plusieurs raisons, ais principaleent pour éviter le contact aux parties extrêes au pied de la denture et en tête en assurant une portée localisée. Cette déviation est assurée par les corrections des dentures, en utilisant les réglages de achine appropriés. Mais il faut éviter une fonction non-continue de l'erreur cinéatique [54, 55, 26, 40, 28], et en êe teps assurer une portée localisée. 2.2 OUTILS DE CORRECTIONS ET DE MODIFICATIONS DE LA GEOMETRIE DE LA DENTURE Deux types principaux de corrections sont utilisés : - preièreent, les corrections de la portée qui contient des points conjugués sur le flanc de denture odifié [40], sont considérées. Elles sont considérées dans deux directions sur la surface de denture de la pièce, d'un côté en longueur, et d'un autre coté en hauteur de la denture de pignon. La correction en longueur se réalise par une variation du rayon de la fraise (Fig. 2.2). Cependant, la courbure de la fore longitudinale de la partie convexe de la roue génératrice est odifiée. Si le rayon est réduit, la courbure augente. Elle influence aussi la distance achine. Fig. 2.2 Corrections en longueur - deuxièeent, un outil coupant courbé est introduit s'opposant à l'outil coupant originaleent droit, afin de odifier en hauteur la surface de denture (Fig. 2.3). 39

Les deux corrections conduisent à une erreur cinéatique nulle à cause des points conjugués restants. En observant la correction en longueur, une aire de contact se fore à travers la surface de denture. Au contraire, pour la correction en hauteur, un contact longitudinal apparaît. L'aire de contact conjuguée en ligne devient une aire de contact ponctuelle si la surface est odifiée au oins dans une seule direction. Il reste un seul point conjugué si la surface subit une double correction et il en résulte une fonction parabolique de l'erreur cinéatique. En conséquence, plusieurs réglages de achine peuvent être considérés. En regardant les engrenages spiro-coniques du systèe Gleason, plusieurs auteurs [32, 24] ont décrit les influences de la rotation de l'outil. Par ailleurs, le décalage hypoïde, le déplaceent du centre de la achine et autres paraètres ont une influence sur la localisation de l'aire de contact. Ainsi, la rotation de l'outil coupant a été exainée coe une odification non-conjuguée. Elle influence la géoétrie de la surface de denture. Cette odification est toujours attachée à une correction de surface. Initialeent, le plan de l'outil coupant est dirigé au centre de rotation instantané dans la position de contact centrale au plan priitif (Fig. 2.2). Fig. 2.3 Correction en hauteur 2.3 MODELE MATHEMATIQUE DE LA GENERATION DE SURFACE ISSU DU SYSTEME CYCLO- PALLOID KLINGELNBERG La génération de la denture est déduite de la éthode de fabrication. Elle est siulée par un logiciel spécialeent conçu pour siuler la fabrication. Les rotations siultanées pendant les générations sont décrites par des transforations atricielles. 2.3.1 Génération du pignon (Indice 1 lié au pignon) La géoétrie de l'outil (Fig. 2.4 et Fig. 2.5 pour les flancs convexe et concave respectiveent) est décrite dans le repère S b1, le point P de génération instantané est présenté par le vecteur rayon r b1 (t). Le repère S b1 est tourné autour l'axe z t1 par la soe des angles ν et κ. L'angle ν est un angle de base quand le plan de l'outil est dirigé vers l'axe instantané I de rotation (Fig. 2.2). 40

Le repère copléentaire S t1 est fixé au repère S h1 de la fraise. Le rayon de la fraise est R = O O. Le repère S h1 tourne autour de l'axe z u1, l'angle de rotation est ϕ 1. Le repère h1 t1 h1 copléentaire S u1 est fixé à un autre repère copléentaire S v1. La distance achine M = O O connecte les deux repères S u1, S v1. Le repère S v1 tourne autour l'axe z c1, ϕ a1 est l'angle d1 u1 v1 de rotation actuel. Le repère S c1 est lié à la roue génératrice. Les angles ϕ 1 et ϕ a1 sont liés par la relation décrite par l'équation (2.1) (i=1 sur la figure 2.6) où p 1 et ρ 1 sont respectiveent les rayons du cercle roulant et du cercle de base. La roue génératrice donne la surface de denture (Fig. 2.7) et le repère S c1 tourne autour de l'axe z par l'angle de rotation ψ 1. Parallèleent, le repère propre S 1 du pignon tourne autour de l'axe z w1 par l'angle de rotation ψ a1. L'installation du repère S w1 en relation avec la position du repère S est déterinée par l'angle priitif δ 1 esuré dans le sens de rotation positive. La relation entre les deux angles ψ 1 est ψ a1 est donnée par l'équation (2.2). L'axe de vissage ou l'axe instantané du ouveent est l'axe y du repère S lié à la achine. ϕ ϕ 1 a1 = ρ p 1 1 (2.1) ψ 1 = sin δ ψ a1 1 (2.2) Fig. 2.4 Géoétrie de l'outil pour la génération du pignon, flanc convexe Fig. 2.5 Géoétrie de l'outil pour la génération du pignon, flanc concave 41

