La déciion dan l incertain préférence, utilité et probabilité Philippe Bernard
Table de matière 1 Le rique 1 2 L epérance morale 2 3 Préférence et utilité 10 3.1 L approche parétienne... 10 3.2 Loterie et choix dan l incertain... 14 4 Averion à l égard du rique : meure et conéquence 19 4.1 Variablealéatoire,étatdumonde... 19 4.2 L averionàl égarddurique... 22 4.3 Utilitéepéréeetaverionaurique... 29 4.4 Equivalencedemeure... 33 4.5 Averionrelativeàl égarddurique... 36 5 Demande d aurance 37 6 Incertitude, production et marché financier 41 6.1 Le cadre économique... 42 6.2 L offredanl incertainanintrumentdecouverture... 43 6.3 L offreaveclemarchédefuture... 46 6.4 Equilibre de marché financierettabiliationdeprix... 49 7 Limite et extenion de l utilité epérée 52 1 Le rique La prie en compte de la dimenion temporelle dan la modéliation permet de réintroduire le comportement financier, d épargne et d invetiement aini que d autre fonction de marché financier. Néanmoin, un apect eentiel de l activité economique demeure abent : on rique. En effet, une hypothèe centrale de analye intertemporelle et celle de anticipation exacte. Avec elle, l évolution future de l économique et certaine, unique, et tenue comme telle par le agent économique. Aui, par exemple, à chaque intant, le revenu engendré par le actif financier, le invetiement ont connu. Le rique, l incertitude ont donc abent de l analye ; à l équilibre de ce monde, aucune prime de rique ne peut 1
exiter, tou le actif ont le même rendement net, aucune péculation ne peut avoir lieu, aucune aurance n et demandée. Pour réintroduire l enemble de intitution financière, de contrat dont l objet et de protéger le agent de l incertitude, il et donc néceaire de prendre en compte le haard, lerique. Mai admettre que le projet ont riqué, c et admettre qu il peut e paer plu de choe qu il ne en paera. Aini, nou nou auron contre de événement rare (incendie, accident), que nou epéron (et penon ouvent) ne pa voir e produire mai qui peuvent arriver. De même, ur le marché de action, celui de l immobilier, lorque nou anticipon une haue prolongée mai nou n invetion pa la totalité de notre patrimoine dan ce actif riqué car nou admetton que ceux-ci peuvent également baier. Bref, comme le uggèrent le racine de haard et de rique 1, quelle que oient leur compétence, leur précaution, le invetieur, le financier ont fréquemment dan la ituation de joueur de dé : il connaient approximativement le réultat poible, le fréquence de ceux-ci mai ne ont pa totalement maitre de leur detin : le démon de la chance (M. Kendall) le détermine aui en partie. La prie en compte de cette donnée dan l activité économique en général, le jeux de haard, l aurance, la finance en particulier a conduit trè tôt le homme à interroger ur la nature de ce aléa, à tenter de le quantifier. La decription de rique économique, leur quantification, i.e. le fait de le réumer par de nombre, a évidemment une hitoire aui longue que le commerce et l aurance. 2 Cependant, le première tentative moderne d analye de ce problème remontent à la Renaiance et furent ucitée par de activité plu futile : le jeu. Au milieu du XVIIè iècle, pour de problème imilaire, Blaie Pacal développa (avec l aide de Pierre Fermat) la théorie de probabilité et propoa une première règle de déciion dan l incertain : celle de la maximiation de l epérance de gain. Cependant au début du XVIIe iècle, dan le petit monde de mathématicien, la pertinence de cette règle fut mie en doute. 2 L epérance morale Nicola Bernoulli (1687-1759), charitablement urnommé par e contemporain Nicola le lent, était le membre d une grande famille de mathématicien uie. En 1713, il oumit à la communauté cientifique un problème, appelé Paradoxe de St Peterbourg 3, qui fut à l origine d une avancée eentielle de la théorie de la déciion dan l incertain. Le problème oumi par Nicola le lent et le uivant. Pierre propoe à Paul un jeu à 1 Haard vient du mot arabe al zahr (= dé) et rique vient de l italien ricare oer. 2 Sur ce ujet, on peut e référer notamment à [?], [?], ou à l ouvrage plu récent de P.L. Berntein [?]. 3 Le nom et uniquement dû au fait que Nicola Bernoulli réidait alor dan cette ville. 2
1er tirage 2ème 3ème n-ème n+1-ème 2 ducat 4 ducat 8 ducat n n+1 2 ducat 2 ducat pile pile pile pile pile 1/2 1/2 face 1/2 1/2 face 1/2 1/2 face 1/2 1/2 face 1/2 1/2 face Fig. 1 LejeuduparadoxedeStPeterbourg pile ou face (repréenté ur la figure 1) : 1. i pile arrive au premier lancé, Pierre donnera à Paul 2 ducat 4, inon le jeu continuera ; 2. i pile arrive au econd lancé, Pierre donnera à Paul 4 ducat, inon le jeu continuera ; 3. i pile arrive au nème coup, Pierre donnera à Paul 2 n ducat, inon le jeu continuera. Combien vaut donc pour Paul la jeu propoée par Pierre, i.e. quel et le prix maximum qu il erait prêt à payer pour avoir le droit de participer au jeu? Au XVIIIème, le critère courant utilié pour évaluer le jeux de haard était l epérance du gain, critère propoé au iècle précédent par Pacal. Le jeu propoé par Nicola le lent peut être repréenté ou la forme équivalente de la figure 2. Par conéquent, l epérance du gain, notée V, et la uivante : V = 1 2 2+1 4 4+1 8 8+... + 1 2 n 2n + 1 2 n+1 2n+1 +... = L application du critère d epérance du gain débouche donc ur le paradoxe de Saint Peterbourg : quel que oit le prix du jeu fixé par Pierre, Paul elon la théorie de Pacal devrait l accepter puique la valeur de celui-ci et infinie. Le jeu propoé par Nicola le lent emble donc remettre en caue la pertinence du critère d epérance de gain. Peu de peronne eraient prêt à payer une omme infinie. Mai quel critère peut remplacer l epérance du gain? Ce problème poé en 1713 reta (publiquement) an olution juqu à la publication en 1738 d un mémoire Specimen Theoriae Novae de Menura Sorti (Expoé d une nouvelle théorie du rique) préenté à l Académie de Science de Saint Péterbourg. L ironie voulut que l auteur en oit le propre couin de Nicola le lent, Daniel Bernoulli (1700-1782). Son objectif était non eulement de réoudre le problème de on couin, mai 4 D aprè le calcul de P.-L. Berntein [?], un ducat du XVIIIe iècle et environ l équivalent de 40$ d aujourd hui, 260 FF. 3
