Université d Orléans - Licence Economie et Gestion Introduction à la Statistique et à l Econométrie C. Hurlin. Examen Janvier 005 Exercice 1 Barème : 1 points. Une entreprise spécialisée dans la production de confiseries s engage à respectercertainesnormes de fabrication concernant le pourcentage de colorant contenu dans ses produits. Ce pourcentage de colorant est représenté par une variable aléatoire X supposée suivre une loi normale m, σ d écart type σ connu et égal à 1. A la sortie de la chaîne de fabrication on tire un échantillon aléatoire et indépendant de =9mesures en pourcentage :.5 3.0 3. 3.6.0.1 1.5 1. 1.0 (1) Si la moyenne m du pourcentage de colorant est supérieure ou égal à 3, la marchandise est déclarée non conforme et détruite. Le fabricant souhaite effectuer le test suivant : H 0 : m = H 1 : m =3 Partie I : Test d Hypothèses simples (8.5 points) Question 1 (1.5 points) Calculez une estimation ponctuelle et une estimation par intervalle de confiance de niveau 95% de la moyenne m. Vous détaillerez la construction de l intervalle de confiance. Question(1point) Commentez le choix du fabricant de l hypothèse nulle H 0. Question3(1point) Montrez que le rapport des vraisemblances de l échantillon sous les hypothèses nulle et alternative peut s écrire sous la forme suivante : L (X,m 0 ) L (X,m 1 ) = L (X, ) 1 L (X, 3) =exp (X i 3) (X i ) () Question4(1point) Apartirdurésultatdelaquestion3,démontrezquelarégioncritiqueW du test optimal au sens de eyman Pearson est de la forme : W = X X>A (3) avec X =(1/ ) X i et où A est une constante déterminée par le niveau de risque de première espèce. Question5(1point) En admettant le résultat de la question 4, (i) construire la région critique W dutestoptimalpourunniveauderisquedepremièreespèceα =1%.(ii) Quelle décision doit prendre le fabricant dans ce cas? Question 4 (1.5 points) Pourunseuilderisquedepremièreespèceα =1%, calculez le risque de deuxième espèce et la puissance du test. Interprétez économiquement ces deux grandeurs.
C. Hurlin. Examen Janvier 005 page Question 5 (1.5 points) Si le seuil reste fixé à 1%, quelle doit être la taille minimale de l échantillon pour que la puissance soit supérieure à 95%. En déduire une solution pour que le test du fabricant soit plus acceptable pour une association de consommateur. Partie II : Test Hypothèse simple contre hypothèse multiple (3.5 points) On considère à présent le test suivant : H 0 : m = H 1 : m> Question1(1point) En reprenant vos résultats concernant la région critique du test H 0 : m = contre H 1 : m =3,justifiez l existence d un test UPP pour H 0 : m =contre H 1 : m>. Montrez que la région critique du test UPP pour un niveau de risque de première espèce α =1%est : W = X X>.7754 (4) Question (.5 point) (i) Calculez les valeurs prises par la courbe de puissance ou courbe d efficacité du test pour les valeurs suivantes de la moyenne m m = m =.5 m =3 m =5 m =10 m =50 (5) (ii) Commentez ces valeurs et (iii) représentez graphiquement la courbe d efficacité du test. Exercice (Econométrie) Barème : 6 points. On considère un modèle linéaire faisant dépendre le taux de croissance du PIB français (variable FRA), du taux de croissance du PIB allemand (variable DEU), du taux de croissance du PIB italien (variable ITA) et d une constante. On dispose d un échantillon de données semestrielles sur la période 1963: à 00:, soit un total de 79 observations. Question1(3points)Retrouvezalorsles6élémentsmanquantsdelasortiederésultatsEviews (figure 1). Vous justifierez très précisément votre réponse. Question(points)On cherche à tester si l élasticité du PIB français au PIB italien est égale à fois l élasticité du PIB français au PIB allemand. On note β 0 la constante, β D l élasticité au PIB allemand et β I l élasticité au PIB italien. (i) Ecrivez cette hypothèse sous la forme d une contrainte linéaire Rβ = q. Précisez l écriture des vecteurs R, β et q. (ii) On admet que la réalisation de la statistique de Fisher associée au test H 0 : Rβ = q est égale à 1.046. Donnez la loi de la statistique de Fisher sous l hypothèse nulle H 0 et concluez pour un risque de première espèce de 5%. Question3(1point) On régresse maintenant le PIB français uniquement sur le PIB allemand (figure ). Testez de deux façons différentes l hypothèse nulle de nullité de l élasticité du PIB français au PIB allemand.