Fig. 2.6 Génération de la roue plate génératrice Fig. 2.7 Génération du pignon 2.3.2 Génération de la roue (Indice 2 est lié à la roue) La géoétrie de l'outil est présentée dans le repère S b2 (Fig. 2.8 et 2.9 pour les flancs concave et convexe respectiveent). Le processus pour obtenir la roue génératrice est réalisé par la êe éthode que celle du pignon (i=2 sur la figure 2.6). La roue génératrice crée la surface de denture (Fig. 2.10) et le repère S c2 tourne autour de l'axe z par l'angle de rotation ψ 2. En êe teps, le repère S 2 liée à la roue tourne autour de l'axe z w2 par l'angle de rotation ψ a2. L'installation du repère S w2 en relation avec la position du repère S est déterinée par l'angle priitif δ 2 esuré dans le sens de rotation positive. La relation entre les deux angles ψ 2 est ψ a2 est donnée par l'équation (2.3). 42

L'axe de vissage est l'axe y du repère S lié à la achine. ψ 2 = sin δ ψ a2 2 (2.3) Fig. 2.8 Géoétrie de l'outil pour la génération de la roue, flanc concave Fig. 2.9 Géoétrie de l'outil pour la génération de la roue, flanc convexe Fig. 2.10 Génération de la roue 43

2.3.3 Obtention de la surface de denture Pendant les transforations atricielles et calculs (Annexe 1.1), la faille des surfaces de la roue plate génératrice est décrite dans le repère S ci par le vecteur r ci (ϕ i,t i ). Quand le ouveent de génération se réalise, la surface de denture est présentée dans le repère S i. La faille des surfaces r i (ϕ i,t i,ψ i ) est décrite par l'équation atricielle (2.4), r i ( t, ψ ) = M ( ψ ) M M ( ψ ) M ( ϕ ) M M ( ϕ ) M M r ( t ) i, i i iw i w c i cv i vu uh i ht tb b i ϕ (2.4) où r i est le vecteur de position de la surface de denture. La surface de denture dépend de trois paraètres coe t le point de génération de l'outil, la rotation de la fraise ϕ i et la rotation de la roue génératrice ψ i. Le paraètre t n'est pas indépendant des autres deux paraètres [5/14], équation (2.5). t i ( ϕ ψ ) = t, (2.5) i i La condition de génération pour la denture est la ligne colinéaire avec le vecteur unitaire situé sur la surface de la roue génératrice qui passe par l'axe de vissage (Annexe 2). Le procédé est résolu par une éthode nuérique Gauss (Annexe 1.3) qui est aussi ipliquée dans les analyses de contact. 2.4 METHODE D INSPECTION DES ENGRENAGES SPIRO-CONIQUES Dans ce chapitre, une éthode révisée [20] est présentée pour trouver des facteurs d erreurs de l obtention des erreurs des données esurées sur une surface de denture : notaent, une éthode de sélection des facteurs d erreurs et une éthode d inspection appliquée au systèe Cyclo-Palloïd Klingelnberg. La conception est la suivante : - l'enseble des cordonnées des points de la pièce est déteriné par une esure CMM (Mesure des Cordonnées par Machine à esurer). La surface théorique de la dent en fonction des paraètres de taillage est estiée par la éthode des oindres carrés pour définir coent elle s ajuste aux données esurées. Les déviations estiées des paraètres de taillage sont considérées coe des erreurs de taillage dues la fabrication. Ces erreurs peuvent ensuite être raenées à la procédure de fabrication, pour obtenir ainsi une pièce plus précise, - les esures ont été effectuées dans les laboratoires de l INSA de Lyon en ars 2000. Quatre flancs d un pignon ont été esurés dont deux flancs convexes et deux flancs concaves (Fig. 2.11), donc deux creux de denture sont aussi concernés. Pendant la phase de préparation de l estiation des erreurs dues à la fabrication, on a été confronté au problèe du anque d inforations. Notaent, les paraètres de taillage liés aux flancs concaves du pignon n avaient pas été couniqués par le constructeur, ainsi on a du faire une estiation des paraètres de taillage dans une preière étape, ensuite on a fait l estiation des erreurs de fabrication. 44

