Rappels de probabilités

12 Novembre 2008

Plan s Moyennes Densités Indépendance Le lemme de Borel-Cantelli Fonctions caractéristiques

Espace de probabilités Soit Ω un ensemble non vide. Une tribu ou σ-algèbre est un ensemble A de sous-ensembles de Ω avec les propriétés suivantes 1., Ω A, 2. Si A A alors A c A, 3. Si A 1, A 2, A, alors A k, A k A. k=1 k=1

Rappels de probabilités Espace de probabilités Soit A une σ-algèbre de Ω. Une application P : A [0, 1] est une mesure de probabilité sur (Ω, A) si 1. P( ) = 0, P(Ω) = 1, 2. Si A 1, A 2, A, alors ( ) P A k k=1 P(A k ) k=1 3. Si A 1, A 2, A sont disjoints alors ( ) P A k = k=1 P(A k ) k=1

Espace de probabilités Un élément A de A est un événement. P(A) est la probabilité de l événement A. Une propriété vraie sauf pour un événement de probabilité nulle est dite vraie presque sûrement (p.s.). Si Ω = R n, la plus petite σ-algèbre, notée B, contenant tous les ouverts de R n s appelle la tribu des boréliens.

Variables aléatoires Soit (Ω, A, P) un espace de probabilité. Une application X : Ω R n est une variable aléatoire (v.a.) de dimension n si pour tout borélien B B, X 1 (B) A. On dit aussi que X est A-mesurable. Lemme Soit X : Ω R n une variable aléatoire. Alors A(X) = {X 1 (B) B B} est une σ-algèbre, dite engendrée par X.

Variables aléatoires Soit A A, la fonction indicatrice de A { 1 si ω A χ A (ω) = 0 sinon est une v.a. m Si A 1,..., A m A satisfont A k = Ω et a 1,..., a m sont k=1 des réels, X = m k=1 a iχ Ai est une v.a. appelée simple.

Processus stochastiques 1. Un processus stochastique est une famille {X(t) t 0} de variables aléatoires indexée par le réel positif t. 2. Pour chaque point ω de Ω, la fonction t X(t, ω) s appelle une trajectoire.

Processus stochastiques Un processus Y ( ) est une modification du processus X( ) si P(Y t = X t ) = 1 pour tout t 0. Les processus X et Y sont aussi dits indiscernables.

Intégration Pour toute v.a. simple X m k=1 a kχ Ak on définit m X dp = a k P(A k ) Ω k=1 Si X est une v.a. réelle non négative on définit X dp = sup Y X, Y simple Y dp Ω Si X est une v.a. réelle on définit X dp = X + dp X dp, X + = max(x, 0) X = max( X Ω Ω Ω Si X est une variable aléatoire de dimension n on définit Ω X dp = ( Ω X 1 dp,, Ω X n dp) Ω

Intégration L espérance ou la valeur moyenne E(X) d une v.a. est l intégrale Ω X dp. La variance V (X) d une v.a. est l intégrale Ω X E(X) 2 dp. On remarque que V (X) = E( X 2 ) E(X) 2. Lemme (inégalité de Chebyshev) Soit X une v.a. réelle et p un réel tel que 1 p <, alors P( X λ) 1 λ p E( X p ) λ > 0

Fonctions de distribution 1. Soit X une v.a. de dimension n. La fonction de distribution de X est la fonction F X : R n [0, 1] F X (x) = P(X x) x R n 2. Soient X 1,..., X m m v.a. réelles de dimension n. Leur fonction de répartition jointe est la fonction F X1,,X m : (R n ) m [0, 1] F X1,,X m (x 1,, x m ) = P(X 1 x 1,, X m x m )

Fonctions de densité Soit X une v.a. de dimension n et F sa fonction de distribution. S il existe une fonction intégrable positive f : R n R telle que F (x) = F (x 1,, x n ) = x1 xn f (y 1,, y m ) dy n dy 1 on dit que f est la fonction de densité de X (par rapport à la mesure de Lebesgue sur R n ).

Indépendance Soient A 1,..., A n,... des événements. Ils sont dits indépendants si pour tous 1 k 1 k m on a P(A k1 A km ) = P(A k1 ) P(A km )

Indépendance Soient A i A, i = 1, des σ-algèbres. On dit qu elles sont indépendantes si pour tous 1 k 1 k m pour tous événements A ki A ki P(A k1 A km ) = P(A k1 ) P(A km )

Indépendance Soient X i, i = 1, des v.a. de dimension n. Elles sont indépendantes si pour tout entier k 2 et quels que soient les boréliens B 1,, B k de R n on a P(X 1 B 1,, X k B k ) = P(X 1 B 1 ) P(X k B k )

Indépendance Les variables aléatoires X 1,..., X m de dimension n sont indépendantes si et seulement si F X1,,X m (x 1,, x m ) = F X1 (x 1 ) F Xm (x m ) x i R n, i = 1,, m Si elles ont des densités on a l équivalence f X1,,X m (x 1,, x m ) = f X1 (x 1 ) f Xm (x m ) x i R n, i = 1,, m

Indépendance Théorème Si X 1,..., X m sont des v.a. réelles indépendantes telles que E( X i ) <, i = 1,, m alors E( X 1 X m ) < et E(X 1 X m ) = E(X 1 ) E(X m ) Théorème Si X 1,..., X m sont des v.a. réelles indépendantes telles que V ( X i ) <, i = 1,, m alors V (X 1 + + X m ) = V (X 1 ) + + V (X m )

Le lemme de Borel-Cantelli Soit A n, n 1 une suite d événements d un espace de probabilité. L événement n=1 m=n A m = {ω Ω ω un nombre infini de A n } s appelle A n infiniment souvent, en abrégé A n i.s.. Lemme Si n=1 P(A n) < alors P(A n i.s.) = 0.

Le lemme de Borel-Cantelli Application : une suite de v.a. {X k } k=1 converge en probabilité vers une v.a. X si lim P( X k X > ε) = 0 k Théorème Si X k X en probabilité, alors il existe une sous-suite {X kj } j=1 {X k} k=1 telle que X kj (ω) X(ω) presque partout

Le lemme de Borel-Cantelli Preuve : Pour chaque j on choisit k j > k j 1 suffisamment grand pour que P( X kj X > 1 j ) 1. On considère la suite d événements j 2 A j = { X kj X > 1 j } et k j 1 < k j <. Puisque 1 <, le j 2 lemme de Borel-Cantelli implique P(A j i.s.) = 0. Pour presque tous les échantillons ω on a donc X kj (ω) X(ω) < 1/j si j J pour un certain J(ω).

Fonctions caractéristiques Soit X une v.a. à valeurs dans R n Φ X (λ) = E ( e iλ X ) λ R n est la fonction caractéristique de X.

Fonctions caractéristiques Lemme 1. Si X 1,, X m sont des v.a. indépendantes à valeurs dans R n alors 2. Soit X une v.a.r. Φ X1 + +X m (λ) = Φ X1 (λ) Φ Xm (λ) Φ (k) (0) = i k E(X k ) k = 0, 1, 3. Si X et Y sont des v.a. telles que Alors Φ X (λ) = Φ Y (λ) F X (x) = F Y (x) λ x