C. Hurlin. Examen Janvier 005 page 3 Figure 1: Régression 1 Régression 3
C. Hurlin. Examen Janvier 005 page 4 Exercice 3 (Estimation) Barème : 4 points. On admet qu au cours de l année écoulée, le chiffre d affaires, exprimé avec une unité monétaire convenablement choisie dont il ne sera plus fait mention par la suite, des entreprises de gros dont le chiffre d affaire est inférieur à c, d un certain pays peut être correctement représenté par une variable aléatoire X absolument continue dont la densité de probabilité f est définie, pour tout x = 0et x = c comme suit : f(x) = 1.x 1 θ.c 1 θ 1 pour 0 x c (6) θ f(x) =0 pour x<0 et pour x>c (7) où c et θ désignent deux paramètres réels strictement positifs. La valeur du paramètre c est connue, mais non celle du paramètre θ. Onaconstituéauhasardetavecremiseunéchantillon de n entreprises de commerce de gros, parmi celles dont le chiffre d affaires est inférieur à c, et déterminé leur chiffre d affaires au cours de l année écoulée. Soit x 1,x,.., x n ces chiffres d affaires. Ainsi pour tout i de 1 à n, x i est la réalisation de la variable aléatoire X i représentant le chiffre d affaire de la iéme entreprise choisie lors de la constitution de l échantillon. Question1(1point) Déterminez la fonction de vraisemblance L(X 1,X,..., X n ; θ). Question(1point) Montrez que l estimateur ˆΘ n de θ obtenu par la méthode du maximum de vraisemblance est : ˆΘ n =ln(c) 1 n ln (X i ) (8) n Question3(points)On pose Y =ln(c) ln (X) et l on admet que E (Y )=θ et V (Y )=θ. L estimateur ˆΘ n est il sans biais? Est-il convergent? 4
Université d Orléans - Licence Economie et Gestion Introduction à la Statistique et à l Econométrie C. Hurlin. Janvier 005. Eléments de Correction Exercice 1 (A partir de l Examen 003, Université Paris IX Dauphine) Barème : 7 points. Partie I : Test d Hypothèses simples (8 points) Question 1 (1.5 points) On a : X =(.5 + 3.0 + 3. + 3.6 +.0 +.1 + 1.5 + 1. + 1.0)/9 =. 333 s (1) Justification sur la loi de X (cf cours) : X m, 1 s D où l on tire (à justifier s): IC =. 333 1.96 9 1,. 333 + 1.96 9 1 =[1. 58,. 8866] Question(1point) On choisit toujours l hypothèse à laquelle on souhaite le moins renoncer () : c est à dire que le lot soit acceptable. On teste le lot est acceptable (on aurait pu tester m<3) contre lot non acceptable (). Le choix de deux confère une certaine marge de sécurité Question3(1point) vraisemblance loi normale associé à une observation L(x i,m)= 1 exp 1 π (x i m) car σ =1 D où l on tire que : D où l on tire que : L (X, m) = L (X, ) L (X, 3) = L(x i,m)= 1 π 1 exp 1 π (x i m) exp 1 (x i m) = exp 1 (x i ) exp 1 (x i 3) 1 = exp (X i 3) (X i )
