Capitre 8 - Cisaillement simple - Cisaillement de fleion Etude de l effort trancant OMMARE - Etude du cisaillement simple... 89 1 / ollicitation étudiée : l effort trancant....89 / Essai de cisaillement - Loi de comportement du matériau.... 89 3 / Contrainte de cisaillement simple.... 90 3.1 - Définition... 90 3. - Répartition de la contrainte de cisaillement simple... 91 - Etude du cisaillement de fleion.... 91 1 / ollicitation étudiée : effort trancant concomitant à un moment flécissant.... 91 / Loi de réciprocité des contraintes de cisaillement... 91 3 / Epression et répartition des contraintes de cisaillement de fleion.... 9 3.1 - Calcul de la contrainte tangentielle... 9 3. - Calcul de la valeur maimum de la contrainte tangentielle ma pour une section rectangulaire... 94 3.3 - ection réduite... 94 - Condition de résistance...95 Page 88 / 106
- ETUDE DU CALLEMENT MPLE. 1 / ollicitation étudiée : l effort trancant. On considérera qu une section droite de poutre est soumise à un effort trancant lorsque les éléments de réduction des efforts internes de coésion se ramènent à la seule sollicitation. () () () N() 0 () 0 et/ ou () 0 Z T() 0 M M f f Z () 0 () 0 Torseur des efforts internes de coésion : { ( 1) } 0 () Z() 0 0 0 Eemples d éléments soumis à un effort trancant : il de fer que l on tente de sectionner - Poutre appuée sur un corbeau - ection cisaillée ection cisaillée / Essai de cisaillement - Loi de comportement du matériau. ans entrer dans les détails, les notions acquises pour l effort normal peuvent être transposées à l effort trancant. En effet, lors d un essai de cisaillement on observe : - un déplacement relatif : J γ e e - e - J A R Page 89 / 106
- une one de déformation élastique OA (droite de pente ), - une one de déformation plastique AR. - La contrainte de cisaillement est représentée par, telle que, dans la one de déformation élastique : J e (loi de Hooke pour le cisaillement). est appelé module d élasticité transversal, en MPa. E ( 1+ ν ) avec E : module d élasticité longitudinal et ν : coefficient de Poisson Attention : contrairement au cas de la compression ou de la traction simple (où la contrainte normale σ est uniformément répartie dans la section droite), la contrainte de cisaillement n est pas à priori uniformément répartie dans la section. 3 / Contrainte de cisaillement simple. 3.1 - Définition oit une section droite par laquelle nous isolons la partie gauce d une poutre. upposons que la seule sollicitation à laquelle soit soumise cette section droite est un effort trancant. () () df 1 d df d df 3 d Caque surface élémentaire d subit une force d intensité df due à l action du tronçon de droite sur le tronçon de gauce. Les forces df i sont tangentes à étant donné que la section n est soumise qu à un effort de cisaillement (il n a pas de force normale à, donc pas de contrainte normale σ). Caque force qui s applique sur une surface d permet de définir une contrainte tangentielle df ou contrainte de cisaillement : i en MPa. d 3. - Répartition de la contrainte de cisaillement simple. Page 90 / 106
En cisaillement simple, on peut considérer que la répartition des contraintes de cisaillement est uniforme dans la section : Attention : ce n est pas le cas en cisaillement de fleion (effort trancant concomitant à un moment flécissant). C est ce que nous allons voir dans la suite du capitre. - ETUDE DU CALLEMENT DE LEXON. 1 / ollicitation étudiée : effort trancant concomitant à un moment flécissant. Une section droite de poutre travaillant en fleion est soumise à un effort trancant et un moment flécissant : () M () () Torseur des efforts internes de coésion : { ( 1) } N() 0 () 0 () 0 Z 0 () 0 / Loi de réciprocité des contraintes de cisaillement T() 0 M M f f Z 0 0 M () Z () 0 () 0 Pour comprendre le comportement des matériau soumis au cisaillement, il faut connaître (admettre) la loi simple suivante (téorème de réciprocité de Cauc) : Lorsqu il eiste en un point une contrainte de cisaillement dans un plan d un élément, il eiste la même contrainte dans le plan perpendiculaire. () () M () d Page 91 / 106