2 ducat 1/2 1/4 1/8 4 ducat 8 ducat 1/2 n 1/2 n+1 n 2 ducat n+1 2 ducat Fig. 2 Repréentation équivalente du jeu du paradoxe de St Peterbourg aui établir de règle [qui] peuvent être utiliée par toute peronne devant etimer toute prie de rique dan de circontance financière pécifique. 5 Bref, Bernoulli peut être regardé comme le fondateur du rik management. Ce faiant il et aui un de premier reponable de l introduction dan la balbutiante théorie de la déciion d un montreencoremaldéfini mai incontournable : l utilité. Dè le début on mémoire, Bernoulli rappelle la procédure courante pour évaluer : La valeur epérée et calculée en multipliant chaque gain poible par le nombre de foi où il e produit, et en diviant la omme de ce produit par le nombre total de ca poible lorque chaque ca a la même probabilité. ([?] p. 15) et ouligne une caractéritique de cette procédure : Aucune caractéritique de peronne n et prie en conidération ; eul comptent le terme du pari[.] ([?] p.15) Or, pour lui : la détermination de la valeur d un objet ne doit pa être baée ur e avantage 6,maieulementurl utilité qu il procure. Le avantage de l objet dépendeulementdelui-mêmeetontlemêmepourtoutlemonde;l utilité, par contre, dépend de caractéritique propre de la peronne qui fait l évaluation. Aini, il n y aucun doute qu un gain de 1000 ducat et an doute 5 Cet extrait aini que ceux qui uivent ont de traduction de [?]. 6 Bernoulli parle en fait ici de price qui correpond dan le ca d une loterie aux gain monétaire de celle-ci. 4
Fig. 3 Daniel Bernoulli. plu apprécié par un pauvre que par un homme riche même i le gain et le même pour le deux. ([?] p.16) Même il admet que la richee n et pa le eul paramètre important de l utilité 7,il avance on hypothèe fondamentale : [L ] utilité reultant de tout petit accroiement de la richee era inverement proportionnel à la quantité de bien antérieurement poédé. Autrement-dit, pour tout accroiement faible de la richee w, l accroiement de l utilité ( u) et alor donné par : u 1 w w (1) Pour Bernoulli, cette hypothèe et le plu ouvent valide : Conidérant la nature de l homme, il me emble que cette hypothèe et valide pour la majorité de homme auquel ce conidération pourraient être appliquée. ([?] p. 16) Mai cette retriction détermine la fonction d utilité : u 1 w w u w = 1 w u =ln(w) 7 l utilité d un objet peut changer avec le circontance. Aini, même i un gain donné et généralement plu utile à un pauvre qu à un riche, il et néanmoin concevable, par exemple, qu un riche prionnier poédant 2000 ducat mai ayant beoin de 2000 ducat upplémentaire pour racheter a liberté, accordera alor plu de valeur à un gain inopiné de 2000 ducat qu un homme plu pauvre que lui. ([?] p.16) 5
Ceci uggère la fonction objectif à ubtituer à l epérance du gain : Si l utilité de chaque profit poible et multiplié par le nombre de foi où il peut être obtenu, et i nou divion la omme de ce produit par le nombre total de ca poible, une epérance morale era obtenue, et le profit quilui correpond era la valeur du rique en quetion. ([?] p.16) A la maximiation de l epérance mathématique Bernouilli ubtitue la maximiation de l epérance morale : le connaiance ont donnée par de probabilité (π i ) i=1,.. - avec 0 π i 1, P i π i =1- mai le goût ont réumé par une fonction d utilité de la richee totale (u) quant elle et certaine ; en préence d incertitude, l agent maximie l epérance morale U : U = X π i.u (w + w i ) (2) i où w et la richee certaine initiale, (w i ) le revenu riqué poible. Ce faiant : [e]n moin d une page, Bernoulli était paé de l introduction de probabilité dan le déciion à la prie en compte d élément ubjectif dan le déciion en environnement aléatoire [...] Pour la première foi de l hitoire, Bernoulli appliquait la meure à quelque choe qui ne pouvait être meurée. Il agiait comme un intermédiaire uniant l intuition et la meure. Cardano, Pacal, et Fermat avaient donné une méthode pour repréenter le aléa de chaque lancé de dé, mai Bernoulli introduiait le preneur de rique - le joueur qui agit. Ceci était un domaine d étude entièrement nouveau. ([?] p. 105) Comme Bernouilli le remarqua dan le deux corollaire de on mémoire, cette nouvelle approche ne rejette pa l epérance du gain : elle l englobe. En effet, i u i et proportionnelle à la richee : u (w i )=θ.w + θ.w i avec θ une contante trictement poitive, alor l epérance du gain demeure le critère (corollaire 1 de Bernoulli) : U = θw + θ X i π i w i = θw + θe ( ew) où E ( ew) et l epérance de la richee. Enfin, i le rique et uffiamment faible, alor l epérance demeure une bonne approximation (corollaire 2) : u (w + w i ) u (w)+u 0 (w) w i 6
et donc : U = X i π i u (w + w i ) X i π i [u (w)+u 0 (w) w i ] = u (w)+u 0 (w) X i π i.w i = u (w)+u 0 (w) E ( ew) Dan ce ca, chercher le plu grand poible U et équivalent à maximier E ( ew). Une de première application de la nouvelle approche et évidemment le paradoxe de Saint Péterbourg. Dan ce jeu, le gain de Paul, évalué avec l epérance morale n et plu indéfini 8 puique, en uppoant une richee intiale nulle (w =0): U = lim T + P T t=1 = ln(2) lim T + ln (4) 1 2 ln 2 t t P t=t t=1 La valeur du jeu propoé par Paul et en fait exactement ln (4) ducat. L étude de on epérance morale conduiit Bernoulli à relever certaine propriété remarquable. Aini, à la différence de l epérance de gain : il apparaît que dan de nombreux jeux, même ceux qui ont parfaitement équitable, tou le joueur préféreront ubir une perte [plutôt que d y participer] ; ceci contitue contitue l averion de la Nature à l égard du haard... Ceci et la conéquence de la concavité [de la courbe d utilité]. ([?] p.20) Ce réultat et repréenté ur la figure 4 pour une loterie équiprobable prenant deux valeur. Dèlorquelafonctionu et concave, tout individu poédant une richee certaine w et acceptant une telle loterie voit on revenu prendre deux valeur poible de part et d autre de w. S il perd, l utilité de l agent et donnée par l ordonnée du point B. S il gagne, elle et donnée cette foi par l ordonnée du point H. Puique le probabilité du gain et de la perte ont 1/2, l epérance morale et alor la moyenne ; graphiquement, elle et donc l ordonnée du point P, le milieu de la corde BH. Alor que l epérance de gain de la loterie et donc nulle, l individu perd donc ici à accepter la loterie puique on 8 Bernoulli dan on mémoire porta à la connaiance du public que 10 an avant lui le mathématicien Gabriel Cramer (1704-1752) avait dan une lettre à Nicola Bernoulli apporté de olution trè proche de ienne. Comme lui, Cramer mettait en avant l utilité. Deux olution différente étaient propoée pour réoudre le paradoxe : (a) l utilité et croiante de la richee, elle peut lui être proportionnelle mai elle et bornée ; (b) l utilité et la racine carrée. Avec cette retriction, la valeur du jeu et en effet finie. 7 t 2 t