Fig. 2.11 Points esurés sur les flancs de la pièce Le flanc de la denture des engrenages spiro-coniques dans le systèe Cyclo-Palloïd Klingelnberg sont présentés par deux paraètres (voir Chapitre 2.3) dans le repère S g fixé où l axe du pignon est z g. Les deux paraètres ϕ i et ψ i pour décrire la surface sont variables. Autreent, les paraètre C 1,C 2,,C n pour présenter les paraètre de réglage de achine, sont invariables car ce réglage de achine ne change pas pendant la fabrication. En utilisant ces deux paraètres ϕ i et ψ i, les points surfaciques sont présentés par un vecteur noral unitaire n g et un vecteur de position r g dans le repère S g par les fonctions de vecteurs suivant (Eq. 2.6 et 2.7) : g g ( ϕ ψ ; C, C,, C ), 1 2 r =r (2.6) g g ( ϕ ψ; C, C,, C ), 1 2 n n =n (2.7) n Les erreurs de fabrication des engrenages sont inévitables, les valeurs C 1,C 2,,C n sont différentes des valeurs des paraètres de achine de base. On utilise les êes syboles C 1,C 2,,C n pour les facteurs d erreurs correspondants. Pendant la esure, le pignon a une installation quelconque dans la achine à esurer CMM, son repère est S. La position de l axe du pignon et le soet du cône sont déterinés par une esure indépendante de la esure de la surface de denture. L origine O et l axe z sont respectiveent coïncidents à l origine O g et l axe z g (Fig. 2.12). Mais l angle de rotation du pignon autour de cet axe est inconnu. C est pourquoi, on doit définir cet angle Φ entre l axe x g et x par une siulation. Les vecteurs r g et n g sont transforés du repère S g au repère S par une transforation atricielle. Ces vecteurs transforés s appellent r, n (Eq. 2.8 et 2.9) : r = M Φ v (2.8) g ( ) g n = M Φ n (2.9) g ( ) g où M g est la atrice de transforation en respectant la rotation autour l axe z. 45

Fig. 2.12 Repères S g et S La esure a été réalisée par un palpeur sphérique, son rayon est r 0, il est en contact avec la surface au point Q (Fig. 2.13). Les cordonnées du centre P du palpeur sont théoriqueent expriées par un vecteur de position p dans le repère S (Eq. 2.10 et 2.11) : P r + 0 = r n (2.10) ( x, y, z ) p= (2.11) p p p Fig. 2.13 Mesure de la surface de denture D un autre côté, ces cordonnées esurées du centre P du palpeur par la achine à esurer CMM sont expriées par un vecteur de position (Eq. 2.12) dans le repère S : ( x, y, z ) = (2.12) Les vecteur p et sont expriés dans le repère S cartésien, et après sont transforés dans le 46

repère cylindrique S (Eq. 2.13 et 2.14). ( r,θ, z ) p= (2.13) p p p ( r,θ, z ) = (2.14) Φ n est ipliqué qu avec la cordonnée θ p : On égalise les cordonnées r p et z p à r et z respectiveent. Les paraètres ϕ et ψ dans les équations (2.15 et 2.16) sont indépendants de l angle Φ, ais ils dépendent de C 1,C 2,,C n. ( C, C,, C ) ϕ =ϕ (2.15) 1 2 n ( C, C,, C ) ψ =ψ (2.16) 1 2 n Les paraètres ϕ et ψ sont substitués à θ p, après θ P est coparé à θ. Si l angle Φ est connu et la surface de denture est taillée parfaiteent, les cordonnées cylindriques θ p et θ devraient être ipérativeent égales. Dans la pratique, elles ne sont jaais égales car l angle Φ est inconnu et le taillage de surface contient toujours des erreurs inévitables. Le résidu E est défini coe la différence entre θ p et θ (Eq. 2.17) : ( Φ C, C, ) = θ θ, C p 1 2 n (2.17) E, L'indice correspondant aux cordonnées sont liées à points esurés sur la surface du pignon. Chaque résidu E i (i=1,2,,), correspondant à i èe i point esuré, est calculé par l équation (2.17). On ne peut pas obtenir autoatiqueent les valeurs Φ, C 1,C 2,,C n afin que tous les résidus E i (i=1,2,,) proches ou égaux à zéro. Ainsi, on estie ces valeurs Φ, C 1,C 2,,C n en inialisant la soe de carré du résidu E i (i=1,2,,), il s agit une estiation des valeurs par la éthode des oindres carrés (2.18). Cette soe de carrés du résidu E i est noée F : F = i = 1 E2 (2.18) i Toutefois, l extension de la surface de denture est située sur une aire liitée en coparaison à la surface théorique qui a une extension plus grande. Les erreurs C 1,C 2,,C n sont faibles et la surface de denture est très coplexe. Deux cas peuvent se produire : - quelques erreurs ont les êes effets sur la surface de denture. Dans ce cas, c est assez difficile de distinguer les effets de ces erreurs, - erreurs C 1,C 2,,C n qui ont des effets très significatifs ou faibles sur la surface du pignon sont ixées. Ainsi les effets faibles sont parfois cachés par les effets significatifs. 47

