Approche graphique de la dérivation

Approche graphique de la dérivation Jean-Noël Gers Février 007 CUEEP Département Mathématiques p1/7

Avertissement Ce cours est un document d après travail. Il constitue une mise en forme de l activité de mathématisation de situations que j anime dans les groupes de préparation au D.A.E.U. Les situations en question sont exposées dans des fiches qui ne sont pas encore mises en ligne mais sont disponibles sur support papier. Ce cours vise avant tout à donner du sens aux concepts abordés. Il tente de les formaliser à moindre frais, c est à dire en les construisant à partir de notions familières et en faisant appel le moins possible à des formalismes sophistiqués. CUEEP Département Mathématiques p/7

1. A quoi sert la dérivation? 1.1 Le calcul des grandeurs «quotient». Beaucoup de grandeurs physiques ou économiques sont des grandeurs «quotient», c est à dire qu elles peuvent se calculer en divisant l une par l autre deux autres grandeurs. La vitesse est une grandeur quotient : elle s obtient en divisant la distance parcourue par le temps de parcours. Si je mets heures en voiture pour faire 70km, je dirai que j ai roulé à 90km/h. Il s agit bien sûr d une vitesse moyenne. Il est bien évident que le compteur de vitesse de la voiture n est pas resté bloqué à 90km/h! Le compteur de vitesse fournit une vitesse instantanée qui varie de 0km/h à 10km/h et au delà La densité des appels reçus par un standard téléphonique est également une grandeur quotient : elle s obtient en divisant le nombre d appels par le temps écoulé. Si par exemple un standard a reçu 900 appels en une heure, cela fait une densité de 15 appels par minute. Il s agit bien sûr encore d une densité moyenne. Le nombre d appels reçus chaque minute peut être très variable! Le concept de dérivation généralise celui de division ; il permet le calcul des valeurs instantanées d une grandeur quotient. Nous proposons dans ce chapitre une approche graphique de ce concept. CUEEP Département Mathématiques p/7

1. Le ballon sonde Voici le relevé des mesures effectuées par l altimètre d un ballon sonde : Quelle était la vitesse d ascension du ballon dans la zone des 8000m? A quelle heure et à quelle vitesse le ballon a-t-il atterri? Quand la vitesse d ascension a-t-elle été la plus forte? Quelle était cette vitesse? Quand l accélération ascensionnelle a-t-elle été la plus forte? CUEEP Département Mathématiques p4/7

Dans la zone des 8000m la courbe des altitudes se confond avec une droite. La vitesse d ascension du ballon dans cette zone est égale à la pente de la droite en question. On trouve environ 14km/h. Dans la zone des 18000m le ballon explose et entame sa descente, soutenu par un parachute. Pendant le début de cette descente la courbe des altitudes se confond avec une droite. La vitesse de descente est alors égale à la pente de la droite en question. On trouve environ 17km/h. Cette droite coupe l altitude 0 vers 18heures, heure d atterrissage si la vitesse de descente se maintient. CUEEP Département Mathématiques p5/7

On observe à l altitude de 4000m une inflexion de la courbe des altitudes: jusqu à cette altitude, la pente augmente, tandis qu à partir de cette altitude elle diminue. Cela signifie que le ballon monte de plus en plus vite avant l altitude de 4000m et de moins en moins vite après. Et donc la vitesse d ascension est maximum à 4000m. La pente au point d inflexion est d environ 4km/h. C est la vitesse d ascension maximum atteinte par le ballon sonde. CUEEP Département Mathématiques p6/7

La courbe des altitudes présente une rupture de pente environ trois quart d heure après l envol. Pendant les premiers trois quarts d heure on est sur une pente d environ 0,7km/h Puis la courbe prend brusquement une pente d environ 8km/h. Ce changement de vitesse s effectue en seulement quelques minutes. C est la plus forte accélération que l on peut observer pendant l ascension du ballon. CUEEP Département Mathématiques p7/7

1. La fusée. Ci-contre le relevé en mètre des altitudes atteintes par la fusée ArianeV au cours des 10 premières secondes de vol. Quelles est la vitesse ascensionnelle de cette fusée une minute après l envol? Quelles est la vitesse ascensionnelle de cette fusée deux minutes après l envol? Quelle hypothèse peut-on faire sur la façon dont varie la vitesse d ascension pendant le vol? CUEEP Département Mathématiques p8/7

