Conversion de puissance Chap6 Machine synchrone 1. Structure d une machine synchrone à pôles lisses (excitation séparée) 1.1. Description d une machine à pôles lisses 1.2. Concepts clefs pour l étude de la machine synchrone 2. Expression du champ magnétique dans l entrefer 2.1. Champ créé dans l entrefer par une spire (rotor ou stator) 2.2. Champ dépendant sinusoïdalement de la position dans l entrefer 2.3. Champ glissant statorique 2.4. Champ glissant rotorique 3. Energie magnétique et expression du couple 3.1. Energie magnétique totale ( localisée dans l entrefer) 3.2. Couple moyen Condition de synchronisme 3.3. Discussion autour du déphasage entre les deux champs glissants 3.4. Modélisation simplifiée avec les notions de PCSI 3.5. Démarrage du moteur Autopilotage pour réaliser le synchronisme 4. Modèle électrique de l induit 4.1. Schéma électrique équivalent du rotor (inducteur) 4.2. Schémas électriques équivalents des phases statoriques (induits) 5. Bilans énergétiques 5.1. Bilan d énergie global : premier principe appliqué à la machine 5.2. Bilan d énergie mécanique : TEC appliqué au rotor 5.3. Bilan d énergie électrique appliqué aux trois bobinages 5.4. Conclusion : mise en évidence de la conversion électromécanique 6. Réversibilité de la machine 6.1. Signe des puissances algébriques mises en jeu 6.2. Conditions d utilisation de la machine en moteur 6.3. Conditions d utilisation de la machine en alternateur 7. Exemples d application des machines synchrones Intro : L étude du contacteur électromagnétique en translation était une introduction à la conversion électromagnéto-mécanique. On étudie ici une machine électrique en rotation : la machine synchrone. Elle peut-être motrice (moteur électrique de TGV) ou utilisée en alternateur (production d énergie électrique dans les centrales). Contrairement aux machines thermiques, les machines électriques idéales ont un rendement de 100 %, en négligeant les phénomènes dissipatifs (Joule, frottements mécaniques). Pour rappel, les machines thermiques, même supposées idéales, ont un rendement théorique de l ordre de 30 à 40% (Théorème de Carnot). 1
1. Structure d une machine synchrone à pôles lisses (excitation séparée) 1.1. Description d une machine à pôles lisses L image de gauche représente une vue partiellement en coupe de machine synchrone réelle. La machine est à symétrie axial, et l on distingue une pièce cylindrique intérieure pouvant tourner autour de cet axe de symétrie : c est le rotor. Sur la droite de cette vue en coupe, on repère un dispositif entourant le rotor et fixé au bâti : c est le stator. Le rotor est en rotation. Le stator est statique, il ne bouge pas. Le stator et le rotor sont constitués de matériau ferromagnétique. Le stator et le rotor sont séparés par une zone vide de matière : l entrefer. L épaisseur de cet entrefer étant uniforme, la machine est dite à pôles lisses. On modélisera plus simplement cette machine par le schéma de droite. La vue correspond à une coupe transversale de la machine (coupe orthogonale à l axe de symétrie). L axe de rotation est noté u z. On distingue trois bobinages (qualifiés aussi de «phases») : 2 bobinages statoriques en quadrature spatiale, qualifiés d induits 1 bobinage rotorique, qualifié d inducteur On justifiera plus loin ces dénominations. Les spires de ces bobinages sont des rectangles allongés selon la direction u z, et placés dans des encoches (cf. photos ci-dessous : exple de stator à gauche, de rotor à droite). Ces bobinages sont représentés de manière simplifiée sur le schéma de droite : une unique spire de chaque bobinage est représentée. On verra plus loin que le vecteur normal de cette «spire de référence» permet de repérer les pôles du bobinage. Le vecteur normal de la spire de référence du rotor est repérée par l angle θ r. 2