utilité H u U B P perte gain w-perte w' w w+gain richee Fig. 4 L inéquité de loterie équitable epérance morale pae de u (w) à U ur le graphique. Comme Bernoulli le remarqua, l individu et même prêt à accepter une perte : pour lui, mieux vaut en effet à accepter une baie de on revenu certain tant que celui-ci dépae le niveau w 0 (repréenté ur la figure). Cette répulion à upporter de rique définit une demande d aurance. Dan on mémoire, l étude de celle-ci et la dernière contribution de Bernouilli. Celuici montre notamment comment, en préence d une inégalité de richee, un marché du rique peut accroître l epérance morale de chacun de participant. L exemple de Bernouilli et le uivant : Caiu (?!) réalie un invetiement de 10,000 rouble en achetant de marchandie à Amterdam pour le vendre à St. Péterbourg. Malheureuement, 5% de expédition coulent régulièrement dan la Baltique. Si l on note w N le revenu de Caiu en ca de naufrage, w V on revenu dan l autre ca (et donc aprè la vente à St. Péterbourg), on epérance morale et donc : U = 5 100 ln (w N)+ 95 100 ln (w V ) Si l on note x, la fortune de Caiu hor le revenu aléatoire de l invetiement, l epérance morale de Caiu écrit aui : 5 95 ln (x)+ ln (x +10, 000) 100 100 En uppoant que le coût de l aurance et de 800, il aure, il obtiendra alor avec certitude le revenu x +9200. Par conéquent, tant que le prix de l aurance et de 800, l individu ne era demandeur d une aurance que i : 5 95 ln (x)+ ln (x +10, 000) ln (x + 9200) 100 100 8
ou encore en raion de propriété du ln : h i ln x 5 95 100 (x +10, 000) 100 ln (x + 9200) x 5 (x +10, 000) 95 100 x +9200 i.e. que : x 5043 Caiu demandera une aurance lorque la part de on revenu aléatoire repréentera une part uffiamment importante de a fortune : Nou devon ouligner cette vérité, bien qu elle oit évidente : l imprudence d un joueur et d autant plu grande que la part oumie au haard de a fortune et importante. ([?] pp. 20-21) L auto-aurance n et la tratégie optimale que pour de individu uffiamment riche. Côté offre, i le prix de l aurance et de 800, unagentoffrant d aurer Caiu aura un revenu égal en l abence de naufrage à 800+y,oùy et on revenu initial, à 800+y 10, 000 en ca de naufrage puiqu alor il devra indemnier totalement Caiu pour la perte de a cargaion. Par conéquent, offrir une aurance à Caiu ne era avantageux que i : 5 95 ln (y +9, 200) + ln (y +800) ln (y) 100 100 ou encore i.e. que : (y 9200) 5 100 (y +800) 95 100 y y 20, 478 Tant que le prix de l aurance et 800, la mie en place d un marché de l aurance era bénéfique à la foi aux agent trè pauvre, dont la richee, et inférieure à 5400, qui pourront e décharger de leur rique aini qu aux agent trè riche, dont le revenu ont upérieur à 20478. De la correpondance de Pacal et de Fermat à Daniel Bernoulli, à peine 80 an e ont écoulé. La théorie de probabilité aini que le tatitique ne vont ceer de progreer. Cependant, la théorie de la déciion va tomber dan une certaine torpeur juqu au renouveau de la littérature de la théorie de jeux, au début du XXe iècle, avec Emile Borel, John von Neuman notamment. Comme pour de nombreux autre pan de la cience économique, le renouveau de la théorie de la déciion era accéléré par la parution en 1944 de Theory of Game and Economic Behaviour de J. von Neumann et O. Morgentern où une axiomatique complète (et ordinale) de la théorie bernouillienne fut pour la première foi donnée. 9
3 Préférence et utilité 3.1 L approche parétienne Avant d aborder le choix dan l incertain, rappelon quelque élément de la théorie traditionnelle de choix. Si l on uppoe qu il exite L bien, l epace de bien et < L.Le conommateur conidéré peut choiir e conommation dan on enemble de conommation, notéx, un ou-enemble de < L + réumant à la foi le contrainte propre aux bien (indiviibilité, conommation excluive le une de autre, etc...) et celle du conommateur. La révolution parétienne de année 30, initiée notamment par le travaux de Roy Allen (1906) et de John Hick (1904-1989) a définitivement ai la viion ordinalite de l utilité. Comme l avaient indépendamment démontré, au tournant du iècle, Vilfredo Pareto (1848-1923) et Henri Poincaré (1854-1912), il et en effet poible de dériver de eule préférence de indice d utilité capable de déterminer le core de chaque panier. Dan cette approche, le préférence définie ur le conommation de X ont introduite et repréentée par la relation º 9. Cette relation et généralement uppoée être : réflexive : x X, x º x tranitive 10 : x, y, z X : x º y, y º z x º z 9 Notation : º et une préférence faible,  une préférence tricte, une indifférence : x y ignifie que l agent et indifférent entre le panier x et le panier y, x  y que l agent préfère trictement x à y, x º y que l agent préfère x à y, i.e qu il le préfère trictement ou et indifférent entre eux. On a donc : x º y x  y ou x y x y x º y et y º x x  y x º y et y ² x ou x  y x º y et x y 10 La tranitivité et une hypothèe intuitive aurant une certaine cohérence de choix. Cependant, on doit ouligner deux point. D une part, cette propriété n et nullement néceaire pour développer une théorie de la demande et plu généralement une théorie de l équilibre de marché. Au prix d un renforcement d autre propriété, notamment la convexité de préférence, le principaux réultat de la théorie de l équilibre général demeurent en effet. D autre part, la tranitivité n et pa une propriété (ou une manifetation) de la rationalité de agent économique. En effet, la tranitivité et une propriété de eule préférence et et an rapport avec le problème de l adéquation de moyen aux fin. 10
