Mathématiques DUT 2 M. Samy Modeliar Travaux dirigés 3 Optimisation Exercice 1 On doit exécuter sept tâches a, b, c, d, e, f et g soumises aux contraintes de succession rapportées dans le tableau ci-dessous : 1. Dessiner le graphe potentiel tâches associé. Tâches Durées Contraintes a 6 b 3 c 6 d 2 b achevé e 4 b achevé f 3 d et a achevées g 1 f, e et c achevées 2. Après avoir remarqué que ce graphe ne comporte pas de circuit, former le tableau des prédécesseurs et calculer, à l aide de ce tableau, les dates au plus tôt et au plus tard de début des tâches. 3. Déterminer un chemin critique. Est-il unique? 4. Dessiner un diagramme de GANTT de l ordonnancement "au plus tôt" (on dit aussi décalé à gauche). 5. Dessiner un graphe PERT en associant à chaque tâche i des événements début et fin de l ordonnancement. 6. Dessiner un graphe PERT sans arc fictif. 7. Calculer les dates au plus tôt des événements du graphe de la question 6. Quel est le chemin critique? Quelles sont les dates au plus tard? Calculer les marges. Exercice 2 Dans la construction d une maison, il faut commander et livrer le matériel électrique (3 semaines) avant de poser (4 semaines) puis d inspecter (1 semaines) les câblages. De même, dès. 1
que le matériel nécessaire aux travaux de plomberie a été livré (après avoir été commandé, au total 4 semaines), on peut effectuer les travaux de plomberie, qui se font en deux étapes "à l extéreur" (2 semaines) puis "à l intérieur" (5 semaines), car nous n avons qu un seul plombier. Il faut commander spécialement les parements extérieurs sablés (6 semaines), servant au briquetage extérieur (3 semaines) et de toute façon, on ne peut poser ces briques tant que l ossature de la maison n a pas été édifiée. La première étape dans la construction de la maison est constituée par les travaux de terrassement (1 semaine), après quoi, on peut poser les fondations (3 semaines) et commencer à construire l ossature (5 semaines). Les travaux de plomberie extérieure peuvent être commencés quand les fonctations sont terminées et ceux de plomberie intérieure une fois que l ossature est terminée. Quand l ossature est terminée, on peut construire la charpente du toit (2 semaines) et commencer à poser les câblages. Les revêtements intérieurs (3 semaines) doivent attendre que la charpente soit terminée, les câblages inspectés et les travaux de plomberie intérieure achevés. Après les revêtements intérieurs, on effectue les aménagements intérieurs (3 semaines), c est-à-dire poser les planchers, faire la décoration, mais cela, bien sûr, après que la couverture (2 semaines) ait été posée. Ces tuiles doivent être commandées spécialement.(14 semaines). Une fois que la couverture et les revêtements intérieurs et le briquetage sont terminés, on nettoie l extérieur (1 semaines), puis on passe aux aménagements extérieurs (3 semaines). Et une fois que les aménagements intérieurs sont terminés, on effectue une inspection générale. La maison est achevée lorsque l inspection générale (2 semaines) et les extérieurs sont terminés. 1. Énumérer les différentes tâches, puis tracer le tableau des tâches préalables. 2. Calculer l ordonnancement au plus tôt en dressant le tableau des prédécesseurs. Quels sont les chemins critiques? 3. Dessiner le graphe potentiel-tâches. Est-ce utile pour la résolution? 4. Tracer un graphe PERT aussi simple que possible. 5. Calculer les dates au plus tôt et au plus tard des événements introduits dans ce graphs PERT. En déduire les marges. Exercice 3 Une entreprise s intéresse à un procédé de construction d un nouveau produit. Ce procédé fait intervenir un certain nombre d opérations. Leur durée et leurs contraintes sont indiquées dans la tableau ci-dessous : Opérations durées précédent A 30 - B 5 A C 12 A D 17 A E 4 B, C F 3 C G 14 E, F H 8 D 1. Construire un graphe potentiel tâche représentant ce procédé. 2. Calculer les dates au plus tôt de chaque tâche. 3. Calculer les dates au plus tard de chaque tâche. 4. Donner les marges de chaque tâche. En déduire un chemin critique. 2
Exercice 4 Un producteur de cinéma est confronté au problème du planning de son prochain film : «Heroin for a hero" et vous soumet les tâches qui doivent être effectuées : Code de la tâche Définition Durée ( en jours ) Antériorité A Écriture du sénario 30 - B Choix et recrutement des comédiens 12 15 jours après le début de A. C Choix du lieu du tournage 8 20 jours après le début de A. D Découpage technique 4 A et C doivent être terminées. E Préparation des décors 7 D doit être terminée F Tournage des extérieurs 10 B et D doivent être terminées G Tournage des intérieurs 12 E et F doivent être terminées H Synchronisation 3 G doit être terminé I Montage 14 H doit être terminé J Accompagnement sonore 7 3 jours après le début de I et après la fin de H. K Mixage 6 I et J doivent être terminées. L Tirage de la copie zéro 1 2 après la fin de K. 1. Peut-on dessiner le graphe potentiel tâche associé à ce problème? Pourquoi? Pour résoudre ce problème, on découpe les tâches A et I en sous tâches et on ajoute une tâche fictive K de durée 2 ( par exemple, A donne A 1 de durée 15; A 2 de durée 5 précédée par A 1 ; A 3 de durée 10 précédée par A 2 ). Dessiner alors le graphe potentiel tâche obtenu. 