Les deux phases statoriques sont alimentées par des courants sinusoïdaux i 1 (t) et i 2 (t) de même amplitude et en quadrature temporelle. Les deux bobinages sont supposés identiques, et sont disposés en quadrature spatiale. Le bobinage rotorique est alimenté en courant continu. C est pourquoi on parle de machine à excitation séparée. L entrefer est supposé suffisamment étroit pour être assimilé à un cercle de rayon R égale à celui du rotor. Son épaisseur est notée e R. Les matériaux ferromagnétiques sont doux, supposés linéaires de perméabilité relative infinie. 1.2. Concepts clefs pour l étude de la machine synchrone Le principe de la machine synchrone a été illustré en PCSI lors d une expérience de cours. Deux bobines placées en quadrature spatiale, et alimentées par des courants sinusoïdaux en quadrature temporelle, réalisent un champ magnétique tournant. Une aiguille aimantée placée devant les deux bobines, une fois lancée à la main, est entraînée par le champ magnétique, et tourne à la même vitesse angulaire que lui. C est ce qui se produit dans une machine synchrone : le stator crée un champ magnétique statorique tournant qui exerce sur le rotor un couple moyen non nul lorsque ce dernier tourne à la même vitesse que le champ statorique. D où le qualificatif de machine synchrone. C est ce que l on va s attacher à présenter dans ce chapitre. En sup, cela pouvait être démontré à l aide de l expression du couple exercé par un champ magnétique sur un moment magnétique. Dans le cas des machines synchrones réalistes, le rôle des matériaux ferromagnétiques est primordial et ne peut être occulté. Notre démarche va être un peu plus complexe : calcul du champ magnétique total dans la machine, créé par le stator et par le rotor calcul de l énergie magnétique, principalement localisée dans l entrefer, dépendante de θ r déduction du couple en dérivant l énergie par rapport à θ r (formule admise, cf. chap.3 sur contacteur) On finira sur une étude électrique de la machine, permettant d établir un bilan énergétique qui mettra en évidence la notion de conversion de puissance électromécanique. A cette occasion, on montrera que le rotor génère une fém d induction dans les phases statoriques. C est pourquoi le bobinage rotorique est qualifié d inducteur et les bobinages statoriques d induits. 2. Expression du champ magnétique dans l entrefer 2.1. Champ créé dans l entrefer par une spire (rotor ou stator) Pour le moment, on assimile la phase statorique n 1 à une seule spire, de vecteur normal u x. On cherche l expression du champ magnétique créé par cette spire en tout point M de l entrefer, repéré par l angle θ (cf. schéma de gauche ci-dessus). 3
En négligeant les effets de bord selon u z (machine de grande longueur devant le diamètre du rotor), montrer que le champ magnétique B (M) est contenu dans le plan de la figure, et qu il ne dépend que de θ Rappeler l allure des lignes de champ magnétique à l interface air-ferromagnétique. En déduire que le champ est radial dans l entrefer : B (M) = B(θ)u r Le calcul du champ magnétique en tout point de l espace n est pas possible à la main car la spire n est pas une distribution de courant suffisamment symétrique pour utiliser le théorème d Ampère. Une simulation numérique a permis de tracer la carte de champ représentée ci-dessus à droite. Pourquoi les lignes de champ sont-elles orthogonales au plan de la spire? (inutile pour la suite) Que peut-on dire des champs en deux points M et M symétriques par rapport au plan de la spire? Que peut-on dire des champs en deux points M et M symétriques par rapport au plan (Oxz)? Le calcul du champ en tout point est trop délicat, mais il est possible de le calculer en tout point M de l entrefer. Le schéma de gauche représente une ligne de champ passant par M et par son symétrique M par rapport au plan de la spire. Le champ magnétique étant nécessairement fini dans le ferro, en déduire que l excitation y est nulle Appliquer alors le Théorème d Ampère sur cette ligne de champ pour déterminer B(θ) dans l intervalle θ ε ]0, π [. Grâce aux symétries, en déduire B(θ) dans tout l entrefer 2 On notera que le principe de ce calcul, mené pour une spire de la phase statorique n 1, est valable pour toute spire des phases statoriques ou rotorique. 