Elle contitue donc un pré-ordre qui au urplu et complet : 11 x, y X : x º youyº x Une de étape eentielle de la microéconomie, pour pouvoir appliquer le outil le plu courant de mathématique et de démontrer que le préférence peuvent être repréentée par de fonction d utilité, i.e de fonction vérifiant la définition uivante : Définition 1 Une fonction U : X < et une fonction d utilité i pour tout couple (x, y) X : x º y U(x) U(y) x  y U(x) >U(y) Une fonction d utilité et une fonction préervant l ordre de préférence ur le panier de bien. Elle contitue donc une meure ordinale de préférence, et eulement cela. N étant qu un indice qui range le panier, elle n et donc pa l hedonimeter dont rêvait Edgeworth : la eule information économique que révèle par exemple U(x) =2U(y) (> 0) et une préférence tricte pour le panier x. En aucun ca, une telle relation n implique que la tatifaction procurée par le panier x et deux foi plu intene que celle procurée par le panier y : l indice d utilité et une meure ordinale et non cardinale. Un de premier réultat d exitence fut obtenu par le tatiticien - économite candinave Herman Wold (1908-1992) en 1943 dan une érie d article important [?]. Par la uite, de réultat upplémentaire ur l exitence de telle fonction d utilité ont été obtenu, et notamment par John von Neumann (1903-1957) en 1944 [?], par Gérard Debreu (1921-) [?]. 12 Sou une hypothèe de continuité de préférence, Debreu a notamment montré que tout pré-ordre complet pouvait être repréenté par une fonction d utilité continue. San qu il oit quetion d aborder cette démontration, il et an doute utile d en retituer l intuition. Pour l illutrer, nou nou référeron à la contruction (plu ancienne) utiliée par Wold pour démontrer le théorème d exitence uivant : Théorème 1 (Wold (1943)) Si le préférence ont définie ur < L +, complète, réflexive, tranitive, continue et fortement monotonique alor il exite une fonction d utilité repréentant ce préférence. L intuition de la démontration et la contruction de la fonction d utilité ont illutrée ur le figure 5, 6, 7. La méthode conite à électionner un panier, par exemple le panier 1, le vecteur dont toute le compoante ont égale à 1 (figure 5). La courbe d indifférence de 11 Autrement dit, ur tout couple de panier qu on lui demande de comparer, l agent a une opinion. 12 Uneynthèedel enembledeceréultatetpréentée par Peter Fihburn dan on ouvrage [?]. 11
bien 2 1 1 courbe d'indif- -férence "1" 1 bien1 Fig. 5 Le panier étalon de la fonction d utilité bien 2 U 2x 1 courbe d'indif- -férence "2" 1 1 courbe d'indif- -férence "1" O 1 bien 1 Fig. 6 Utiliation du panier étalon pour renommer le courbe d indifférence 12
bien 2 U x x' u(x). 1 courbe d'indif- -férence "u(x)" 1 O 1 bien 1 Fig. 7 Détermination de l utilité d un panier arbitraire x. ce panier et renommée courbe 1. Grâce au panier étalon 1, on peut également renommer d autre courbe d indifférence : aini, comme ur la figure 6, la courbe d indifférence définie par le panier double du panier 1 et la courbe d indifférence 2. Cenouvelindiçage définit en fait l utilité de panier. Cette procédure e généralie à l enemble de panier. Aini, électionnon un panier arbitraire x repréenté ur la figure 7. x définit une unique courbe d indifférence qui, en raion de l hypothèe de monotonicité de préférence, coupe néceairement la droite OU. Appelonx 0 le panier défini par l interection de la courbe d indifférence définie par le panier x et la droite OU. Lepanierx et x 0 ont équivalent pour l agent conidéré : x 0 x. Levecteur Ox 0 et évidemment colinéaire au panier étalon 1 et donc il exite un unique nombre U(x) vérifiant : Oy = U(x).1. Cenombrevérifie la relation d indifférence uivante : x U(x).1 puique x 0 x. Comme pour tout panier x appartenant à l enemble de conommation X il exite un tel U (x), on vient de contruire par cette procédure une fonction : U : X < Le propriété de continuité de préférence aurent en outre que cette fonction et continue. La fonction U a comme propriété eentielle de repecter le préférence. En effet, pour tout couple de panier x et y appartenant à l enemble de conommation et vérifiant par exemple : y º x 13
bien 2 courbe d'indif- -férence "u(y)" U x x' y' u(y). 1 y 1 u(x). 1 courbe d'indif- -férence "u(x)" O 1 bien 1 Fig. 8 La fonction u() repecte le préférence alor néceairement, par contruction, le réel U (x) et U (y) vérifient : U (x).1 x, U (y).1 y La tranitivité de préférence aure que : U (y).1 y º x U (x).1 U (y).1 º U (x).1 Comme le vecteur U (y).1 et U (x).1 ont colinéaire, néceairement on doit avoir : U (y) U (x) En effet, il onavaitu (y) < U(x), la monotonocité de préférence impoerait que : U (y).1 U (x).1 ce qui contredirait U (y).1 º U (x).1. LafonctionU repecte bien le pré-ordre de préférence. Elle et donc bien une fonction d utilité. Cette contruction pragmatique (et dénuée de toute métaphyique) et également celle utiliée pour obtenir de fonction d utilité dan l incertain. 3.2 Loterie et choix dan l incertain Le déciion dan l incertain ont de de déciion d invetiement, d épargne, de portefeuille, etc... Le revenu de futur invetiement, le dividende que rapportent le actif financier ont ouvent aléatoire. La figure 9 repréente aini la ditribution effective du rendement menuel de action du S&P 500 entre 1926-1995. Comme le uggère ce graphique, ce rendement peuvent (embler) repecter certaine tructure, voire être de 14
Fig. 9 La ditribution du rendement menuel de action aux Etat-Uni, 1926-1995 ditribution normale. Aui, i l enemble de objet que l on doit choiir et fort diver, formellement a tructure n et pa an évoquer celle de loterie : de gain poible caractérié par de probabilité d occurence. Au urplu, avec le loterie comme avec le actif financier : l argent que le joueur ont mi dan le jeu ne leur appartient plu [...] mai [...] il reçoivent en contrepartie le droit de recevoir ce que la chance leur accordera, elon le règle qu il ont accepté au début du jeu. (Blaie Pacal, cité par [?] p.67) Aui, la théorie de la choix dan l incertain, développée par von Neumann et e continuateur immédiat (Marchak [?], Samuelon [?], Hertein & Milnor [?]), uppoe que le objet ur lequel ont définie le préférence ont de loterie. Ceci et cependant retrictif. Une loterie et caractériée par une ditribution de probabilité objective de prix. Aimiler le objet à de loterie revient donc à uppoer qu aux événement poible correpondent de probabilité objective ur lequelle accordent le agent. Le probabilité précèdent donc ici le préférence. 13 Avant d aller plu avant, introduion quelque notation et définition. Comme l illutre la figure 10, chaque loterie a x =[ x, p x ] et compoée de deux érie d élément : le différent prix poible (x 1, x 2 )etleurprobabilité(p x (x 1 ), p x (x 2 )). Lorque la loterie et une loterie imple, le prix ont de bien, de panier de bien, du bien numéraire. Pour utilier le notation déjà vue dan le certain, on notera alor X 13 Une approche alternative fut propoée trè tôt par Léonard Savage. Dan celle-ci, le donnée objective e réduient aux événement. A priori, il n exite pa néceairement de probabilité objective. Le agent peuvent donc ne pa avoir le même croyance ur le probabilité de réaliation de différent événement. Ce probabilité ont, comme le préférence, de élément ubjectif définiant chaque peronnalité. Cependant, ce relâchement conidérable du modèle de déciion ne modifie pa conidérablement le répréentation obtenue. Aui, en reton-nou eentiellement aux probabilité objective. 15