Dans tous les cas, il est difficile d estier les valeurs C 1,C 2,,C n siultanéent. C est pourquoi on les estie séparéent. L équation siultanée est obtenue de la éthode de oindres carrés. On estie la valeur de Φ coe la oyenne de toutes les valeurs Φ i (Eq. 2.19) : Φ = i = 1 Φ i (2.19) Puis, on fait l estiation pour les autres valeurs C 1,C 2,,C n. 2.4.1 Méthode de sélection des facteurs d erreur Si on sélectionne le facteur d erreur qui a l'effet le plus significatif sur la surface de denture, la surface théorique ne s ajuste pas correcteent aux données esurées. Donc, l erreur du facteur d erreur est choisie la plus petite. Dans ce cas-là, la déviation de la valeur estiée de la valeur théorique est raenée à la fabrication, pour obtenir une surface de denture plus précise. Ainsi, il faut trouver les facteurs d erreur présents par une façon appropriée depuis les données esurées. Toutes sont estiées séparéent, en coençant par les valeurs C 1 et Φ i. En êe teps, on suppose que les valeurs des facteurs d erreur sont égales à zéro. Après on estie les autres erreurs C 2,,C n successiveent. Puis, on calcule t par l équation (2.20) qui correspond à la déviation standard en statistique et on représente la précision de l ajusteent définie autour de la circonférence du pignon. t = R sin δ F (2.20) Dans l équation (2.20), R est la génératrice oyenne, δ est l angle priitif. Quand une valeur théoriqueent estiée s ajuste coplèteent aux données esurées i (i=1,2,,), t est égal à zéro. Autreent si cette valeur t est assez petite, la surface théorique est proche aux données esurées. De cette phase là, le facteur d erreur indiquant le plus petit t est considéré coe un facteur d erreur détecté. Coe on avait esuré deux surfaces concaves et deux surfaces convexes, on envisage toutes les erreurs liées à chaque surface séparéent, puis on copare des valeurs de chaque surface de êe type, l une pour les surfaces concaves, l autre pour les surfaces convexes, Car ce n est pas sûr que les autres erreurs des facteurs d erreur sont petites ou non. C est pourquoi, on estie séparéent les valeurs des autres facteurs d erreur et calcule chaque t en utilisant la valeur du preier facteur d erreur. Si une erreur est plus petite que la preière, elle est aussi considérée coe un facteur d erreur détecté. Autreent, seuleent la preière a été détectée. Coe c était déjà dit, les déviations des valeurs estiées des facteurs d erreur des paraètres de fabrication sont considérées coe des erreurs du réglage de achine. 48

2.4.2 Résultat Cette éthode d inspection pour le systèe Cyclo-Palloïd Klingelnberg a été proposée pour établir une éthode de validation de la procédure de fabrication. Les diensions de la pièce inspectée sont dans le tableau A5.1. Les diensions de l outil et de la achine (Tableau 2.1) ne sont présentées que pour la surface de denture convexe. La déterination des diensions de la surface de denture concave reste à accoplir. On a esuré la surface par plusieurs points (Tableau 2.2) afin d éviter des erreurs éventuelles de esure. On a réalisé les esures sur la surface en prenant une direction perpendiculaire de la esure à l axe de la pièce (Fig. 2.14). Ensuite pour la présentation de l erreur, on transfore des cordonnées à une grille syétrique. Rayon de fraise R h () 135 Distance achine M d () 149,6 Cercle de rayon lié à la fraise ρ () 132,58 Cercle de rayon lié à la roue plate p () 17,02 Module d outil o () 6 Angle de pression α n ( ) 20 Rayon de la tête de l outil R c () 1,8 Nobre de groupes coupant 5 Tableau 2.1 Paraètres de taillage liés à la surface de denture convexe Surface Type de surface Nobre de points esurés 1 convexe 75 (5x15) 2 concave 60 (5x12) 3 concave 60 (5x12) 4 convexe 75 (5x15) Tableau 2.2 Type de surfaces et nobre de points esurés sur les surfaces Fig. 2.14 Positionneent des points esurés sur la surface de denture Les facteurs sont les suivants : - distance achine M d, - rayon de la fraise R h, - angle de pression α n, - angle priitif δ, 49

- génératrice priitive R e, - distance du décalage hypoïde I x. La distance d offset est exainée tout au long de l axe x s du repère global S s de la achine (Fig. 3.1 du Chapitre 3) en respectant le positionneent de la pièce. 2.4.3 Surfaces convexes Les diensions du pignon sont présentées sur le tableau. Les autres diensions liées respectiveent à l outil et aux paraètres de achine sont présentées sur le tableau. Le rayon du palpeur sphérique r 0 =0,99585 a utilisé pour la esure des flans convexes. Les valeurs des erreurs dans les points esurés sont calculées (Fig. 2.15 et 2.16 liées respectiveent aux surfaces 1 et 4). Fig. 2.15 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface convexe 1 Fig. 2.16 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface convexe 4 Chaque valeur t et l angle Φ ont été calculée. Les résultats correspondant aux surfaces convexes 1 et 4 ontrent (Tableaux 2.3 et 2.4) que les déviations des valeurs estiées des facteurs 50