2.2. Champ dépendant sinusoïdalement de la position dans l entrefer Le concepteur du moteur enroule une phase statorique de manière à ce que le champ magnétique généré dans l entrefer soit une fonction sinusoïdale de la position θ. Il ne s agit pas ici de rentrer dans les détails techniques d une telle réalisation, mais remarquons que l ajout de deux spires décalées d un angle π/3 de part et d autre de la spire étudiée précédemment (cf. schéma de gauche ci-dessous) permet déjà de faire tendre la fonction créneau initiale vers une fonction «plus sinusoïdale» (cf. schéma de droite ci-dessous). On admet ici que l ajout de 2n spires réparties symétriquement autour de la spire centrale et décalées les unes des autres d un angle π/(2n + 1) permet d obtenir une fonction B(θ) qui se rapproche de mieux en mieux d une fonction sinusoïdale. On prendra par la suite : B 1 (θ) = k i 1 cos(θ) u r où l on notera que k > 0 est proportionnel au nombre N 1 de spires de la phase statorique n 1. Lorsque i 1 > 0 comme sur les schémas considérés jusqu à présent, on remarque que la position θ = 0 correspond à une valeur maximale du champ créé par la phase statorique n 1 dans l entrefer. La normale à la «spire de référence» orientée par la règle de la main droite repère le pôle NORD du bobinage A l opposé se trouve le pôle SUD 4
C est tout l intérêt de n avoir représenté jusque là que cette «spire de référence» pour les trois bobinages de la machine : cette spire suffit pour repérer les pôles N et S des phases. 2.3. Champ glissant statorique La phase statorique n 2 étant décalée spatialement d un angle π/2, déduire du paragraphe précédent que : B 2 (θ) = k i 2 sin(θ) u r En notant i 1 (t) = I cos(ωt) et i 2 (t) = I sin(ωt), en déduire que le champ statorique total B s s écrit B s (θ, t) = k I cos(ωt θ) u r Interpréter physiquement cette expression, en repérant par exemple la position du maximum du champ La figure ci-contre schématise bien la situation : le champ statorique est un champ tournant à une vitesse angulaire identique à la pulsation ω des courants d alimentation. Le vecteur n s repère la position du maximum du champ. NB : Remarquons ici combien il est important que chaque phase statorique génère un champ dépendant sinusoïdalement de la position dans l entrefer. Si le créneau initial était conservé, chaque harmonique de rang supérieure (3θ, 5θ, etc.) donnerait naissance à un champ tournant différent. 2.4. Champ glissant rotorique Le rotor est alimenté par une «excitation séparée», une alimentation continue délivrant un courant I r. Le bobinage rotorique est aussi conçu de manière à créer un champ sinusoïdal de la position dans l entrefer. A un instant fixé, le pôle N de la phase rotorique pointe dans la direction θ r. En déduire l expression du champ B r (θ) créé par le rotor en une position θ dans l entrefer : B r (θ) = k I r cos(θ θ r )u r En notant Ω la vitesse angulaire de rotation du rotor, expliquer pourquoi le champ rotorique est aussi qualifié de «glissant» 3. Energie magnétique et expression du couple 3.1. Energie magnétique totale ( localisée dans l entrefer) Rappeler les deux méthodes possibles pour calculer l énergie magnétique L expression des coefficients d inductance ne sont pas connus, mais l expression du champ magnétique l est. On utilise la méthode intégrale. On note R le rayon du rotor, e l épaisseur de l entrefer et h la longueur des spires selon la direction u z. Le matériau ferromagnétique étant de perméabilité infinie, montrer qu il ne stocke aucune énergie magnétique Montrer alors que l énergie magnétique stockée dans l entrefer s écrit : E mag = πk 2 I 2 r Reh + πk2 I 2 Reh + πk kii r Reh cos(ωt θ 2µ 0 2µ 0 µ r ) 0 Interpréter physiquement les trois termes 5