probabilité px(x1) x1 prix ax px(x2) x2 loterie Fig. 10 Repréentation d une loterie l enemble de prix poible, avec X < N. L enemble de probabilité définie ur cet enemble X era noté (X). L enemble de loterie imple et donc X (X). A côté de ce loterie imple, on peut conidérer de loterie compoée. Uneloterie compoée et une loterie dont certain prix ont eux-même de loterie, i.e. certain gain poible de la loterie compoée et de gagner le droit (et l obligation) de participer à une autre loterie. Aini ur la figure 11, la première loterie compoée permet de recevoir avec une probabilité 1 q un panier y. Par contre, avec une probabilité q, leprixreçuetla loterie [(x, y), (p, 1 p)]. Ex ante, participer à la loterie compoée donne droit à recevoir au total le prix x avec une probabilité totale qp, leprixy avec une probabilité q(1 p)+ (1 q) =1 qp. Commeq [0, 1], le droit de recevoir y peut être aimilé à une loterie b =[(y, 0), (1, 0)] donnant avec certitude y, la loterie compoée n et qu une combinaion convexe de loterie que l on notera q a (1 q) b. Comme la ditribution de prix x et y et imilaire à celle de la loterie [(x, y), (qp, 1 qp)], une telle combinaion convexe et elle-même une loterie. Cette propriété de loterie compoée aure que l enemble de loterie, que l on notera $, et un enemble convexe : a x,a y $, α [0, 1] : α a x (1 α) a y (3) Remarque 1 Comme l illutre la figure 11, il et toujour poible de repréenter une loterie (comme la loterie centrale du graphique) par pluieur loterie compoée. Le préférence (ur le loterie) étant toujour repréentée par le igle º, Â,, ilet néceaire d introduire quelque hypothèe préliminaire, dont certaine ont purement formellecommeledeuxuivante: Hypothèe 1 (L 1) a x,a y $, 1 a x 0 a y a x 16
p x 1ère loterie compoée q loterie intermédiaire 1-p y 1-q y qp x loterie imple 1-qp y q x 2ème loterie compoée p loterie intermédiaire 1-q 1-p y Fig. 11 Repréentation d une loterie imple au centre ou forme de pluieur loterie compoée. 17
Hypothèe 2 (L 2) a x,a y $, α [0, 1] : α a x (1 α) a y (1 α) a y α a x Une troiième, appelée réduction de loterie compoée, revient à uppoer que le loterie compoée et le loterie imple qu elle définient ont équivalente pour le agent : Hypothèe 3 (L 3) a x =[ x, p x ] $, a y =[ y, p y ] $, α [0, 1] : α a x (1 α) a y [( x, y ), (αp x, (1 α) p y )] Si l on uppoe que le préférence contituent un pré-ordre complet º ur le loterie, que le préférence ont continue, il et poible d appliquer immédiatement le théorème généraux d exitence de fonction d utilité (comme celui de Debreu dan [?]) pour démontrer l exitence d une fonction continue U : repréentant le pré-ordre º : U : $ < a x = (x, p x ) 7 U = U (a x )=U (x; p x ) a x,a y $, a x  a y U (a x ) >U(a y ) Ce type de repréentation trè générale uffit pour l analye de nombreux problème. En particulier, l extenion de la théorie de l équilibre général à l incertain ne néceite aucune retriction upplémentaire. Cependant, dan le domaine de l aurance, de la finance, certaine retriction avèrent utile et fructueue. Comme l avait déjà noté Bernoulli, la repréentation de préférence ou forme d utilité epérée permet d obtenir de nombreux réultat intéreant. Le fonction d utilité U écrivent alor ou la forme additive uivante : i a x = h(x i ) i=1,..., (p x (x i )) i=1,...,u(a x )= X p x (x i ).u(x i ) (4) i où u et la fonction d utilité élémentaire (appelée aui fonction vnm en l honneur de von Neumann et Morgentern). Pour obtenir ceci, de axiome upplémentaire ont introduit dont l axiome d indépendance uivant : Axiome 1 Soient deux loterie x, y $ vérifiant : x  y alor pour toute loterie z $, pourtoutréelα ]0, 1[ on a : α x (1 α) z  α y (1 α) z 18
Mai, la contruction axiomatique menant à l utilité epérée étant relativement aride, il et an doute age de uroir provioirement à on expoé pour analyer maintenant e nombreux apport. 4 Averion à l égard du rique : meure et conéquence Dan l incertain, le agent économique ont ouvent amené à prendre de déciion d invetiement, de portefeuille plu ou moin riqué. Ce déciion ont évidemment déterminée pour partie par le donnée du marché (prix, taux d intérêt), pour partie par certaine variable objetive caractériant ce agent (richee, âge notamment). Mai, intuitivement, on comprend bien que ce choix dépendent aui de manière fondamentale de paramètre ubjectif, de préférence et de goût de décideur, de leur attitude à l égard du rique : toute choe égale par ailleur, notamment quant à leur richee, il embleévidentqueleriquedeleurpoitionfinancière era d autant plu faible qu il eront prudent (=?), qu il auront de l averion à l égard du rique (=?). Mai peut-on définir rigoureuement, dan le cadre d un modèle théorique, ce notion? L objet de cette ection et d expoer le notion qui ont été développée notamment dan le cadre de l utilité epérée pour repréenter ce attitude et de montrer leur application à la demande d actif financier et à la demande d aurance. 4.1 Variable aléatoire, état du monde Le économie repréentée tout au long de cette ection ont caractériée par une ou pluieur ource d incertitude, i.e. il exite un enemble fini d événement dont le probabilité ont donnée. Formellement, ce événement ont de variable aléatoire f e réumée n par leur valeur o poible {f 1,f 2,..., f m } et par le probabilité de ce différente valeur : π f 1,..., π f m. Par exemple, comme ur la partie upérieure de la figure 12, on peut avoir de aléa portant ur la météo ; un enemble de 4 événement : {oleil, pluie, avec vent, an vent} et aini pécifié ; le probabilité de oleil et pluie ont repectivement 1/3 et 2/3 ; la probabilité (totale) del événement avec vent et 1 1 + 2 3 2 3 1 =1/2 comme celle de l événement an vent : 1 1 + 2 1 =1/2. Ce événement 2 3 2 3 2 ont comme propriété de ne pa être néceairement excluif le un de autre : comme le montre l arbre de événement, on peut par exemple avoir imultanément le événement oleil et avec vent, ou encore le événement pluie et an vent. Comme dan cet exemple, il n exite cependant que deux ource d incertitude (illutrée par le enchaînement graphique de événement), formellent, ce cadre peut donc être repréenté par la 19