ur un petit élément de poutre isolé, les vecteurs contrainte tangentielle longitudinale et contrainte tangentielle transversale doivent être disposés smétriquement par rapport à l arête des facettes et il a donc deu orientations possibles : Cette propriété a un intérêt notamment quand la contrainte de cisaillement limite (admissible) du matériau n est pas la même dans le sens longitudinal et dans le plan transversal. C est le cas par eemple des poutres en bois lamellé-collé. 3 / Epression et répartition des contraintes de cisaillement de fleion. 3.1 - Calcul de la contrainte tangentielle. On détermine l epression de la contrainte tangentielle longitudinale : b oit une poutre droite de longueur L, de largeur b et de auteur soumise à des actions etérieures. + d L On isole un petit élément de poutre situé entre les abscisses et + d (la face intérieure de cet élément se trouve à l ordonnée.) et on reporte sur cet élément isolé l ensemble des contraintes dont la projection sur l ae est non nulle. σ (, ) (, ) ( d, ) σ + d Page 9 / 106
A l équilibre, la somme des forces eercées sur cet élément est égale à éro. En projection sur, cela donne : (, ) b d + σ (, ) d σ ( + d, ) d 0 (1) On connaît l epression des contraintes normales de fleion : σ M () (, ) On remplace cette epression dans l équation (1) : (, ) (, ) ( ) M ( d) + M b d d + d 0 ( + d) M ( ) M 1 d b (, ) ( ) dm 1 d b d d on reconnaît l epression du moment statique par rapport à l ae de la surface située au dessus de l ordonnée : W( ) d et on connaît la relation qui lie le moment flécissant à l effort trancant : dm ( ) ( ) d finalement, on obtient pour la contrainte tangentielle longitudinale l epression suivante : ( ) W b. ( ) Pour une section droite de largeur b variable : on peut considérer que la contrainte de cisaillement est constante parallèlement à l ae (sur toute la largeur b pour donné). Elle ne varie qu en fonction de. b ( ) W b ( ) ( ) Page 93 / 106
3. - Calcul de la valeur maimum de la contrainte tangentielle ma pour une section rectangulaire Pour une section rectangulaire, on peut eprimer la valeur de la contrainte en fonction de l ordonnée : b A W b 1 3 1 ( A) b + 6 d où : ( ) 3 b 4 C est l équation d une parabole. est maimum pour 0 0 pour ± Répartition des contraintes dans une section rectangulaire : ma 3.3 - ection réduite. b( ) ( A) On appelle section réduite A r (ou A v ) la valeur minimale du rapport : W Cette valeur (que l on retrouve dans les tableau des profilés commerciau) permet de calculer rapidement la contrainte de cisaillement maimale : ma A r Page 94 / 106
Contrainte de cisaillement maimale pour des sections courantes : ection rectangulaire : ection circulaire ection en A 3 3A 4 A r ; ma A r ; ma A r A âme ; ma 3 A 4 3 A A âme - CONDTON DE RETANCE Comme pour la traction ou la compression, on définit une contrainte limite (admissible) de cisaillement qui ne doit être dépassée en aucun point de la structure. Par contre le concepteur n a, en général, pas à se soucier de la déformation due au cisaillement qui est très faible. On retiendra donc pour le dimensionnement une seule inéquation : ma Quelques ordres de grandeurs pour : - Acier : 100 MPa - Bois résineu longitudinalement au fibres : 1, MPa - Bois résineu perpendiculairement au fibres : 1,5 MPa Pour le béton, la résistance au cisaillement est très faible, ce qui eplique que l on ne fasse pas travailler ce matériau au cisaillement. Pour le béton armé, c est l ensemble béton+acier q Page 95 / 106