Chapitre 1. La Cinématique La cinématique étudie le mouvement des corps sans se soucier des causes qui l ont produit (c est à dire des forces responsables de la mise en mouvement). 1.1. Référentiel d étude Le mouvement d un corps dépend d où «on le regarde». Par exemple, le mouvement de Mars est une ellipse lorsqu on le regarde d un point situé près du Soleil et une courbe très compliquée lorsqu on le regarde de la Terre La trajectoire de Mars vue depuis un point près du Soleil La trajectoire de Mars vue depuis la Terre (le mouvement de rétrogradation de Mars) En conclusion, le mouvement d un corps doit être toujours décrit par rapport à un référentiel Un référentiel est un objet par rapport auquel on étudie le mouvement d un corps. Il est muni d un repère d espace d une échelle de temps (horloge) afin d exprimer la position du corps à chaque instant. Cette année on va utiliser en mécanique seulement deux types de repère : le repère cartésien et le repère de Frenet. 1
Le repère cartésien : Le repère cartésien (!,!,!,!) a pour origine le point O fixe et pour vecteurs unitaires (!,!,!) constants Le repère de Frenet : Le repère de Frenet a pour origine le point M (ou un point du corps) en mouvement. Ses vecteurs unitaires sont!!, tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement, et!!, perpendiculaire à!! et orienté vers l intérieur de la trajectoire L ensemble des points occupés par le système mécanique pendant son mouvement représente sa trajectoire. Une étoile filante décrit une ligne droite. La trajectoire est rectiligne. Si l on oriente un appareil photo vers l Etoile Polaire et on photographie le ciel avec un temps d exposition très long, on observe que les autres étoiles décrivent des trajectoires circulaires. Un skieur qui fait un saut au sommet d une colline a en revanche un mouvement qui est plus difficile à décrire. Son centre de masse décrit une parabole, mais les pointes de ses skis décrivent des trajectoires très compliquées, car le skier tourne autour de lui- même pendant le saut. Trajectoire rectiligne d une étoile filante Trajectoires circulaires des étoiles par rapport à l Etoile Polaire Trajectoire parabolique du centre de masse d un skieur Pour étudier le mouvement d un corps on considère qu il est équivalent à un seul point situé dans son centre de masse et de masse égale à celle du corps. Les mouvements de tous les autres points peuvent être déduits à partir du mouvement du centre de masse, mais ce traitement ne fait pas partie du programme de Terminale. En mécanique on va donc parler des points matériels et non pas des corps. 1.2. Cinématique du point matériel Pour décrire le mouvement d un point matériel on introduit plusieurs grandeurs vectorielles : le vecteur de position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération. On travaillera dans un repère cartésien (!,!,!,!) 2
Le vecteur de position donne la position du point sur sa trajectoire à chaque instant t! =!!! +!!! +!(!)! Les coordonnées x(t), y(t), z(t) sont des fonctions de temps et sont appelées équations horaires du mouvement Vecteur vitesse instantanée est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur de position et représente le vecteur vitesse moyenne calculé pour des intervalles de temps de plus en plus petits qui tendent vers zéro!(!) =! = lim!!! +! (!)! les composantes du vecteur vitesse sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées x(t), y(t) et z(t) du vecteur de position!! = (!)! + (!)! + (!)! =!!!! +!!!! +!!!! le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement et a une norme qui s exprime en m.s - 1 3
Vecteur accélération instantanée C est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse!(!) =!! = lim!! +!!(!)!!! Les composantes du vecteur accélération sont les dérivées par rapport au temps des composantes du vecteur vitesse!! =!!!(!)! +!!!(!)! +!!!(!)! =!!!! +!!!! +!!!! Le vecteur accélération est orienté vers l intérieur de la trajectoire et a une norme qui s exprime en m.s - 2 1.3. Mouvements simples d un point matériel Un point matériel peut avoir un mouvement très complexe. Cette année on va s intéresser seulement à quelques mouvements simples : A. Mouvements rectilignes La trajectoire est une droite Cas particuliers: Mouvement rectiligne uniforme : La trajectoire est une droite, le vecteur vitesse est un vecteur constant (ne varie pas en temps sa direction, son sens et sa norme) Mouvement rectiligne uniformément varié : La trajectoire est une droite Le vecteur vitesse change comme norme, mais pas comme direction et comme sens Le vecteur accélération est un vecteur constant (comme norme, direction et sens) Une voiture qui roule sur une route droite à vitesse constante a un mouvement rectiligne et uniforme. Si le conducteur appui avec une force constante sur la pédale de l accélérateur, la vitesse de la voiture va augmenter de la même quantité chaque seconde. Le mouvement sera rectiligne et uniformément varié. 4
2. Mouvements circulaires La trajectoire est un cercle On peut décrire un mouvement circulaire en utilisant un repère cartésien, mais les grandeurs tel que le vecteur de position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération auraient des expressions très compliquées. Dans ce cas on préfère utiliser un système d axes mobile, c est- à- dire qui suit le point matériel dans son mouvement : le repère de Frenet défini ci- dessus. Le vecteur vitesse: Est tangent à la trajectoire! =!!! Le vecteur accélération : est orienté vers l intérieur du cercle! =!!!! +!!!! =!! +!!!!! La composante tangentielle de l accélération est responsable de la variation de la vitesse du point matériel sur sa trajectoire tandis que la composante normale de l accélération ne modifie pas la valeur de la vitesse, mais change à chaque instant sa direction. 5
Cas d un mouvement circulaire et uniforme La trajectoire est circulaire La norme du vecteur vitesse est constante (v=cte) donc la composante tangentielle de l accélération est nulle! =!!! l accélération est radiale (orienté vers le centre du cercle)! =!!!! =!!!!! Un satellite en orbite autour de la Terre décrit une trajectoire circulaire à vitesse constante. Son mouvement est circulaire uniforme. 6