Ci contre on a tracé les tangentes à la courbe des altitudes au bout d une minute de vol et au bout de deux minutes de vol. Chaque tangente se confond un court instant avec la courbe, et donc sa pente fournit la vitesse d ascension, à cet instant, de la fusée. Une minute après l envol, en suivant la tangente, on trouve une augmentation de 6000 mètres en 75 secondes soit une vitesse de 480m/s. Deux minutes après l envol, en suivant la tangente, on trouve une augmentation de 58000 mètres en 60 secondes soit une vitesse de 960m/s. On constate que la vitesse d ascension double quand la durée de vol double ; on peut faire l hypothèse que la vitesse d ascension est proportionnelle à la durée de vol. CUEEP Département Mathématiques p9/7

1.4 Le vote par téléphone Un grand jeu télévisé organise un vote par téléphone pendant une heure. La courbe ci-contre donne le nombre de votes enregistrés depuis le début du jeu Quel est le nombre de votes dans la première minute? Quel est le nombre de votes dans la trentième minute? Quel est le nombre de votes dans la cinquante neuvième minute? CUEEP Département Mathématiques p10/7

Il n est pas possible de lire directement sur la courbe elle-même le nombre d appels dans la première minute. Par contre il est possible de tracer la tangente à l origine qui se confond pratiquement avec la courbe pendant la première minute du jeu. En suivant cette tangente on trouve 6000 appels en 0 minutes, soit une fréquence de 100 appels par minute. Il y a donc eu environ 100 appels dans la première minute du jeu. Le même raisonnement vaut pour la trentième minute. En suivant la tangente on trouve 18000 appels en 0 minutes, soit une fréquence de 600 appels par minute. Il y a donc eu environ 600 appels pendant la trentième minute. Pendant la cinquante neuvième minute la courbe est horizontale, il n y a donc pratiquement pas eu d appels. CUEEP Département Mathématiques p11/7

1.5 En résumé La vitesse d ascension v de la fusée ne se calcule pas en divisant l altitude h, par la durée d ascension t : v = h t La vitesse d ascension v de la fusée est égale à la pente de la courbe qui représente les variations de h en fonction de t : Cette pente se mesure sur la tangente à la courbe en divisant les variations d altitude dh par les durées d ascension correspondantes dt Quand il n y a pas de confusion possible cette pente se note h La courbe qui représente les variations de h en fonction de t est dite courbe dérivée de h v = dh dt Mêmes conclusions pour la relation entre le nombre de votes N, la densité d appels n, et la durée de vote t : n = N t n = dn dt CUEEP Département Mathématiques p1/7

Linéarité de la dérivation..1 La marée et la crue. A Bordeaux la hauteur d eau dans le port suit le rythme des marées. La marée montante élève le niveau de m au dessus du niveau moyen en six heures ; la marée descendante l abaisse à m en dessous pendant la même durée ( courbe en traits pleins ). Une crue de mètres est annoncée. Elle arrivera dans le port à mi-marée descendante et atteindra son maximum six heures plus tard ( traits en pointillés ). Son effet s ajoute à celui de la marée. Tracez le graphique des hauteurs d eau à venir. h 4 1 0-1 - 6 9 1 15 x CUEEP Département Mathématiques p1/7

En additionnant les effets de la marée et de la crue on obtient le graphique en gras. Ce graphique est la somme des graphiques précédents, c est à dire qu à chaque instant la hauteur qu il indique est la somme des hauteurs dues à la marée et à la crue. Il est important de remarquer que les pentes aussi s additionnent dans cette opération : - entre heures et 6 heures la baisse des eaux est de cm par heure au lieu de 66cm par heure - entre 6 heures et 9 heures la montée des eaux est de 1m par heure au lieu de 66cm par heure - entre 9 heures et 1 heures le graphique en traits pleins et celui en traits gras sont parallèles Cette propriété des pentes est dite propriété de linéarité. h 4 1 0-1 - 6 9 1 15 x CUEEP Département Mathématiques p14/7

