Études de signes et inéquations, cours de seconde F.Gaudon 16 février 2009 Table des matières 1 Étude du signe des fonctions affines 2 2 Études de signes de produits et de quotients 2 2.1 Exemple d étude de signe d un produit............... 2 2.2 Exemple d étude de signe d un quotient.............. 3 3 Application à la résolution d inéquations 3 3.1 Vocabulaire............................. 3 3.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles.......... 3 3.3 Exemple de résolution d inéquations................ 4 4 Synthèse sur les inéquations 4 5 Résolutions graphiques 5 1
1 Étude du signe des fonctions affines Méthode : Soient a et b deux nombres réels avec a 0. Étudier le signe du nombre ax + b signifie déterminer les valeurs de x pour lesquelles ax + b 0 et celles pour lesquelles ax + b 0. Propriété : ax + b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à b, du signe a opposé pour les valeurs inférieures. Synthèse : On résume l étude dans un tableau de signe : Si a > 0 Si a < 0 x b + a signe de - 0 + ax + b x b + a signe de + 0 - ax + b 2 Études de signes de produits et de quotients 2.1 Exemple d étude de signe d un produit On considère le produit (x 3)(1 x). On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de x 3 et de 1 x, puis on utilise la règle des signes. x 1 3 + x 3 - - 0 + 1 x + 0 - - (x 3)(1 x) - + - 2
2.2 Exemple d étude de signe d un quotient. On considère le quotient 3 2x x + 1 On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir x + 1 0 c est à dire x 1. On procède de même que pour l étude de signe d un produit. 2 x -1 + 3 3 2x + + 0 - x + 1-0 + + 3 2x x+1 - + 0-3 Application à la résolution d inéquations 3.1 Vocabulaire Définition : On appelle inéquation produit nul, toute inéquation de la forme f(x)g(x) 0 ou f(x)g(x) 0 où f et g sont deux fonctions. On appelle inéquation quotient nul, toute inéquation de la forme f(x) 0 g(x) ou f(x)g(x) 0 où f et g sont deux fonctions. 3.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles Définition : Soient I et J deux intervalles. L intersection de I et J notée I J est l ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J. La réunion de I et J notée I J est l ensemble des nombres appartenant à I ou (inclusif) à J. Lorsque les intervalles I et J n ont aucun point commun, leur intersection est l ensemble vide noté. On dit aussi que les intervalles sont disjoints. 3
3.3 Exemple de résolution d inéquations. On considère l inéquation 3x + 1 x 2 5 On détermine les valeurs interdites : x 2 = 0 donne x = 2. On écrit l inéquation sous la forme d une inéquation quotient nul : 3x + 1 x 2 5 0 3x + 1 5(x 2) 0 x 2 3x + 1 5x + 10 0 x 2 2x + 11 0 x 2 On étudie le signe du quotient obtenu : x 2 5,5 + 2x + 11 + + 0 - x 2-0 + + 2x+11 - + 0 - x 2 On détermine à partir du tableau les valeurs de x solutions de l inéquation : S = [ ; 2[ [5, 5; + [ 4 Synthèse sur les inéquations Démarche de résolution : Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factorisations ou des transpositions d un membre à l autre pour se ramener à : Une inéquation du premier degré ; une inéquation produit nul ; ou une inéquation quotient nul. 4
Exemple : (x + 2) 2 9 (x + 2) 2 9 0 (x + 2) 2 3 2 0 (x + 2 3)(x + 2 + 3) 0 d après l identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) (x 1)(x + 5) = 0 C est une inéquation produit nul. On étudie donc le signe du produit (x 1)(x+5) : x 1 0 pour x 1 et x + 5 0 pour x 5. On obtient le tableau de signes suivant : x -5 1 + x 1 - - 0 + x + 5-0 + + (x 1)(x + 5) + 0-0 + L ensemble des solutions est donc l ensemble [ 5; 1]. 5 Résolutions graphiques Propriété : Soit k un nombre réel, f une fonction et C f sa représentation graphique dans un repère. Les solutions de l inéquation f(x) k (respectivement f(x) k) sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k). Exemple : Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction f définie par f(x) = x 2. 5
L inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution [ 2; 2]. L inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution ] ; 2] [2; + [. Propriété : Soient f et g deux fonctions et C f et C g leur représentation graphique dans un repère. Les solutions de l inéquation f(x) g(x) sont les abscisses des points de la courbe C f situés en dessous des points de C g de même abscisse. Exemple : Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies par f(x) = x 2 et g(x) = 1 2 x2 + 6. 6
L ensemble des solutions de l inéquation f(x) < g(x) est l ensemble ] 2; 2[. 7