Repréentation par le événement 1/2 avec vent (1) 1/3 oleil 1/2 an vent (2) 2/3 pluie 1/2 avec vent (3) 1/2 an vent (4) Repréentation par le état de la nature 1/6 1/6 1 2 oleil, avec vent oleil, an vent 1/3 1/3 3 4 pluie, avec vent pluie, an vent Fig. 12 Un exemple de repréentation de l incertain par un enemble d état de la nature 20
donnée de deux variable aléatoire : la variable aléatoire eg dont le valeur ont {g 1,g 2 } avec : g 1 := oleil g 2 := pluie dont le probabilité ont : π g 1 = 1 3,πg 2 = 2 3 la variable aléatoire e h dont le valeur ont {h 1,h 2 } avec : h 1 := avec vent h 2 := an vent dont le probabilité ont : π h 1 = 1 2,πh 2 = 1 2 Lorque l on multiplie cependant le nombre de ource, i.e. le nombre d embranchement, cette repréentation en terme d événement peut devenir formellement fort lourde. Aui, depui la révolution initiée en théorie de probabilité par Andrei Kolmogorov (1903-1987), l Euclide de la théorie de probabilité, on lui préfère une repréentation plu abtraite mai plu compacte en terme d état de la nature (ou état du monde). L incertitude et alor repréentée par un enemble S d étatdelanature: S = { 1, 2,..., n } dont le probabilité ont notée : π =(π( 1 ),π( 2 ),..., π( n )) ou encore : π =(π 1,π 2,..., π n ) L état électionné par Dame Nature détermine alor la valeur de autre variable f. Comme l illutre la figure 12, une méthode trè imple pour contruire cet enemble d état de la nature conite implement à renommer le extrémité de l arbre ( 1, 2, 3, 4 à droite du 1er arbre), à calculer la probabilité de ce extrémité, et à ubtituer à cet arbre un econd définie uniquement ur le extrémité du précédent { 1, 2, 3, 4 } dont le probabilité ont donc : π ( 1 )= 1 6,π( 2)= 1 6,π( 3)= 1 3,π( 4)= 1 3 21
Le état de la nature déterminent alor le autre variable. Aini, le variable aléatoire deviennent de fonction définie ur le état : f : S {oleil, pluie} f ( 1 ) = f ( 2 )=oleil f ( 3 ) = f ( 4 )=pluie g : S {avec vent, an vent} g ( 1 ) = g ( 3 )=avec vent g ( 2 ) = g ( 4 )=an vent La ditribution de chaque variable aléatoire et alor définie par celle de état du monde ; aini par exemple : X π f (oleil) = π () {:f()=oleil} Cette méthode de contruction permet donc d engendrer le état de la nature connaiant le événément et leur enchaînement lorque le événement ont en nombre fini (ou dénombrable). Mai cette contruction e généralie à de continuum également. Pour implifier, on uppoera que dan chaque état, le variable ur lequelle ont définie partiellement le préférence peuvent être réumée par un calaire, le revenu par exemple, que l on notera w (ou encore w ()). Le préférence ont repréentée par une fonction d utilité U : U : < n + (S) < (w 1,...w n ; π 1,..., π n ) 7 U (w 1,...w n ; π 1,..., π n ) Parfoi, on renforcera une repréentation ou forme d utilité epérée : nx U (w 1,...w n ; π 1,..., π n )= π i.u (w i ) Dan le deux ca, on uppoera aui que l utilité et trictement croiante de revenu : w < n +, i=1 w i U (w 1,...w n ; π 1,..., π n ) > 0, i=1,..., n w < +, 4.2 L averionàl égarddurique w u (w) > 0 Suppoon que #S =2, que l individu conidéré ait de préférence équivalente à la fonction : U = π 1.w 1 + π 2.w 2 22
revenu dan l'état 2 zone de poition préférée à W biectrice W2 W EW Ew courbe d'indifférence W1 EW prob(w1) / prob(w2) revenu dan l'état 1 Fig. 13 Le poition préférée par un agent neutre au rique poédant initialement W et poède intialement le profil de revenu w =(w 1,w 2 ) repréenté ur la figure 13. Un lieu particulièrement intéreant et la biectrice : celle-ci et l enemble de revenu z =(z 1,z 2 ) où z 2 = z 1 = Ez - Ez l epérance de z, i.e. l enemble de profil de revenu an rique. Une propriété remarquable de préférence et évidemment que l on a néceairement (comme π 1 + π 2 =1): π 1 (Ew 1 )+π 2 (Ew 2 )=Ew = π 1.w 1 + π 2.w 2 = U Un tel individu et donc indifférent à détenir w ou à détenir la moyenne de w, i.e. (Ew, Ew). Plulargement,ileraégalementindifférent entre (z 1,z 2 ) et w dèlorque: π 1.z 1 + π 2.z 2 = Ew Partant de w, le variation de revenu (dz 1,dz 2 ) gardant contante l utilité ont : π 1.dz 1 + π 2.dz 2 =0 dz 2 = π 1 dz 1 π 2 Le courbe d indifférence d un tel individu ont de droite parallèle le une aux autre de pente π 1 /π 2. L enemble de poition acceptable par l individu, i.e. lui rapportant une utilité upérieure à w, et le demi-plan upérieur à la droite (w, E w ), oùe w et le vecteur dont toute le compoante ont égale à l epérance Ew. Lorque l individu a de préférence quelconque U, il n et plu néceairement indifférent entre w et Ew.Aini,aveclecourbed indifférence de la figure 14, la poition ûre Ew et trictement préférée à la poition initiale. Si le courbe d indifférence ont trictement convexe, il et aié de voir qu en tout point w n appartenant pa à la biectrice, une telle préférence pour la ûreté émergera également : w 6= Ew, ³ Ew  wouencoreu Ew; π1,π 2 >U(w; π 1,π 2 ) 23
revenu dan l'état 2 CI(W) biectrice W2 W EW CI(EW) prob(w1)/ prob(w2) W1 EW revenu dan l'état 1 Fig. 14 La préférence pour la moyenne lorque le préférence ont convexe. Cette préférence univerelle pour la ûreté révèle donc une averion à l égard du rique, une riquophobie de l individu. Le revenu certain EC pour lequel il et indifférent à w : EC / EC w que l on appelle équivalent certain, et alor inférieur à l epérance comme l illutre la figure 16. A contrario, lorque le préférence ont trictement concave (figure 15), l individu préférera une poition riquée comme w àlapoitioncertainedéfinie paramoyenne:le comportement de l individu révèle un tempérament joueur, une riquophilie. La conidération de la tructure convexe (ou non convexe) de préférence permet donc de repréenter la notion d averion à l égard du rique. Mai comparant deux individu ayant le même revenu w, peut-on ordonner leur averion? Pour répondre à cette quetion, conidéron un profil de revenu ûr w comme celui illutré ur la figure 17. Le point A, B, C, D, E ont de poition poible ; A, B ont dominé par la poition w : w  A, w  B et le poition C, D et E ont acceptable : C  w, D  w, E  w La droite paant par w =(w, w) et de pente π 1 /π 2 et l enemble de poition dont l epérance et w. Elle repréente aui la courbe d indifférence d un agent neutre au rique. Noton A º (w) ou A U (w) l enemble de poition acceptable pour un agent poédant 24