erreurs des paraètres de fabrication se présentent coe des erreurs. Dans les deux cas, c est la distance d offset I x qui a la plus petite erreur. La surface théorique du pignon qui correspond à la valeur estiée I x, peut être considérée coe celle qui s ajuste plus préciséent aux données esurées. Donc, on refait l estiation en utilisant les valeurs où I x1 est égal à 0,177 et où I x4 est égal à 0,156, ainsi cette erreur de la distance d offset devrait être zéro. Par ailleurs, on estie les autres valeurs M d, R h, α n, δ, et R e séparéent pour savoir les valeurs des autres facteurs d erreur. Selon les résultats de la preière estiation, on peut constater qu une seule erreur reste significative, celle qui a le plus petit t, ceci est lié à l angle de pression α n, donc une nouvelle estiation est encore nécessaire pour éliiner des effets de ce auvais réglage de l angle de pression (Tableaux 2.5 et 2.6). L angle de pression α n1 est égal à 2,697 et α n4 est égal à 5,259. Les autres facteurs M d, R h, δ, et R e sont très proches des paraètres de fabrication dès le preier changeent de réglage. M d -0,218 57,969 18,03 α n 2,563 58,068 44,99 R h 0,453 57,611 20,36 δ -0,854 58,739 31,86 I x 0,177 57,927 13,73 R e -0,256 58,130 40,25 Tableau 2.3 Résultats de l inspection sur la surface convexe 1 M d -0,203 20,060 21,08 α n 1,999 20,149 36,68 R h 0,457 19,698 22,49 δ -0,082 20,219 35,60 I x 0,156 20,121 14,68 R e -0,107 20,176 36,17 Tableau 2.4 Résultats de l inspection sur la surface convexe 4 M d -0,0006 57,927 13,73 α n 2,697 57,927 13,48 R h -0,0019 57,929 13,71 δ -0,0007 57,928 13,73 R e -0,006 57,926 13,70 Tableau 2.5 Résultats de l inspection sur la surface convexe 1, I x1 =0,177 Après la deuxièe estiation, leurs valeurs d erreur ne sont pas considérableent plus grandes que la preière (Tableaux 2.7 et 2.8). Ainsi un éventuel nouveau taillage doit être fait avec deux changeents du réglage qui touchent la distance d offset et l angle de pression. Les valeurs des erreurs après les deux estiations dans les points esurés sont présentées sur les figures 2.17 et 2.18 liées respectiveent aux surfaces 1 et 4. 51

M d 0,002 20,121 14,68 α n 5,259 20,119 12,71 R h -0,006 20,127 14,68 δ 0,057 20,069 13,50 R e 0,047 20,108 14,07 Tableau 2.6 Résultats de l inspection sur la surface convexe 4, I x4 =0,156 M d 0,0003 57,927 13,46 R h -0,004 57,931 13,47 δ -0,017 57,942 13,44 R e 0,007 57,925 13,46 Tableau 2.7 Résultats de l inspection sur la surface convexe 1, I x1 =0,177, α n1 =2,697 M d 0,00001 20,119 12,71 R h 0,0003 20,119 12,71 δ -0,022 20,138 12,64 R e -0,011 20,122 12,69 Tableau 2.8 Résultats de l inspection sur la surface convexe 4, I x4 =0,156, α n4 =5,259 Fig. 2.17 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface convexe 1, I x1 =0,177, α n1 =2,697 Les résultats ontrent que les facteurs d'erreurs se reproduisent dans les deux cas de surfaces de denture convexes. Le positionneent des pics (Fig. 2.17 et 2.18) est presque identique dans les cas 1 et 4, il ne disparaît pas après les estiations, ceux qui peuvent être liés au auvais réglage de fabrication ou à une défaillance du traiteent de chaleur. Donc, il peut être supposé que cette pièce ne fonctionne pas conforéent aux exigences d'engrèneent. Cette hypothèse est soutenue par les inforations obtenues du fabricant. 52

Fig. 2.18 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface convexe 4, I x4 =0,156, α n4 =5,259 2.4.4 Surfaces concaves Dans ce cas là, l'intention est d identifier les paraètres de taillage car ils n avaient pas été couniqués par le constructeur de la pièce. Ainsi, on doit supposer en s'appuyant sur la particularité du systèe Cyclo-Palloïd Klingelnberg que l outil a les êes paraètres pour les surfaces qu elles soient concaves ou soient convexes. Les distances de achine, donc les points d ajusteent théoriques de l'outil coupant sont différents (Fig. 1.5) ce qui sera vérifié par les estiations, ais pour la preière approche, on vise que les réglages de achine sont identiques pour la surface convexe aussi pour la surface concave (Fig. 2.19 et 2.20). Le rayon du palpeur sphérique r 0 =0,99595 a utilisé pour la esure des flancs concaves. On a esuré la surface sur plusieurs points (Tableau 2.2) afin d éviter des erreurs de esure éventuelles. Chaque valeur t et Φ a été calculée. Les résultats correspondant aux surfaces concaves 2 et 3 ontrent (Tableaux 2.9 et 2.10) que les déviations des valeurs estiées des facteurs erreurs des paraètres de fabrication se présentent coe des erreurs. Dans les deux cas, les distances de achine M d ont les valeurs plus petites. En respectant la théorie du Cyclo-Palloïd Klingelnberg, on raène ces valeurs des distances achines M d2 et M d3 à l estiation. Dans les deux cas, la distance achine M d a la plus petite erreur. La surface théorique du pignon qui correspond à la valeur estiée M d peut être considérée coe celle qui s ajust plus préciséent aux données esurées. Donc, on refait l estiation en utilisant les valeurs M d2 est égal à 0,695 (M d2 =150,695 ) et M d3 est égal à 0,615 (M d3 =150,615 ) et, ainsi cette erreur de la distance achine devrait être zéro. Par ailleurs, on estie les autres valeurs R h, α n, δ, R e et I x séparéent pour connaître les valeurs des autres facteurs d erreur. Après la preière estiation (Fig. 2.21 et 2.22), on peut constater que l'erreur de la génératrice oyenne donne le plus petit t, donc une nouvelle estiation est deandée pour éliiner les effets de ce auvais réglage de la génératrice oyenne (Tableaux 2.11 et 2.12). La génératrice oyenne R e2 est égale à 0,483 et R e3 est égal à 0,462. Les autres facteurs R h, α n, δ, et I x sont estiés à nouveau séparéent. 53