3.2. Couple moyen Condition de synchronisme On admet l expression donnant le couple exercé par le stator sur le rotor en fonction de l énergie magnétique : Γ = E mag θ r le signe du couple permettant de savoir si la machine est motrice ou résistance (avec Γ = Γu z ), l axe u z ayant bien-sûr été orienté tel que les différentes vitesses angulaires (champ statorique et rotor) soient positives. Déterminer le couple En déduire que sa valeur moyenne n est non-nulle que si le rotor tourne avec la même vitesse angulaire que le champ statorique : Ω = ω. En notant α = (n r, n s ) le déphasage entre le champ statorique et le rotor : Γ = πk kii r erh sin(α) µ 0 Condition de synchronisme Le couple moyen exercé par le stator sur le rotor est non-nul ssi Ω = ω : le champ statorique et le rotor tourne à la même vitesse Remarque : Bien que notre calcul ne permette pas de le démontrer (expressions de k et k ), le couple est proportionnel : - aux nombre de spires des phases statoriques et rotorique - au rayon du rotor - à la longueur h de la machine - à l inverse de l épaisseur de l entrefer : plus e est petit, plus le couple est grand L entrefer ne doit pas être trop petit non plus, sinon le champ magnétique devient trop grand dans le ferro qui se met à saturer (cf. expression du champ établie au 2.1 dans l entrefer, mais valable aussi dans le ferro par conservation du flux magnétique sur un tube de champ). 3.3. Discussion autour du déphasage entre les deux champs glissants Tracer Γ en fonction de α. Pour quelles valeurs du déphasage la machine est-elle motrice? résistante? Représenter sur un dessin les deux vecteurs n s et n r, pour les deux signes possibles du couple On se place dans le cas où la machine est motrice et fonctionne en régime permanent. On nomme Γ res le couple résistant total (couple de charge + couple de frottement). Quel est le signe de Γ res? Que vaut le couple magnétique moyen en régime permanent? Montrer sur la courbe Γ = f(α) qu il existe deux valeurs du déphasage possible, ou aucune On imagine alors qu une perturbation extérieure (choc, augmentation soudaine des frottements, etc.) tend à ralentir la rotation. Montrer que des deux valeurs du déphasage déterminées précédemment, seule une correspond à un fonctionnement stable du moteur (définir d abord ce qu est la stabilité) Montrer que cette valeur du déphasage correspond aussi à un comportement stable vis-à-vis d une perturbation qui tend à accélérer le rotor (décrochage d une partie de la charge, ajout de graisse pour une meilleure lubrification, etc.) 3.4. Modélisation simplifiée avec les notions de PCSI On peut comprendre le fonctionnement de la machine synchrone à partir de l expérience de la mise en rotation d une aiguille aimantée avec deux bobines placées en quadrature spatiale et alimentées avec des courants en quadrature temporelle. En modélisant cette expérience simplement, on peut retrouver la condition de synchronisme. 6
En utilisant hors des bobines l expression du champ créé par un solénoïde, on montre que le champ créé par les bobines au niveau de l aiguille aimantée s écrit : B = µ 0 NI(cos(ωt) u x + sin(ωt) u y ) En modélisant l aiguille aimantée par un moment magnétique tournant à une vitesse angulaire Ω : M = M(cos(Ωt α) u x + sin(ωt α) u y ) En appliquant la formule Γ = M B, on montre que le couple moyen est non nul s il y a synchronisme. L avantage de l étude plus réaliste que nous avons menée est de montrer le rôle essentiel des matériaux ferromagnétiques dans la constitution des machines synchrones de puissance. 3.5. Démarrage du moteur Autopilotage pour réaliser le synchronisme Démarrer un moteur synchrone apparaît d emblée comme une opération compliquée, puisque la vitesse angulaire augmentant au cours du temps, la condition de synchronisme n est pas simple à réaliser. La machine doit être autopilotée par un système bouclé, qui asservit la pulsation des courants statoriques à la vitesse angulaire de rotation du rotor. 