La propriété de linéarité des pentes que nous venons d observer dans le cas de lignes brisées se généralise à de nombreuses courbes continues. En effet une courbe continue peut souvent être considérée comme une ligne brisée constituée d une infinité de segments extrêmement courts. Le graphique ci dessous représente une évolution plus réaliste des hauteurs d eau en fonction du temps. Vous pouvez vérifier que la propriété de linéarité des pentes reste valable ( en traçant par exemple les tangentes en, 6 et 9 ). h 4 1 0-1 - 6 9 1 15 x CUEEP Département Mathématiques p15/7

. En résumé. On a les propriétés suivantes de linéarité sur les pentes : Quand on additionne deux courbes, les pentes s ajoutent. Quand on retranche deux courbes, les pentes se retranchent. Quand on multiplie une courbe par une constante, les pentes sont multipliées par cette constante. CUEEP Département Mathématiques p16/7

Dérivation des courbes polynomiales..1 Dérivation de la parabole y = x On a la propriété remarquable suivante : y Quelque soit la position du point M sur la parabole, la tangente en M à la parabole coupe l axe des x au milieu I de OH Soit x l abscisse de M. La pente de la parabole en M vaut : M MH MI = x x = x La droite y'= x donne la pente de la parabole au point d abscisse x. Elle est dite dérivée de la parabole d équation y = x. O I H x Il ne faut pas la confondre avec la droite tangente en M. CUEEP Département Mathématiques p17/7

. Dérivation de la cubique y = x y On a la propriété remarquable suivante : M Quelque soit la position du point M sur la cubique, la tangente en M à la cubique coupe l axe des x au tiers J de OH Soit x l abscisse de M. La pente de la parabole en M vaut : MH MI = x x = x O J H x La parabole d abscisse x. Elle est dite dérivée de la cubique d équation y ' = x donne la pente de la cubique au point y = x. CUEEP Département Mathématiques p18/7

. Applications. La Fusée. La courbe des altitudes de la fusée a pour équation où t est en secondes et h en mètres h = 4t En utilisant les règles de dérivations que nous venons d établir retrouvez les vitesses mesurées sur le graphique Le vote par téléphone. La courbe du nombre de vote a pour équation : Où t est en minute N = 16t(10 t) En utilisant les règles de dérivations que nous venons d établir retrouvez les densités d appel mesurées sur le graphique. CUEEP Département Mathématiques p19/7

Corrigé de la Fusée à eau. Les règles de dérivation jointes à la linéarité des pentes permettent d obtenir la formule suivante pour la vitesse d ascension : En faisant t = 60 et t = 10 v = 8t, dans cette formule, on retrouve respectivement les valeurs 480 et 960 mesurées sur le graphique. Corrigé du vote par téléphone. Les règles de dérivation jointes à la linéarité des pentes permettent d obtenir la formule suivante pour la densité d appels : n = 100 0t En faisant t = 0 et t = 0, dans cette formule on trouve respectivement les valeurs 100 et 600 mesurées sur le graphique. CUEEP Département Mathématiques p0/7

4 Exercices La voûte Une voûte a le profil ci-contre d équation avec x en décamètre et y en mètre. Donner la largeur et la hauteur de cette voûte. Que valent les pentes à la base de cette voûte? y = 4x x y x La rivière La profondeur d eau dans une rivière à x mètres de la rive gauche est donnée, en mètre, par la formule : y = 0,18x 0,000x La rivière a une largeur de 0 mètres. Quelle est la pente du fond près de la rive gauche? Quelle est la pente du fond près de la rive droite? A quelle distance de la rive gauche trouve-t-on la profondeur maximale? Quelle est cette profondeur maximale? CUEEP Département Mathématiques p1/7

4.1 L autoroute. Profil de l autoroute Le profil de l autoroute est une parabole qui a son sommet à l origine. D où l équation : h = ax où a est une constante à déterminer. Comme le point A est situé à la distance x = 1600 et à la hauteur h = 18 on a : d où : L équation du profil est donc : 18 = a 1600 a = 0,00005 h = 0,00005x Pente en un point M situé à la distance x de l origine La pente au point M s obtient par dérivation en remplaçant x par x dans l équation de la parabole ; cette pente vaut donc : p = 0, 0001x La pente au point A s obtient en remplaçant x par 1600 dans cette formule. On trouve 0,16 soit 16%. CUEEP Département Mathématiques p/7

