Traitement du Signal Compte Rendu TP 5 : Filtre EE345 Traitement du Signal : CAILLOL Julien p28 IR 6/juin
I ) ère partie Nous allons ici étudier la chaîne de traitement numérique associée au montage électrique suivant : e(t) R C s(t) I. )Filtre analogique I..A )Equation différentielle Voici l équation différentielle régissant ce circuit électrique : e( t) u ( t) + u ( t) Ri( t) s( t) r c + or on sait que la tension aux bornes d un condensateur est : et on sait que courant et charge sont liés par l équation i ( t) on obtient donc que s( t) idt d où on déduit i ( t) C ds Et donc finalement, e ( t) + s( t) dt ds C dt s ( t) dq dt Q C I..B )Fonction de transfert A partir de l équation différentielle établie ci dessus, établissons l équation dans le domaine des fréquences : E ( f ) jω. S( f ) + S( f ) E ( f ) S( f ).( + jω ) Nous obtenons donc la fonction de transfert : H ( f ) S( f ) E( f ) + jω CAILLOL Julien Page 2/ 6/juin
I..C )Diagramme de Bode de H(f) Notre fonction de transfert est de la forme qui donne le diagramme de Bode suivant : H ( f ) + j ω ω avec donc ω /, ce I..D )Fonction du circuit D après ce diagramme de Bode, nous déduisons donc que ce circuit est un passe bas, ω de fréquence de coupure F 2π 2π CAILLOL Julien Page 3/ 6/juin
I..E )Réponse impulsionnelle On se propose pour cela de calculer au préalable les transformée de Fourier de e α t +. u( t) où u(t) est la fonction échelon ( elle vaut sur R, ailleurs ) TF TF[ e + + α t α t 2π jft α t 2π jft [ e. u( t)] e. u( t). e dt e. e dt α t. u( t)] + e ( α + 2π jf ) t dt ( α + 2π jf ) t e ( α + 2π jf ) + d après les caractéristiques de l échelon Arrangeons un peu ce résultat pour l identifier à H(f) : α t TF[ e. u( t)] α 2π jf + α or on sait que ω 2π f α t TF[ e. u( t)] Donc finalement α jω + α t On voit donc que H ( f ) α. TF[ e. u( t)] avec α La réponse impulsionnelle de notre filtre sera donc : α h( t) e t. Γ ( t) ( α + 2π jf ) I..F )Représentation de h(t) α + 2π jf CAILLOL Julien Page 4/ 6/juin
I.2 )Filtre Numérique I.2.A )Equation échantillonnée ds On avait pour le filtre analogique, en continu : e ( t) + s( t) dt Ce qui nous donne, d après les équations données pour du numérique, échantilloné : s[ ( n + ) ] s( n) e ( n) + s( n) soit s [( n + ) ] + s( n) e( n) Donc finalement s[ ( n + ) ] e( n) + s( n) On a donc a et b I.2.B )Algorithme Voici alors un algorithme qui pourrait calculer cette suite d échantillons s(n) : % Conditions initiales : valeur de la tension aux bornes du condo à t s() ; % Paramètres (résistance, capacité, fréquence d échantillonnage et nombre de points ) R ; C ; Fe ; N ; % Calcul de e(t) / Fe ; t[ : :*(N-)] ; e..*t; % Algorithme ( attention aux indices ) for i 2 :N s(i) *e(i-) / (R*C) + (- / (R*C) ) * s(i-); end e(t) I.2.C )Représentation graphique + x + z s(t) x CAILLOL Julien Page 5/ 6/juin
I.2.D )Fonction de transfert en z Repartons de l équation temporelle régissant le circuit : s ( n). e[ ( n ) ] +. s[ ( n ) ] E( z) S( z) et passons dans le domaine des z : S( z) + z z en factorisant, on obtient S ( z) + E( z) z z z S( z) z ce qui nous donne la fonction de transfert H ( z) E( z) z + z Soit H ( z) z + On sait qu un système est stable si les pôles ( en Laplace ) sont à partie imaginaire b nulle et à partie réelle négative. Pour un système en z, ici de la forme, cela revient à z a voir a <. Nous devons donc avoir z < I.2.E )Type de filtre Nous repartons ici du plan des {z} comme vu lors du précédent TP pour tracer le bode de cette fonction de transfert. Cette fois si, nous n avons pas de zéro, donc nous devons MP analyser non pas mais. Voici l interprétation graphique de ce calcul : MZ MZ On voit donc que pour f Hz ( M Z ), on a MZ qui est petit et donc H ( f ) tend vers l infini. Et au plus M parcourt le cercle trigonométrique en s éloignant de Z plus MZ augmente jusqu à tendre vers l infini et donc plus H ( f ) diminue en tendant vers. Ces valeurs correspondent bien à un filtre passe bas. On notera cependant que les résultats obtenus sont corrects pour un pôle positif. Pour un pôle négatif, on trouve le résultat opposé, c est à dire un filtre passe haut. Nous n avons pas réussi à trouver pourquoi CAILLOL Julien Page 6/ 6/juin