4. Modèle électrique de l induit 4.1. Schéma électrique équivalent du rotor (inducteur) Le rotor est alimenté par une source de courant continu. Il n est donc pas soumis à un flux propre variable : pas d auto-induction. En régime permanent, le rotor tourant à la même vitesse que le champ statorique, ce dernier ne cause pas d induction dans le bobinage rotorique. La résistance du bobinage rotorique suffit à le modéliser : U r = R r I r 4.2. Schémas électriques équivalents des phases statoriques (induits) Chaque phase statorique : est soumise à son flux propre variable est soumise au flux variable du champ rotorique n est pas soumise au flux de l autre phase statorique, les deux bobinages étant orthogonaux l un à l autre Donner le schéma équivalent de la phase statorique n 1 On se doute que le coefficient de mutuelle inductance M(θ r ) associé à l induction dans la phase statorique n 1 provoquée par le champ rotorique est maximale quand n r = u x et minimale quand n r = u y. Comme stipulé par le programme, on admet que l expression est du type M(θ r ) = M 0 cos(θ r ). Dans la fém induite, on préfère généralement distinguer l induction propre de l induction mutuelle, la première étant représentée par une inductance pure (symbole usuel en élec), la seconde par une source idéale de tension orientée en convention récepteur : on l appelle alors la force contre-électromotrice. Refaire un schéma équivalent, et montrer que la force contre-électromotrice s écrit : e 1 = M 0 I r ω sin(ωt α) En déduire l expression de la tension u 1 (t) alimentant le bobinage Ecrire cette expression avec des amplitudes complexes Vérifier que le diagramme de Fresnel ci-contre correspond bien à cette écriture mathématique Par lecture graphique, déterminer la valeur de α qui optimise le facteur de puissance de cette phase statorique Faire de même avec la phase statorique n 2, en montrant notamment que la force contre-électromotrice vaut : e 2 = M 0 I r ω cos(ωt α) 7
5. Bilans énergétiques Grâce à l application de plusieurs bilans d énergie, on va montrer mathématiquement que la machine synchrone : convertit de la puissance électrique en puissance mécanique (régime moteur) convertit de la puissance mécanique en puissance électrique (régime alternateur) Pour simplifier les bilans de puissance, on néglige tout frottement mécanique et les pertes fer dans les ferros. On ne tient compte que des pertes cuivres (Joule dans les bobinages). 5.1. Bilan d énergie global : premier principe appliqué à la machine On considère comme système la machine au complet : {stator + rotor + entrefer}, matériaux ferromagnétiques et bobinages compris. La condition de synchronisme est réalisée et les couples appliqués au rotor sont le couple magnétique et un couple de charge. Appliquer le premier principe généralisé à toutes les formes d énergie impliquées dans la machine : le taux de variation de l énergie stockée est égal aux puissances reçues depuis l extérieur Le seul phénomène dissipatif étant l effet Joule dans les bobinages, effectuer un bilan d énergie thermique 5.2. Bilan d énergie mécanique : TEC appliqué au rotor On considère ici uniquement la partie mobile. Le système est le rotor. Appliquer le TEC au rotor 5.3. Bilan d énergie électrique appliqué aux trois bobinages On considère ici les trois bobinages. Effectuer trois bilans de puissance électrique : un pour chaque bobinage Interpréter chaque terme de ces trois bilans Montrer que l énergie magnétique stockée par auto-induction dans le stator est nulle 5.4. Conclusion : mise en évidence de la conversion électromécanique Principe de la conversion électromécanique La puissance électrique absorbée par les forces contre-électromotrices des phases statoriques est égale à la puissance mécanique reçue par le rotor : il y a eu conversion d énergie électrique en énergie mécanique (ou inversement). En combinant les différents bilans d énergie précédents, démontrer l énoncé ci-dessus. Le