revenu dan l'état 2 W2 W CI(W) biectrice EW CI(EW) W1 EW prob(w1) / prob(w2) revenu dan l'état 1 Fig. 15 La préférence pour le rique lorque le préférence ont trictement concave. revenu dan l'état 2 CI(W) biectrice W EW EC prob(w1)/ prob(w2) EW revenu dan l'état 1 Fig. 16 Détermination de l équivalent certain pour de préférence trictement convexe. 25
revenu upplémentaire dan l'état 2 CI(W) biectrice B C A prob(w1) / prob(w2) D W E revenu upplémentaire dan l'état 1 Fig. 17 Enemble de poition acceptable initialement w et dont le préférence ont réumée par le pré-ordre º ou par l indice d utilité U : A º (w) = z < 2 + : z º w ª A U (w) = z < 2 + : U(z; π) U(w; π) ª Lorque l on part initialement d une poition certaine, la tricte convexité de préférence implique que l enemble A º (w) de poition acceptable et inclu dan le demi-plan d un individu neutre au rique comme l illutre la figure 18. Ceci uggère d ordonner, de meurer le averion au rique par le relation d incluion de enemble A º (w). Conidéron pour cela la figure 19. Deux agent repéré par leur fonction d utilité repective U et V, dipoant de la même richee initiale, y ont comparé. La comparaion de poition acceptable pour le deux agent et la bae de la meure ordinale de l averion pour le rique propoée par Menachem Yaari [?] : Définition 2 Un agent dont la fonction et U a une plu grande averion à l égard du rique qu un agent dont la fonction et V i pour tout niveau de revenu w, l enemble de poition acceptable pour le premier et un ou-enemble de l enemble de poition acceptable pour le econd, i.e. : AR U >AR V A U (w) =A V (w) w = Ew < 2 + Commelemontrelafigure 20, dè lor que le fonction d utilité (ou le pré-ordre) ont ordonnée, le équivalent certain le ont aui : AR U (w) >AR V CI U >CI V 26
revenu upplémentaire dan l'état 2 prob(w1) / prob(w2) W biectrice poition acceptable pour un individu neutre au rique biectrice revenu upplémentaire dan l'état 1 revenu upplémentaire dan l'état 1 CI(W) biectrice poition acceptable 1 / 2 W revenu upplémentaire dan l'état 1 Fig. 18 Comparaion de poition acceptable pour un individu neutre au rique (à gauche) et pour un individu riquophobe (à droite) 27
CIV(W) biectrice prob(w1) / prob(w2) W revenu upplémentaire dan l'état 1 CIU(W) Fig. 19 Comparaion deux individu U et V ayant initialement la même richee certaine w w w Menachem Yaari (1935-) w w w Fig. 20 Le meure de l averion au rique de Yaari (1969) 28
revenu dan l'état 2 CI(W) biectrice W2 W EW EC prob(w1)/ prob(w2) W1 EC EW revenu dan l'état 1 Fig. 21 Détermination de la prime de rique L individu qui et le plu riquophobe et donc prêt à conentir le acrifice le plu important pour obtenir une poition certaine. La meure de ce acrifice (ρ U ou ρ V ), la prime de rique, et donnée par la différence entre l epérance de la poition riquée initiale w et l équivalent certain : ρ U = Ew CI U,ρ V = Ew CI V Par conéquent, i un individu U a une averion au rique plu élevée qu un agent V,a primederiqueerapluimportante: AR U >AR V ρ U (w) >ρ V (w) w 4.3 Utilité epérée et averion au rique Lorque le fonction d utilité vérifient la propriété d epérance d utilité : U = π 1.u (w 1 )+π 2.u (w 2 ) la caractériation de l averion au rique peut e faire plu directement à l aide de la fonction d utilité u elon le voie tracée par Daniel Bernoulli en 1738. Géométriquement, lorque la fonction d utilité élémentaire et donnée, l utilité epérée et déterminée par le barycentre de utilité élémentaire. Aini, ur la figure 22, deux niveaux de richee ont poible : w 1 et w 2, et donc deux niveaux d utilité élémentaire : u (w 1 ) et u (w 2 ). De point A et B aini définie, on détermine le barycentre B : B = π 1.A + π 2.C 29
u(w2) hyp: prob (W1)=1/3 C u Eu B u(w1) A O W1 E(W) W2 W AB/BC = prob(w2)/prob(w1) Fig. 22 Détermination graphique de l epérance d utilité et du revenu epéré. Par contruction, l abcie de ce point et la richee moyenne (π 1.w 1 + π 2.w 2 ), on ordonnée et on utilité moyenne, l utilité epérée (π 1.u (w 1 )+π 2.u (w 2 )). Lorque la fonction d utilité élémentaire et trictement concave, le courbe d indifférence de l agent ont trictement convexe, et donc il préfère la ûreté. Aini, figure 23, i l on ubtitue au profil (w 1,w 2 ) a moyenne Ew, le gain d utilité de l agent et du : du = u (Ew) π 1.u (w 1 )+π 2.u (w 2 ) le acrifice qu il et prêt à conentir pour lui ubtituer un niveau certain dw : u (Ew dw )=π 1.u (w 1 )+π 2.u (w 2 ) Ce acrifice maximum contitue la primederique. Remarque 2 Si la fonction d utilité était trictement convexe (figure 24), le gain d utilité deviendrait une perte et l agent erait prêt à payer pour obtenir une poition riquée de même moyenne! L hypothèe d epérance d utilité, par rapport à l approche trè générale de Yaari, permet cependant de donner une autre caractériation de l averion à l égard du rique. Cette caractériation repoe ur la comparaion de fonction d utilité élémentaire et de prime de rique. Aini, ur la figure 25, partant initialement d un niveau de richee certain w, le richee ont modifiée, rendue variable tout en conervant leur niveaux moyen : w 1 6= w 2 mai π 1.w 1 + π 2.w 2 = w 30
u(w2) C u Eu dw du B u(w1) A O W1 E(W) W2 W AB/BC = prob(w2)/prob(w1) Fig. 23 Le gain d utilité induit par la uppreion du rique et le acrifice maximal conenti. u(w2) u C Eu B du dw u(w1) A O W1 E(W) W2 W AB/BC = prob(w2)/prob(w1) Fig. 24 Une fonction d utilité élémentaire d un agent riquophile 31
v(w2) u(ew)=v(ew) I C C' v Ev v B v(w1) A u B' A' O W1 W =E(W) W2 AB/BC = prob(w2)/prob(w1) Fig. 25 Courbure de la fonction d utilité élémentaire et prime de rique Pour une première fonction d utilité élémentaire v (entraitpleinurlafigure) ont repréentée le différent niveaux d utilité (v (w 1 ) et v (w 2 )), l utilité epérée et la prime de rique ρ v. Suppoon qu autour du point initial I on déforme la fonction v en augmentant a courbure. On obtient alor une nouvelle fonction, notée u ur le graphique. Pour toute courbe repréentant une fonction f, une meure de a courbure en un point et donnée par le taux de croiance intantannée de a pente, i.e.. f 00 f Pourlafonction 0 u aini contruite on a : u 00 u 0 > v 00 v 0 ou encore : u00 > v00 u 0 v 0 puique par leur tricte concavité : u 00 < 0, v 00 < 0. Comme on peut le vérifier graphiquement, cette propriété implique que la prime de rique ρ u de l agent u et upérieure à la prime de rique ρ v. Localement, ce réultat peut être retrouvé par un développement limité d ordre 2. En effet, i l on e itue en une richee w (uffiamment) peu différente de la richee moyenne E [ ew], l epérance d utilité et approximativement : E [v (w)] v (E [ ew]) + 1 2 v00 (E [ ew]).σ 2 w (5) où σ 2 w = E (w E [ ew]) 2 et la variance de la richee. 32