Fig. 2.19 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface concave 2 Fig. 2.20 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface concave 3 M d 1,095 65,792 37,904 α n 1,978 65,313 156,916 R h -2,499 67,777 41,788 δ -1,357 64,230 103,662 I x -1,529 66,592 64,610 R e 1,308 64,498 138,446 Tableau 2.9 Résultats de l inspection sur la surface concave 2 M d 1,015 27,846 30,015 α n 1,516 27,399 159,378 R h -2,304 29,673 35,334 δ -1,339 26,343 114,597 I x -0,883 28,025 51,959 R e 1,198 26,662 145,999 Tableau 2.10 Résultats de l inspection sur la surface concave 3 54

α n 0,341 65,795 35,083 R h 0,108 65,687 34,951 δ -0,406 65,452 25,948 I x -0,195 65,956 32,834 R e 0,483 65,499 20,179 Tableau 2.11 Résultats de l inspection sur la surface concave 2, M d2 =150,695 α n -2,000 27,847 27,625 R h -0,002 27,849 30,004 δ -0,441 27,480 18,454 I x 0,0001 27,846 30,016 R e 0,462 27,569 11,558 Tableau 2.12 Résultats de l inspection sur la surface concave 3, M d3 =150,615 Fig. 2.21 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface concave 2, M d3 =150,695 Fig. 2.22 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface concave 3, M d3 =150,615 55

Issue de la deuxièe estiation, on peut constater que l'erreur du rayon d'outil donne le plus petit t, donc une nouvelle estiation est deandée pour éliiner les effets de ce auvais réglage (Tableaux 2.13 et 2.14). Le rayon d'outil R h2 est égal à 0,179 (R h2 =135,179 ) et R h3 est égal à 0,077 (R h3 =135,077 ). Les autres facteurs α n, δ, et I x sont estiés à nouveau séparéent. α n -0,277 65,501 20,399 R h 0,179 65,324 16,768 δ 0,0767 65,567 20,144 I x 0,075 65,437 18,981 Tableau 2.13 Résultats de l inspection sur la surface concave 2, M d2 =150,695 et R e2 =0,483 α n -0,719 27,570 11,381 R h 0,077 27,493 10,135 δ 0,007 27,576 11,315 I x 0,025 27,552 10,722 Tableau 2.14 Résultats de l inspection sur la surface concave 3, M d3 =150,615 et R e3 =0,462 Issues de la troisièe estiation, les valeurs t sont déjà assez proche ainsi une nouvelle quatrièe estiation ne sera pas faite (Tableaux 2.15 et 2.16) (Fig. 2.23 et 2.24). En vérifiant les valeurs d'erreurs de la surface de denture 2, l'erreur de l'angle priitif devient le plus petit t, δ 2 est égal à -0,085, la nouvelle estiation ne donne pas des valeurs considérableent différentes des précédentes (Tableau 2.17). α n 3,5625 65,324 16,768 δ -0,085 65,251 15,808 I x -0,024 65,344 16,617 Tableau 2.15 Résultats de l inspection sur la surface concave 2, M d2 =150,695, R e2 =0,483 et R h2 =135,179 α n -0,391 27,493 10,135 δ -0,051 27,449 10,315 I x -0,006 27,497 10,105 Tableau 2.16 Résultats de l inspection sur la surface concave 3, M d3 =150,615 et R e3 =0,462 et R h3 =135,077 α n -0,939 65,251 15,808 I x 0,023 65,231 15,638 Tableau 2.17 Résultats de l inspection sur la surface concave 2, M d3 =150,695 et R e3 =0,483, R h3 =135,179 et δ 2 = -0.085 56