résultat attendu s écrit mathématiquement ainsi : Γω = e 1 i 1 + e 2 i 2 6. Réversibilité de la machine 6.1. Signe des puissances algébriques mises en jeu Dans la relation établie ci-dessus, qui exprime la conversion électromécanique : si les termes sont positifs, la machine est motrice : elle consomme de la puissance électrique pour mettre en rotation le rotor si les termes sont négatifs, elle fonctionne en alternateur : le couple magnétique du stator sur le rotor est résistant, le rotor transmet à la machine le travail mécanique qu il reçoit de l extérieur, et ce travail est converti en puissance électrique, récupérable au niveau des phases statoriques 8
6.2. Conditions d utilisation de la machine en moteur On alimente électriquement la machine, qui convertit une partie de la puissance électrique reçue (l autre partie est dissipée par effet Joule, «pertes Cuivre») en puissance mécanique qui fait tourner le rotor. Si une charge est fixée sur le rotor (p.e. roue de véhicule), elle est mise en rotation avec le rotor. En régime établi, le couple magnétique compense exactement le couple résistant, somme des couples de frottements (solide et fluide) et du couple de charge (associé à l augmentation du moment d inertie de la partie en rotation lorsque l on charge le rotor). 6.3. Conditions d utilisation de la machine en alternateur Un dispositif extérieur (p.e. arbre d une turbine Pelton) est fixé au rotor et le met en rotation. Le couple magnétique exercé par le stator sur le rotor est alors résistant, il s oppose à la rotation. En régime permanent, une partie de la puissance mécanique fournie par la turbine (l autre partie est perdue par frottement) est convertie en puissance électrique, délivrée par les fcém sur les schémas équivalents des phases statoriques. La machine fonctionne alors en alternateur, et si une installation électrique est branchée sur les phases statotriques, elle fournit un courant sinusoïdal de pulsation égale à la vitesse angulaire du rotor. Les phases statoriques étant en quadrature spatiale, les courants i 1 (t) et i 2 (t) délivrés par les phases statoriques sont en quadrature temporelle. 7. Exemples d application des machines synchrones On a étudié la machine synchrone biphasée, mais il existe des machine synchrones triphasées (3 bobinages statoriques, décalés spatialement de 2π/3). Voici quelques applications des machines synchrones. Moteur de TGV : 1 MW par rame Moteur de paquebot : 20 MW par moteur Moteur de la Toyota Prius (voiture hybride) : machine synchrone triphasé, rotor à aimants permanents, tension max 500 V, puissance max 50 kw Moteur des ventilateurs de la soufflerie de la NASA : 100 MW (moteurs les plus puissants du monde) Alternateur de centrales électriques : puissance délivrée de 0,1 à 1,6 GW! alternateur de groupe électrogène : qq kw en général Alternateur de voiture, de bicyclette : qq100 W pour les voitures Compensateur synchrone : la machine synchrone peut aussi est utilisée pour relever le facteur de puissance d une installation. Elle fonctionne alors à couple nul : la puissance électrique moyenne absorbée est nulle. Selon les besoins, elle joue alors le rôle d une inductance pure, ou d un condensateur pur (cf. chap.1 de la conversion de puissance pour le rôle de C et L dans le relèvement du cos( φ)) On notera qu il existe deux autres types de machine électrique : la machine asynchrone : le rotor ne tourne pas à la même vitesse que le champ glissant statorique (HPgm) la machine à courant continu (au programme de PSI) Au-delà de 10 MW, on ne trouve plus que des machines synchrones, car il est possible de les faire fonctionner à des facteurs de puissance proches de 1, par auto-pilotage (l asservissement assurant un fonctionnement autour de α = ±π/2, le signe dépendant du régime : moteur ou alternateur). 9
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Remarque préliminaires du programme sur la conversion électromécanique : 11