De la définitiondelaprimederique: on en déduit le développement limité : E [v (w)] = v (E [ ew] ρ v ) v (E [ ew] ρ v ) v (E [ ew]) ρ v.v 0 (E [ ew]) (6) En égaliant le terme de droite de (5) et de (6), ona: 1 2 v00 (E [ ew]).σ 2 w = ρ v.v 0 (E [ ew]) ρ v = 1 v 00 (E ( ew)) 2 v 0 (E ( ew)) σ2 w Comme on a l expreion ymétrique pour toute autre fonction u, on retrouve analytiquement le lien entre courbure et prime de rique : u00 u 0 > v00 v 0 ρ u >ρ v Lorque le préférence vérifient l utilité epérée, on peut donc également propoer comme meure d averion à l égard du rique le terme u00 pour toute fonction d utilité u 0 élémentaire. Cette meure contitue dan la littérature la meure d Arrow-Pratt. 4.4 Equivalence de meure La meure d Arrow-Pratt n et pa fondamentalement différente de l approche de Yaari. En effet, on peut montrer que u00 non eulement meure la courbure de fonction u 0 mai également celle de la courbe d indifférence au point w. Pour voir ceci, écrivon l équation implicite définiant cette courbe d indifférence. Noton : x 1 et x 2 le revenu upplémentaire dan l état 1 et l état 2 ; x 2 (x 1 ) la fonction réumant la courbe d indifférence paant par le point w. Cette fonction et alor implicitement donnée par l équation uivant : π 1 u(w + x 1 )+π 2 u(w + x 2 (x 1 )) = u(w) (7) Si on différencie (7) par rapport à x 1,onobtient: π 1.u 0 (w + x 1 ).dx 1 + π 2.u 0 (w + x 2 (x 1 )) x 0 2(x 1 ).dx 1 =0 d où : π 1.u 0 (w + x 1 )+π 2.u 0 (w + x 2 (x 1 )) x 0 2(x 1 )=0 (8) et donc la pente de la courbe d indifférence et en x 1 : x 0 2(x 1 )= π 1 u 0 (w + x 1 ). π 2 u 0 (w + x 2 (x 1 )) 33
CIv(W) biectrice a w b CIu(W) Fig. 26 Courbure et taille de l enemble de poition acceptable Par conéquent, au point x 1 =0,cettepenteet: x 0 2(0) = π 1 π 2 (9) Ce réultat établit une propriété importante de l utilité epérée : au voiinage de la certitude,unagentetapproximativementneutreauriqueetdoncetauxdeubtitution ont alor approximativement déterminé par le probabilité. Une différentiation upplémentaire de la relation (8) permet alor de caractérier la courbure à l origine. Comme : π 1.u 00 (w + x 1 ).dx 1 + π 2.[u 00 (w + x 2 (x 1 )) x 0 2(x 1 ) x 0 2(x 1 )+u 00 (w + x 2 (x 1 )) x 00 2(x 1 )]dx 1 =0 on a aprè implification : ³ 2 π 1.u 00 (w + x 1 )+π 2.u 00 (w + x 2 (x 1 )) x 0 2(x 1 ) + π2 u 0 (w + x 2 (x 1 )) x 00 2(x 1 )=0 (10) Evaluée au point x 1 =0, prenant en compte le réultat (9) : x 0 2 (0) = π 1 /π 2, cette équation e réécrit : π 1.u 00 (w)+π 2.u 00 (w) π 2 1 + π 2 u 0 (w) x 00 π 2(x 1 )=0 2 ou encore : u 00 (w). π 1 + π 2 u 0 (w) x 00 π 2(x 1 )=0 2 Lacourburedelacourbed indifférence à l origine, x 00 x 00 2(x 1 )= π µ 1 π 2 2 34 u00 (w) u 0 (w) 2(0), et donc : (11)
Le terme π 1 /π 2 étant une contante, la meure d Arrow-Pratt d averion au rique u00 u 0 correpond donc bien également (à un multiple prè) à la courbure de la courbe d indifférence en 0. Comme l illutre le graphique 26, la meure d Arrow-Pratt détermine le incluion repective de poition acceptable : u00 u 0 > v00 v 0 AR u >AR v En effet, i l on note x u 2 et x v 2 ont le fonction décrivant le courbe d indifférence, comme àl originelepenteontlemême: dx u 2 dx 1 (0) = dxv 2 dx 1 (0) = π 1 π 2 la décroiance plu rapide de u, i.e. la relation u00 u 0 > v00 v 0 implique qu à droite du point : 0 > dxu 2 dx 1 (0) > dxv 2 dx 1 (0) > π 1 π 2 et donc : 0 >x u 2 (x 1 ) >x v 2 (x 1 ) x 1 > 0 comme l illutre le point b ur la figure 26. A l invere à gauche de l origine, partant de dx u 2 dx 1 (0) = dxv 2 dx 1 (0) = π 1 π 2 la décroiance plu rapide de u, i.e. la relation u00 u 0 > v00 v 0,impliquequ àdroitedupoint: π 1 π 2 > dxv dx 1 (0) > dxu 2 dx 1 (0) et donc : x u 2 (x 1 ) >x v 2 (x 1 ) x 1 < 0 comme l illutre le point a ur la figure 26. Néceairement donc, on voit bien que le deux approche de l averion à l égard du rique e confondent dè lor que l hypothèe d utilité epérée et admie : AR u >AR v u00 > v00 u 0 v 0 En fait, on peut même élargir cette équivalence à la troiième meure de l averion, laprimederique. Cecicontituelethéorème de Pratt [?] dont la démontration et en annexe : Théorème 2 Soient u et v deux fonction d utilité élémentaire définie ur la richee ; le troi propriété uivante ont équivalente : 35
(i) u00 > v00 pour tout w ; u 0 v 0 (ii) il exite une fonction croiance trictement concave G telle que : u(w) =G(v(w)) (iii) i la richee écrit w + e, oùw et une richee certaine, e et un bruit blanc - Ee =0-alor: ρ u (w) >ρ v (w) 4.5 Averion relative à l égard du rique Le différente notion d averion à l égard du rique ont été définie dan l epace de revenu upplémentaire partant d une richee initiale certaine. Intuitivement, on cherche donc à déterminer pour chaque agent le profil de revenu upplémentaire pour lequel il accepterait de upporter le rique upplémentaire propoé. Comme ce revenu peuvent être le produit d invetiement, d actif financier, on aurait également pu intéreer aux rendement néceaire pour inciter l agent à upporter de rique. Ceci revient en fait tout implement à redéfinir no notion dan l epace de rendement (ou de rendement net) de ce poition riquée. Formellement, en uppoant toujour que #S =2, il onnoteu la fonction d utilité, w la richee initiale, R 1 et R 2 le rendement net. La richee finale écrit donc R.w avec =1, 2. Si l on cherche donc à déterminer le rendement acceptable pour l agent, on définit alor l enemble R U (w) : R U (w) = (R 1,R 2 ) < 2 + : U (R 1.w, R 2.w; π 1,π 2 ) U (w, w; π 1,π 2 ) ª Cet enemble de rendement acceptable et évidemment en relation bi-univoque avec l enemble de poition acceptable : toute poition acceptable (z 1,z 2 ) de A U (w) définit évidemment un vecteur de rendement aceptable : (z 1,z 2 ) A U (w) ³ z1 w, z 2 R U (w) w Graphiquement, l enemble R U (w) etdoncobtenuedea U (w) par une homothétie de rapport 1/w et de centre (w, w). Aui, lorque le préférence ont trictement convexe, elle et également un enemble convexe, compri dan un demi-plan - figure 27. Laprimederique,ρ R U,etredéfiniecommelapertemaximalederendementque l individu et prêt à conentir pour obtenir un rendement certain : U ³h h i i h h i i E er ρ R U.w, E er ρ R U.w; π 1,π 2 = U (R 1.w, R 2.w; π 1,π 2 ) 36