C. Hurlin. Janvier 005. Eléments de Correction page Question4(1point) L (X, m 0 ) L (X, m 1 ) <K (X i 3) (X i ) < ln(k) 1 X i +5< ln(k) () X i >A= ln(k) 5 W = X X>A () où A est une constante Question5(1point) Dans ce cas, on a : D où l on tire que : α =Pr[W/H 0 ]=Pr X m0 1/ > A m 0 1/ A = m 0 + Φ (1 α) 1 1 =+ Φ (0.99) 1 3 =.7754 ici on a X =.3, donc on accepte H0 marchandise conforme. () Question 6 (1.5 point) RisqueII = Pr W/H 1 =Pr X <A m = m 1 X m1 = Pr 1/ < A m 1 1/ A m1.7754 3 = Φ 1/ = Φ 1/ 9 = Φ ( 0. 6738) = 0.5 Puissance =1 β =0.75 Question 7 (1.5 point) On cherche tel que : A m1 P uissance =1 Φ 1/ =0.95 A m 1 1/ = Φ 1 (0.05)
C. Hurlin. Janvier 005. Eléments de Correction page 3 Φ 1 (0.05) = = 1.6449 =7. 3377 = >53.58 (1 point) A m 1.7754 3 Il faut augmnter la taille de l échnatillon pour avoir une puissance acceptable pour un même niveau risque I () Partie II : Test Hypothèse simple contre hypothèse multiple (4 points) On considère à présent le test suivant : H 0 : m = H 1 : m> Question1(1point) On a montré que la RC était : W = X X>A où A est idependant de m 1, donc il existe un test UPP bilatéral dont la région critique correspond à celle du test hypothèse simple contre simple. Donc la RC est la même que dans le premier exo (1 point) W = X X>.7754 Question1(point) A m1.7754 P uissance =1 Φ 1/ m1 =1 Φ 1/ 9 par construction m =,pui= α =1%risque de première espèce ( si il n y a pas de calcul) m =.5, pui=0.43 m =3,pui=74.98 m =5,pu m =10et m =50, puissance=1, que s il n y A PAS DE CALCUL. Exercice par élément Question β = β 0 β D β I On cherche donc à tester si β I =β D ou encore β i β D =0() 3
C. Hurlin. Janvier 005. Eléments de Correction page 4 Figure 1: Rβ = q R = 0 1 q =0 On admet que F =1.046. Sous H 0,FsuituneF ( K, 1) où =79, K=3 F (76, 1) Seuil à 5% = ()? Ici pvalue=0.3 (pas à calculer), donc on accepte H 0 () Question 3 test avec la tstat () test avec la Fstat global () : on teste la nullité de tous les coefs sauf la constante. Ici F stat= tstat au carré Exercice 3 Question 1 : L = 1 f(x i )=. x 1 θ 1 θ.c 1 i θ si tous les x i vérfient 0 x i c (3) = 0sinon (1 point) Question : supposons que tous les x i sont tels que 0 x i c, alors log L = log (θ) 1 θ θ θ log (c)+ θ 1 log (xi ) = θ + θ log (c) 1 log θ (xi )=0 4
C. Hurlin. Janvier 005. Eléments de Correction page 5 D où l on tire ˆΘ n =ln(c) 1 n n ln (X i ) (4) Question 3. On pose Y =ln(c) ln (X) et l on admet que E (Y )=θ et V (Y )=θ. On alors : E ˆΘ n = ln(c) 1 n = ln(c) 1 n = 1 n = 1 n n E [ln (X i )] n E [ln (c) ln (Y i )] n E [ln (Y i )] n θ = θ 1 point sans biais V ˆΘ n = ln(c) 1 n n V [ln (X i )] = ln(c) 1 n n V [ln (c) ln (Y i )] = 1 n n V [ln (Y i )] θ = 1 n n = θ n, convergent 1point 5