Sur l imagerie des guides d ondes élastiques

Sur l imagerie des guides d ondes élastiques L. Bourgeois, F. Le Louër, E. Lunéville GDR MSPC et GDR Ondes 27 septembre 2010 Frédérique Le Louër 1 / 15

Rappels sur la Linear Sampling Method Imager un objet D à partir de nombreux champs lointains : plusieurs angles d incidence plusieurs angles d observation en régime harmonique (1 seule fréquence) D z en utilisant une fonction test simple T pour déterminer si un point z D (Colton, Kirsch, 1996). Formulation LSM : Fh z = g z équation mal posée si z D T(z) = h z. Frédérique Le Louër 2 / 15

Rappels sur la Linear Sampling Method x 3 Σ Configuration du guide d onde : x 3 seulement 2 directions de propagation, seulement un nombre fini de modes propagatifs. peu de données à l infini Peut-on reconstruire et localiser un objet à partir des données en champ lointain (en utilisant uniquement les modes propagatifs)? Oui! Bourgeois - Lunéville (2008) dans le cas du guide d onde acoustique. 0-0 Frédérique Le Louër 3 / 15

Sommaire 1 Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM 2 Extension au guide d ondes élastiques 3 Résultats numériques Frédérique Le Louër 4 / 15

Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM Sommaire 1 Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM 2 Extension au guide d ondes élastiques 3 Résultats numériques Frédérique Le Louër 5 / 15

Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM Formulation en champ proche x S x 3 Σ t Σ +t W Γ Problème sans obstacle : { u + κ 2 u = 0 dans W νu = 0 sur Γ. modes guidés : u ± n (x S, x 3) = θ n(x S)e ±iβnx 3, β n = κ 2 κ 2 n, Re β n 0, Im β n 0. 0-0 un nombre fini de modes propagatifs : β n R 0 κ n κ. Frédérique Le Louër 6 / 15

Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM Formulation en champ proche x S D Γ W x 3 Σ t D Σ +t Formulation du problème direct : u + κ 2 u = 0 dans W\D νu = 0 sur Γ u = f sur D νu = T ± u sur Σ ±t T ± h := iβ n(h, θ n) Σ±t opérateur Dirichlet to Neuman. n N 0-0 Frédérique Le Louër 6 / 15

Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM Formulation en champ proche x S x 3 point source Γ y W D u s (,y) u s (,y) Σ t D Σ +t Frontière d observation et d émission : 0-0 F : L 2 (ˆΣ) L 2 (ˆΣ) ; Fh(x) = ˆΣ = Σ t : back scattering ˆΣ = Σ t Σ t : full scattering Pour y ˆΣ on note u s (, y) la solution avec f = G(, y) où G désigne la fonction de Green du guide d onde. Opérateur de champ proche : u s (x, y)h(y)ds(y), ˆΣ x ˆΣ Formulation de la LSM : Étant donné z W, trouver h z L 2 (ˆΣ) tel que Fh z = G(, z) Frédérique Le Louër 6 / 15

Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM Résultats théoriques Hypothèse : κ 2 n est pas une valeur propre du Laplacien négatif dans D avec condition au bord de Dirichlet. Unicité de l obstacle : ( y ˆΣ, x ˆΣ, u s 1(x, y) = u s 2(x, y) ) D 1 = D 2. Propriétés de F : compact, injectif et d image dense. Caracterisation de D : Si z D, alors pour tout ε > 0 il existe une solution h ε L 2 (ˆΣ) telle que : Fh ε(, z) G(, z) L 2 ( ˆΣ) ε lim hε(, z) L z D 2 ( ˆΣ) = (ε fixé). Si z R 3 \D et h ε(, z) L 2 (ˆΣ) verifie Fh ε(, z) G(, z) L 2 ( ˆΣ) ε alors : lim hε(, z) ε 0 L 2 ( ˆΣ) = La norme de h ε explose à l extérieur de l obstacle. Frédérique Le Louër 7 / 15

Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM Projection modale x S x 3 point source Γ y W D u s (,y) u s (,y) Σ t D Σ +t Σ t0 Σ t0 Diffraction d un mode incident : on note u s± n la solution pour f = u ± n D. Fonction de Green du guide : G(x, y) = n N e iβn x 3 y 3 θ n(x S)θ n(y S). 2iβ n Projection de u s (x, y) sur les modes diffractés : 1 0-0 u + x W\D, u s n (y)u s n (x) si y 3 > t 0 n N 2iβ n (x, y) = 1 u n (y)u s+ n (x) if y 3 < t 0 2iβ n n N Frédérique Le Louër 8 / 15

Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM Projection modale (θ n) n N forme une base orthonormale de L 2 (Σ ±t). On peut alors écrire : u s± n = (U n ± ) ± m θ m(x S) sur Σ ±t, h z(x) = h ± n θ n(x S) sur Σ ±t m N n N Projection de la LSM : e iβnt iβ n (U n ) + m h + n m N, n N e iβnt ( ) (U + n ) m h n + (Un ) m h + e iβm(t+z 3) n = θ m(z S) n N iβ n iβ m m N, e iβnt ( ) (U + n ) + m h n + (Un ) + m h + e iβm(t z 3) n = θ m(z S) iβ n iβ m n N = eiβm(t z3) iβ m θ m(z S), Back scattering. Full scattering. Frédérique Le Louër 8 / 15