2. Déterminer les dates au plus tôt, les dates au plus tard, les marges de chacune des tâches de ce graphe. Quelle est la durée minimale nécessaire pour terminer ce film? Donner un chemin critique. 3. Tracer un graphe PERT. Quel inconvénient a cette méthode par rapport à la méthode potentielstâches? 4. Les arcs fictifs introduits dans le graphe PERT sont-ils indispensables? Justifier votre réponse. Exercice 5 Pour fabriquer de la potion magique, il faut : un chaudron, une serpe d or, de l eau de source 2 améthystes (a), 6 betteraves (b), 4 cœurs d abeilles ouvrières (c), 7 dattes d Egypte (d), 9 épines d acacia (e), 15 fraises des bois (f), 3 gueules de vipères (g), 1 branche de houx coupée par la serpe d or (h) Remplir le chaudron d eau, puis faire macérer les ingrédients en respectant les règles qui suivent Il faut que a ait macéré au moins trois jours avant de mettre à macérer d, f et e. (g) doit macérer au moins quatre jours, (f) doit macérer au moins sept jours, (h) doit macérer au moins trois jours. Avant de mettre à macérer (g), il faut que (b) ait macéré au moins six jours et que (d) ait macéré au moins quatre jours. 3
Avant de mettre à macérer (h), il faut que (c) et (e) aient macéré au moins deux jours. On peut se poser les problèmes suivants : 1. Dans quel ordre et à quels jours peut-on introduire les différents ingrédients? 2. Quelle est la durée minimum de macération de la potion? Exercice 6 Le tableau ci-dessous décrit les différentes étapes d une étude préparatoire à la construction d un batiment public ainsi que les contraintes d antériorité qui les liens. Tâche Description Durée Tâches en mois antérieures a Recherche de site 2 b Recherche du financement 2 a, c c Autorisations 4 d Coucours d architectes 2 b, e à 75% e Publicité, sondages d opinion 4 c f Recherche d entreprises 1 d g Réalisation d une maquette 3 d, e Pour la bonne conduite de ce projet, on souhaite déterminer, à partir de cette connaissance, divers indicateurs comme la durée minimale de l etude, les tâches critiques pour lesquelles un retard entraîne une augmentation de la durée du projet, etc. Exercice 7 Dans une station service bien équipée, où plusieurs employés peuvent agir simultanément pour servir le même client, les opérations se déroulent ainsi : Opération préalable Durée (en seconde) (a) Arrivée du client 30 (b) Choix de la catégorie des produits a 10 (c) Remplissage du réservoir d essence b 120 (d) Ouverture du capot a 15 (e) Contrôle de la pression des pneus a 80 (f) Nettoyage du pare-brise a 20 1 (g) Préparation de la note c, i 45 3 (h) Paiement de la note g 25 (i) Contrôle du niveau d huile d 60 (j) Addition d huile b, i 25 (k) Remplissage du radiateur d 50 (l) Addition d eau distillée dans les batteries d 30 (m) Fermeture du capot j, k, l 5 (n) Gonflage des pneus e 100 (o) Essuyage du pare-brise f 15 (p) Départ du conducteur c, h, m, n, o 10 1. Résoudre le problème par la méthode des potentiels. Trouver le chemin critique. 2. Se servir des résultats précédents pour établir le graphe PERT correspondant. 3. Calculer les marges libres et totales. Exercice 8 Il s agit de construire sur un terrain en pente irrégulière un bâtiment industriel comprenant 5 travées, d ossature métallique. Nous supposons le marché passé à un entrepreneur général exécutant lui-même les terrassements, le béton armé, la maçonerie, les canalisations, et sous-traitant le reste des 4
travaux. L avant-projet lui a été remis par le bureau d études du client ou par l architecte. Désirant coordonner les travaux des différentes entreprises afin que le chantier se termine au plus tôt, l entrepreneur général a établi une liste des différentes tâches à effectuer, a défini leur durée et les contraintes d antéririté. 1. Á l aide de la méthode des potentiels, établir un ordonnancement optimal et déterminer le chemin critique. 2. Á l aide de la méthode PERT, établir un ordonnancement optimal, le chemin critique et les marges. Tâches Durées (en jours) Tâches antérieures (a) étude du chauffage 10 (b) étude couverture 3 (c) étude charpente 15 a, b (d) étude béton 10 c (e) décapage 15 (f) installationde chantiers implantation 5 d, e (g) terrassement "puits" 30 f (h) béton "puits" 20 g (i) terrassement longrines 4 f (j) béton longrine 18 i (k) construction charpente 60 c (l) couche primaire 20 k (m) transport charpente 5 l (n) montage 25 h, j, m (o) terrassement canallisations 5 f (p) pose canalisations 20 o, h (q) approvisionnement chauffage 45 a, b (r) montage chauffage 35 n, p, q (s) peinture 40 r (t) étude électricité 2 a, b (u) pose isolation couverture 20 s (v) installation électrique 20 t, u (w) dallage 35 n, p, q (x) remplissage 55 n, p, q 5