Position et hauteur du point B. La pente étant de 10% au point B, l éloignement x de ce point à l origine vérifie l équation : On trouve : 0,10 = 0,0001x x = 1000 Le point B se trouve donc à 1000m du point O. La hauteur au point B s obtient en remplaçant x par 1000 dans l équation de la parabole. On trouve h = 50 Equation de la droite BD. La droite BD a une pente de 10%. Elle a donc une équation de la forme: h = 0, 10x + b Pour qu elle passe par le point B il faut que cette équation soit vérifiée pour x = 1000 et h = 50. On a donc : d où b = 50. L équation de la droite BD est donc : 50 = 0,10 1000 h = 0,1x 50 En faisant h = 150 dans cette équation on obtient l éloignement du point D, soit x = 000 + b CUEEP Département Mathématiques p/7

Parabole de raccordement entre le point B et le plateau. La parabole de raccordement a une équation de la forme : Les pentes de cette parabole s obtiennent par dérivation : h = ax + bx + c p = ax + b Cette parabole doit être tangente à la droite BD ; elle doit donc avoir une pente de 10% en B ; ce qui s écrit : a 1000 + b = 0,10 Cette parabole doit avoir son sommet S sur la droite h = 150 ; le point D doit donc se trouver à égale distance de B et de S. Le sommet S se trouve donc à 000m de O. La pente de la parabole doit donc être nulle pour x = 000. Soit : a 000 + b = 0 On obtient un système de deux équations aux inconnues a et b. En le résolvant on trouve a = 0, 00005 et b = 0, 15. On en déduit l équation de la parabole de raccordement : Cette parabole doit passer par B, donc : h = 0,00005x + 0, 15x + c 50 = 0,00005 1000 + 0,15 1000 + c On trouve c = 75. D où l équation : h = 0,00005x + 0,15x 75 CUEEP Département Mathématiques p4/7

4. Le cornet de frites. L arête du cornet de frites mesure 1dm. Soit H la hauteur du cône et R le rayon de sa base. L arête, la hauteur et le rayon forment ensemble un triangle rectangle. D où la relation : Le volume V du cornet de frites est donné par la formule : H + R = 1 Comme : 1 V = π R H R = 1 H Le volume V peut-être exprimé uniquement en fonction de la hauteur H, soit : 1 V = π (1 H ) H La courbe représentative des variations de V en fonction de H aura une pente nulle lorsqu elle atteindra un maximum. La hauteur du cornet de frite de plus grand volume est donc solution de l équation : V '= 0 CUEEP Département Mathématiques p5/7

Pour calculer V, il est commode de développer l expression de V, soit : D où : 1 1 V = πh πh 1 V ' = π πh La hauteur du cornet de frite de plus grand volume vérifie l équation : qui a pour solution positive : 1 π πh 0 = H = 1 Le volume maximum s obtient en remplaçant H par cette valeur dans la formule du volume. On trouve : soit un peu plus de 40cl. V π = 9 1 CUEEP Département Mathématiques p6/7

4. Le cendrier Soit une découpe de x décimètre. La base du cendrier est un carré de 1 x décimètre de côté. L aire de cette base vaut donc ( 1 x) décimètre carré. La hauteur du cendrier est x décimètre. Le volume V du cendrier vaut donc x( 1 x) décimètre cube. Quand la courbe représentant les variations de V en fonction de x atteint un maximum sa pente V est alors nulle. La solution du problème est donc une solution de l équation V '= 0. Pour dériver l expression de V il est utile de la développer soit : V = x 4x + 4x D où : V ' = 1 8x + 1x Cette pente est nulle pour deux valeurs de x : 6 1 et 1. La solution 1 x = correspond bien à une pente nulle, mais aussi à un volume nul ; c est en fait un minimum du volume. 1 La solution x = correspond par contre au maximum recherché. 6 1 La valeur de ce maximum s obtient en portant la valeur x = dans l expression de V. 6 On trouve V = soit un peu plus de 74cm. 7 CUEEP Département Mathématiques p7/7