Fig. 2.23 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface concave 2, M d2 =150,695, R e2 =0,483 et R h2 =135,179 Fig. 2.24 Valeurs des erreurs dans les points esurés, surface concave 3, M d3 =150,615 et R e3 =0,462 et R h3 =135,077 On a constaté dont on a eu besoin plusieurs estiations, notaent trois dans le cas de la surface de denture concave, où il est devenu claire que ces estiations étaient plutôt des déterinations des paraètres de achine, êe l'éventuelle erreur de la génératrice priitive est détectée. La particularité du systèe Cyclo-Palloïd Klingelnberg est vérifiée. Il reste de faire coparer les données obtenues aux réglages de achine. Les erreurs sont répétables, ainsi les effets des traiteents après taillage n'ont pas été identifiés. 2.4.5 Direction de l'outil coupant La direction de l'outil coupant n'était pas tenue en copte coe un facteur d'erreur dans les estiations aux réglages de achine. Entant un paraètre à la localisation de la portée, le réglage de direction de l'outil coupant est étudie. Les valeurs ont été estiées à la dernière estiation dans tous les quatre cas (Tableau 2.18) et elles ontrent que le plan contenant de l'outil est orienté au centre de 57

rotation instantané dans la position de contact central au plan priitif. Surface Surface Surface Surface convexe 1 convexe 4 concave 2 concave 3 Angle rotation κ ( ) 0,011 0,011 0,938 0,507 Tableau 2.18 Angle de rotation de l'outil coupant 2.4.6 Conclusion La déterination nuérique des paraètres de taillage de la surface réelle issue de la esure 3D est utilisée coe une phase de vérification de la fabrication. La pièce esurée a des erreurs de fabrication qui se répètent. Les surfaces convexes présentent des pics. La pièce esurée ne peut donc pas être utilisée pour des applications devant satisfaire à des exigences de bruit et de vibration. Un nouveau taillage serait nécessaire pour avoir des coporteents cinéatique et dynaique satisfaisants. Les réglages des achines générant les surfaces de denture concaves sont identifiés. 2.5 COMPARAISON DES SURFACES OBTENUES AVEC DIFFERENTES CORRECTIONS L'influence des variations de la fore de l'outil coupant et des réglages de achine sur la surface de denture présentée est le résultat d une siulation nuérique. Les cas traités sont décrits dans l'annexe A.5. La éthode de coparaison du rapprocheent des surfaces est présentée dans l'annexe A.6. Les coparaisons des surfaces de denture correspondent à un preier pas vers la siulation de contact. Il s agit d'avoir une portée localisée, d éviter le contact aux extréités de la surface de denture et d'aéliorer les coporteents dynaiques et cinéatiques, en exploitant les possibilités des achines de taillage. Preièreent, on définit des paraètres de taillage de la surface de base : une surface de référence. Toutes les variations de la géoétrie de la surface de denture ayant subie des corrections ou des odifications seront coparées à cette surface en présentant l'enlèveent de atière par rapport à elle. Cette surface de denture de base est siulée avec un outil coupant droit, sans rotation de l'outil coupant, ce cas est noé cas 01 (voir Annexe 4.5). Les corrections en longueur et en hauteur sont envisagées. La correction en hauteur est obtenue par la variation du rayon d'outil (Fig. 2.2). En hauteur, les variations de la courbure de l'outil coupant (Fig. 2.3) ou de rotation de l'outil coupant (Fig. 2.2) sont considérées. Six cas seront traités. L'influence de la direction de la rotation de l'outil coupant par un angle positif de 10 (cas 02), dans la direction négative par l'angle 10 (cas 03). Par ailleurs, les influences des différentes corrections en longueur (cas A1), en hauteur (cas B1). Finaleent des effets de cuul des odifications appliquées en parallèle. Une surface corrigée dans toutes les deux directions, en longueur et en hauteur (cas C1), et l'effet d'une rotation additionnelle de l'outil coupant à cette surface deux fois corrigée (cas C2) seront concernés dans la coparaison. Les liites de surface active sont aussi coparées. 58

Mais ces liites ne sont pas identiques, elles varient selon les corrections appliquées. Les différences des liites des surfaces de denture actives sont présentées sur la ligne de la liite de la surface active de la surface de denture de base. Coordonnées x,y Cas 02 Cas 03 Cas A1 Cas B1 Cas C1 Cas C2 de la grille () -26,5;4-1,068-1,506 3,894 0,942 4,83 3,744-26,5;0 0 0 4,044 0 4,044 4,044-26,5;-4 1,74 2,514 4,32 2,67 7,002 8,808 0;4-1,164-1,158 0,006 0,876 0,882-0,306 0;0 0 0 0 0 0 0 0;-4 1,566 1,584 0 1,662 1,668 3,234 26,5;4-1,23-0,972 3,624 0,858 4,488 3,234 26,5;0 0 0 3,414 0 3,414 3,414 26,5;-4 1,494 1,194 3,162 1,314 4,476 5,958 Tableau 2.19 Valeurs des différences entre les surfaces coparées (en arc seconde) La rotation de l'outil coupant a des effets sur la surface de denture en hauteur, en fonction de la direction du coupant, il y a plus de différence absolue au début, oins à la fin de la surface, cas 03 par rapport au cas 02. Dans les deux cas, la différence absolue est oindre à la tête qu'au pied du flanc. Une différence à la tête est de 34,54 % inférieure par rapport au pied, à la position latitudinale édiane au cas 02 (Tableau 2.19). Un renforceent de atière se réalise à la tête et un enlèveent au pied de la denture (Fig. 2.25 et 2.26) ce qui est indépendant de la direction de la rotation de l'outil coupant. Fig. 2.25 Différences des surfaces, rotation de l'outil coupant, cas 02 La correction en longueur (cas A1) effectue l'enlèveent de atière (Tableau 2.19) au début et à la fin de la surface, une ligne coposée des points restants conjugués se trouve au ilieu de la surface en la traversant (Fig. 2.27). Au petit bout, la différence des surfaces par rapport au gros bout est de 18 % supérieure, dans la position longitudinale édiane (Tableau 2.19). 59