Extension au guide d ondes élastiques Sommaire 1 Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM 2 Extension au guide d ondes élastiques 3 Résultats numériques Frédérique Le Louër 9 / 15

Extension au guide d ondes élastiques Variables mixtes Thèse de V. Baronian (2009) Problème sans obstacle : { div σ(u) ρω 2 u = 0 dans W σ(u)ν = 0 sur Γ ( ) ( ) ts us Variables mixtes : u = (u S, u 3), σ(u) e 3 = (t S, t 3) X =, Y =. u 3 t 3 ( ) ( ) ( ) L équation div σ(u) ρω 2 X 0 AY X u = 0 devient = x 3 Y A X 0 Y ( ) ( ) ( ) X ± Modes guidés : n (x) ±X n(x S) Y ± = e ±iβnx 3 u, U ± n n = S (x S) e ±iβnx 3. n (x) Y n (x S) ±u 3(x S) Relation de bi-orthogonalité de Fraser : (X n, Y m ) Σ = δ nmj n. Frédérique Le Louër 10 / 15

Extension au guide d ondes élastiques Variables mixtes Thèse de V. Baronian (2009) Formulation du problème direct : div σ(u) ρω 2 u = 0 dans W\D σ(u)ν = 0 sur Γ u = f sur D X = T ± Y sur Σ ±t ( ) ( ) ts us Variables mixtes : u = (u S, u 3), σ(u) e 3 = (t S, t 3) X =, Y =. u 3 t 3 ( ) ( ) ( ) L équation div σ(u) ρω 2 X 0 AY X u = 0 devient = x 3 Y A X 0 Y ( ) ( ) ( ) X ± Modes guidés : n (x) ±X n(x S) Y ± = e ±iβnx 3 u, U ± n n = S (x S) e ±iβnx 3. n (x) Y n (x S) ±u 3(x S) Relation de bi-orthogonalité de Fraser : (X n, Y m ) Σ = δ nmj n. Opérateur "Y to X" : T ± Y = ± n N(X n, Y) Σ±tX n. Frédérique Le Louër 10 / 15

Extension au guide d ondes élastiques Fonction de Green Fonction de Green étendue solution de : ( ) ( ) 0 AY I3 0 G(, y) = G(, y) + δ( y) x 3 A X 0 0 I 3 0 S T G(, y) ν 3 ν S ( 0 I3 0 0 T ± ( G X Décomposition par bloc : G = X G Y X dans W = 0 sur Γ ) G(, y) = 0 sur Σ ±t G X Y G Y Y ). G(x, y) = ( T X n(x S) Y n (y S) T Y n (x n N S) Y n (y S) T X n(x S) X n(y S) T Y n (x S) X n(y S) ) e iβ n x 3 y 3 2J n Frédérique Le Louër 11 / 15

Extension au guide d ondes élastiques Formulation en champ proche x S x 3 point source Γ y W D XY s (,y) XY s (,y) Σ t D Σ +t Pour y ˆΣ on note X s Y(, y) la composante en X de la solution avec f = n N T U n(x S ) X n(y S ) eiβn x 3 y 3 Opérateur de champ proche : Formulation de la LSM : F : L 2 (ˆΣ) L 2 (ˆΣ) 0-0 ; Fh(x) = 2J n, with U n(x S ) = (u n S (x S), sign(x 3 y 3 )u n 3 (x S)). XY(x, s y)h(y)ds(y), ˆΣ x ˆΣ Étant donné z W, trouver h z ( L 2 (ˆΣ) )3 tel que Fh z,p = G Y X(, z) p, avec p = 1 Frédérique Le Louër 12 / 15

Extension au guide d ondes élastiques Projection modale point source Γ x S y W D X x Y s (,y) XY s (,y) 3 Σ t D Σ +t Σ t0 Σ t0 Diffraction d un mode incident : on note Xn s± pour f = U ± n D. la composante en X de la solution Projection de XY(x, s y) sur les modes diffractés : 1 X + x W\D, XY(x, s n (y)x s n (x) si y 3 > t 0 n N 2J n y) = 0-0 1 X n (y)x s+ n (x) if y 3 < t 0 2J n n N (X n, Y n ) n N forme une base bi-orthogonale de L 2 (Σ ±t) projection modale de l équation de la LSM Frédérique Le Louër 13 / 15

Résultats numériques Sommaire 1 Cas du guide d onde acoustique : formulation modale de la LSM 2 Extension au guide d ondes élastiques 3 Résultats numériques Frédérique Le Louër 14 / 15

Résultats numériques Disques de rayon 0.07 et 0.05, section du guide (.5,.5), nombre de modes propagatifs N p = 10 (left), N p = 20 (right), polarisation p = (0, 0, 1), bruit 1%. Frédérique Le Louër 15 / 15

Résultats numériques Disques de rayon 0.07 et 0.05, section du guide (.5,.5), nombre de modes propagatifs N p = 20, polarisation p = (0, 0, 1), bruit 1% (left), 10% (right). Frédérique Le Louër 15 / 15

Résultats numériques Fissure, section du guide (.5,.5), nombre de modes propagatifs N p = 12, polarisation p = (0, 0, 1), bruit 1% (left), 5% (right), conditions aux bord de Neuman. Frédérique Le Louër 15 / 15