I.2.F )Réponse impulsionnelle causale Pour cela, il nous faut utiliser la méthode des résidus. Le domaine de convergence ici considéré est le codisque de rayon R z > a, puisque l on a un cas causal. Cette méthode dit que h( n) Tz[ H ( z)] H ( z). z dz où domaine de convergence 2π j Dans notre cas : b h( n). z 2 j z a dz. π b Etudions alors les pôles du noyau de l intégrale. z : z a pour n < : o un pôle simple, de er ordre, z a o un pôle d ordre n-, z pour n : o un pôle simple, de er ordre, z a pour n > : o un pôle simple, de er ordre, z a o un pôle d ordre n-, z Calculons alors les résidus dans chaque cas : bz pour n > et z a : Res[ X ( z). z, p α ] lim ( z α ) ba z α z a pour n, on ne considère que le pôle intérieur au domaine de convergence : bz b Res[ X ( z). z, p α ] lim ( z α ) z α z a a ( une autre solution est de considérer que l on a pas de pôles extérieurs au disque de convergence et donc x() ) bz b pour n < et z a : Res[ X ( z). z, p α ] lim ( z α ) z α n z a a ( comme pour le cas où n, on aurait pu passer par le calcul du résidu avec le pôle n appartenant pas au disque ) On a donc finalement que h( n) b. a. Γ ( n) où b /, a / h( n). Γ ( n) CAILLOL Julien Page 7/ 6/juin
I.2.G )Vérification I.3 )Application Matlab Nous avons généré dans Matlab trois signaux, une impulsion parfaite, un échelon légèrement retardé et une sinusoïde de fréquence F 2 Hz ; la fréquence d échantillonnage est fixée à Fe 44,kHz, et le nombre d échantillons à Hz. Nous avons également implémenté le filtre, en suivant l algorithme établi à la question 2 de l exercice précédent, en prenant une fréquence de coupure à khz. Voici les courbes générées et les signaux obtenus en sortie du filtre : ( la différence entre l échelon et l impulsion n est pas très visible sur les signaux, mais elle se voit bien dans les réponses ) Nous avons donc bien les résultats attendus, à savoir que la réponse à un échelon correspond à la réponse impulsionnelle h(t) calculée dans l exercice ( la réponse impulsionnelle étant bien la réponse du filtre appliquer à une impulsion en entrée [ un dirac ] ), une exponentielle croissante qui tend vers pour la réponse à un échelon unitaire et une sinusoïde «atténuée» de manière décroissante. CAILLOL Julien Page 8/ 6/juin
Voyons alors les spectres que ces signaux donnent, en linéaire et en décibels : Ces spectres, surtout ceux en décibels, permettent bien de constater que nous avons affaire à un filtre passe bas. En effet, en ne considérant que la première moitié de chaque spectre ( la deuxième étant le miroir de la partie négative du spectre autour de Fe ), nous voyons bien que ce filtre laisse passer les fréquences et atténues de plus en plus les fréquences de plus en plus grandes. Pour une impulsion notamment où nous sommes censé avoir toutes les fréquences, le spectre obtenu laisse clairement apparaître l impact du filtre. CAILLOL Julien Page 9/ 6/juin
I.4 )Echantillonnage et représentation spectrale Voici à quoi ressemble le spectre d un signal de fréquence maximale F, échantillonné à la fréquence Fe : Nous voyons donc graphiquement que nous avons : Soit Fe 2F + 6kHz Fe 26kHz et donc Fe F F 6kHz On sait que l incrément fréquentiel, noté f est égal à : f Fe N On en déduit donc que N Fe f, soit N 26 / 26 points Le problème est que la FFT ne s applique que sur un nombre d échantillons étant un puissance de 2, et 26 n est pas une puissance de 2. Nous avons donc deux alternatives possibles, soit prendre un peu moins de points ( 256 2 8 ), soit beaucoup plus ( 52 ). Le cahier des charges nous stipulant un temps de calcul minimum, nous choissions de prendre un tout petit peu moins de points, la précision du résultat n en étant que peu affectée. Nous conservons notre incrément fréquentiel de Hz, ce qui nous donne comme Fe N. f 256* 25, 6kHz nouvelle fréquence d échantillonnage :, ce qui répond bien au cahier des charges qui était de respecté Fe 26kHz à ± % ( ce qui donne 25,4k Fe 26, 6k ). Un point cependant reste en suspens. Nous n avons ici pas évoqué le théorème de Shanon qui dit que Fe doit être au minimum supérieur à 2*F mais dans notre cas, ce théorème sera toujours respecté, étant donné qu il évite que deux motifs consécutifs du spectre se superposent l un sur l autre, or ici nous voulons justement qu il y ait un minimum d espace entre eux. En revanche, nous n avons jamais pris en compte le fait qu il pouvait y avoir un bruit au delà de la fréquence F. Ce bruit, qui pourrait être évité en plaçant un filtre anti repliement avant l échantillonnage du signal, pourrait venir perturbé le spectre obtenu à l échantillonnage par recopie au delà de F, faussant les résultats. CAILLOL Julien Page / 6/juin