Fig. 2.26 Différences des surfaces, rotation de l'outil coupant, cas 03 Fig. 2.27 Différences des surfaces, correction en longueur, cas A1 La correction en hauteur (cas B1) effectue l'enlèveent de atière (Tableau 2.19) au pied et à la tête de la surface, une ligne coposée des points restants conjugués se trouve au ilieu de la surface en longueur, où la géoétrie de denture ne varie pas en fonction de cette correction (Fig. 2.28). La différence des surfaces à la tête par rapport au pied dans la position latitudinale édiane est de 89,76 % inférieure (Tableau 2.19). Cet écart est plus grand au petit bout, il diinue vers le gros bout de la surface. En rapprochant à la liite de la surface active la différence augente excessiveent (Fig. 2.28). Les points conjugués sont en ligne longitudinale édiane. 60

Fig. 2.28 Différences des surfaces, correction en hauteur, cas B1 Fig. 2.29 Différences des surfaces, correction en hauteur et longueur, cas C1 Finaleent les effets de cuul des odifications appliquées en parallèle sont envisagés. La surface est corrigée dans les deux directions, en longueur et en hauteur (cas C1). On constate que des effets séparés des corrections, soit en longueur, soit en hauteur, s'additionnent (Fig. 2.29). La valeur de la différence est quasient la soe des valeurs des différences obtenues séparéent par 61

les corrections en hauteur et en longueur, dans les points correspondants du quadrillage (Tableau 2.19). Seul le point conjugué par rapport à la surface de base reste, il est situé au ilieu de la surface, dans l'axe des lignes longitudinales et latitudinales édianes. L'effet d'une rotation additionnelle de l'outil coupant à cette surface deux fois corrigée (cas C2) est aussi concerné dans la coparaison. Coe cela a déjà été constaté, les influences aussi s'additionnent dans ce cas-là. A cause de la rotation de l'outil coupant, l'enlèveent de atière à la partie basse de la denture augente considérableent. Ainsi le point conjugué se déplace vers le haut de la denture, le point qui a la différence plus négative (Fig. 2.30). Fig. 2.30 Différences des surfaces, correction en hauteur et longueur, rotation additionnelle de l'outil coupant, cas C2 En conclusion, la coparaison des surfaces de denture visualise la différence entre leurs géoétries. Les effets de chaque correction sur les différences entre les surfaces s'additionnent si ces corrections sont appliquées en êe teps. La ligne des points conjugués se transfore à un seul point si plusieurs corrections sont prises en copte. 62

2.6 DETERMINATION DES RAYONS DE COURBURE PAR UNE METHODE ITERATIVE Les surfaces des engrenages spiro-coniques sont coplexes et leur géoétrie peut être difficileent décrite par les éthodes analytiques. Cette particularité concerne la déterination des rayons de courbure de la surface. Ils présentent la base de la théorie de Hertz (Annexe 3) qui sert à définir le rapprocheent des surfaces sous charge. Les surfaces sous charge ont une déforée flexible et le point de contact devient un contact surfacique qui est estié par une ellipse. Pour déteriner ces ellipses, la valeur de déforation et la pression de contact, la connaissance des valeurs des rayons de courbure est deandée. Cependant, les calculs analytiques (Annexe 1.2) n'ont pas donné les valeurs recherchées des rayons de courbure, ainsi on a du choisir une estiation itérative. Pour un point donné de la surface de denture, on envisage des intersections de la surface et un plan tournant autour la norale de la surface dans ce point. Ces intersections sont des courbes qui coposent la surface. Donc, les plans sont parallèles avec la norale n (Fig. 2.31). On définit une distance (d=0,01 ) le long la norale définie par l'intersection le plan tangent et le plan parallèle, on esure cette distance de l'origine O i, donc on obtient un point P sur le plan tangent. Puis nous calculons la distance l entre le pont M de la courbe et le plan tangent. Le rayon de courbure actuel R x est calculé par l'équation 2.21. En tournant le plan, un cylindre se crée, et les valeurs de rayon de courbure sont recherchées. Théoriqueent les plans contenant les rayons à valeurs iniale et axiale sont perpendiculaires. d 2 2 + l R x = 2 l (2.21) Fig. 2.31 Déterination des rayons courbure principaux 63