Chapitre1 Matrices 1 201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 EXERCICES 1.2 1. a) 1 3 Ë3 7 3 2 Ë 1 16 pas défini d) 16 30 17 3 e) Ë 7 68 22 16 13 Ë 5 18 6 2. a) 0 4 4 4 0 4 Ë4 4 0 Ë 0 4 32 4 4 0 4 32 32 4 0 4 4 32 4 0 0 8 10 6 5 8 0 6 10 5 10 6 0 8 5 6 10 8 0 5 Ë 5 5 5 5 0 3. a) 0 2 4 6 4 2 2 0 2 4 6 4 4 2 0 2 4 6 6 4 2 0 2 4 4 6 4 2 0 2 Ë2 4 6 4 2 0 0 2 4 4 4 2 2 0 2 4 4 4 4 2 0 2 4 4 4 4 2 0 2 4 4 4 4 2 0 2 Ë2 4 4 4 2 0 0 4 6 4 6 8 4 0 2 4 6 8 6 2 0 6 8 10 4 4 6 0 2 4 6 6 8 2 0 2 Ë 8 8 10 4 2 0 4. a) 15 500 16 800 18 200 19 300 18 300 19 700 22 600 24 500 24 000 26 500 29 400 31 200 Ë 35 000 39 500 43 200 46 800 1, 045 1, 04 1, 035 15 500 16 800 18 200 19 300 17 435 18 897 20 472 21 709 18 300 19 700 22 600 24 500 2 5 2 1 25 4 27 559 0 85 2 59 21 24 000 26 500 29 400 31 200 26 9 29 8 3 0 96 08 3 70 35 095 Ë 35 000 39 500 43 200 46 800 Ë 39 369 44 431 48 593 52 642 17 650 18 950 20 350 21 450 20 450 21 850 24 750 26 650 26 150 28 650 31 550 33 350 Ë 37 150 41 650 45 350 48 950 5. a) 605, 743, 902, 11, 28 715, 864, 946, 11, 83 869, 1001, 1128, 1276, Ë902, 1034, 1282, 1370, 605, 745, 900, 11, 30 715, 865, 945, 11, 85 870, 1000, 1130, 1275, Ë900, 1035, 1280, 1370, 696, 857, 10, 35 13, 00 822, 995, 10, 87 13, 63 10, 01 11, 50 13, 00 14, 67 Ë10, 35 11, 91 14, 72 15, 76 6. a) 8 5 12 12 4 5 9 2 6 11 7 11 10 4 8 8 2 1 3 4 2 15 2 7 + 2 3 1 0 4 3 1 2 4 1 5 0 Ë 1 4 5 Ë 5 3 4 Ë5 5 6 Ë 1 2 3 11 7 11 4 6 5 7 1 6 15 2 7 3 5 2 12 3 5 1 5 0 4 0 3 3 5 3 Ë 1 2 3 Ë 3 4 5 Ë 2 2 2 Tous les articles dont les quantités sont négatives doivent être produits en priorité pour répondre à la demande.
2 Chapitre 1 Matrices 7. a) 6 8 Ë 4 10 6 9 3 15 Ë 9 6 6 9 12 Ë9 3 15 d) pas défini 4 3 3 t 8. a) A + A 3 6 2 Ë 3 2 6 La matrice A + A t est toujours symétrique. EXERCICES 1.4 1. a) 1 0 19 Ë0 1 13 1 0 Ë0 1 0 0 Ë0 0 d) 1 0 0 0 1 0 Ë0 0 1 2. Non; A B 8 7 B A Ë 9 17 et 17 3 Ë 13 14 3. a) 0 13 13 Ë 7 29 22 6 23 17 Ë 11 27 16 19 20 Ë 17 4 d) pas défini 2 2 4. En effectuant le produit des matrices, on trouve a + c b + d 0 0 Ë4a + 2c 4b + 2d Ë0 0. On cherche donc a et c tels que 2a + c 0 et 4a + 2c 0. Ces deux équations ont les mêmes solutions et la condition s écrit c 2a. En donnant une valeur particulière à a dans cette équation, on aura donc une valeur c qui satisfait à la condition. En posant a 1, par exemple, on trouve c 2. De plus, on cherche b et d tels que 2b + d 0 et 4b + 2d 0. Ces deux équations ont les mêmes solutions et la condition s écrit d 2b. En donnant une valeur particulière à b dans cette équation, on aura une valeur d qui satisfait à la condition. En posant b 4, par exemple, on trouve d 8. 1 4 La matrice B Ë 2 8 satisfait donc à la condition posée. En effet A B 2 1 1 4 0 0. Ë4 2 Ë 2 8 Ë0 0 On remarque que la matrice B satisfaisant à la condition posée n est pas unique. De plus, B A 1 4 2 1 18 9 Ë 2 8 Ë 4 2 Ë 36 18. Donc A B π B A. 5. a) A B 18 25 24 20 17 et B A 16 41 17. Un des produits donne une matrice 2 2 et l autre donne une matrice Ë 5 81 Ë30 33 42 3 3. A B 7 2 B A Ë 0 0 et 14 4 Ë 1 3 Les deux produits donnent une matrice 2 2. Cependant, les deux matrices sont différentes car les éléments des matrices sont différents. 33 32 2 9 5 7 A B 26 35 2, B A 16 39 16 Ë 55 50 6 Ë 12 43 32 Les deux produits donnent une matrice 3 3. Cependant, les deux matrices sont différentes car les éléments des matrices sont différents.
Chapitre1 Matrices 3 d) Soit, par exemple, A 3 0 B 2 0 et Ë0 3 Ë0 2. On a alors A B B A 6 0 Ë0 6. 6. a) (A + B) t A t + B t 6 7 Ë2 5, (A B)t B t A t 1 37 Ë16 6. (A + B) t et A t + B t ne sont pas définies. (A B) t B t A t 3 2 8 (A + B) t A t + B t 5 12 7, (A B)t B t A t Ë0 0 8 20 5 Ë 17 81 33 26 55 32 35 50 Ë 2 2 6. 3 2 3 25 187 187 7. a) 2 1 2 32 114 114 Ï heures à l atelier de sciage Ë2 1 1 Ë16 Ë Ô, soit Ì heures à l atelier d assemblage 98 ÓÔ 98 heures à l atelier de sablage Pour trouver le coût de production en salaires, il faut effectuer le produit matriciel de la matrice des salaires horaires par la matrice des temps de réalisation, soit : 187 ( 10, 75 7, 53 8, 25) 114 36 $ Ë 77,17 98 Le coût de réalisation d un exemplaire est obtenu en calculant le produit de la matrice des salaires horaires par la matrice des temps de réalisation de chaque article, soit : 3 2 3 ( 10, 75 7, 53 8, 25) 2 1 2 63, 81 37, 28 55, 56 Ë ( ) 2 1 1 Le coût est donc de 63,81 $ pour un bureau, 37,28 $ pour une chaise et 55,56 $ pour une table. 8.a) 9 12 11 50 1 802 12, 2 16, 65 Ï1 802 unités de bois 273, 2, Ë12, 08, 14, Ë52 Ë Ô soit Ì273,2 unités de contreplaqué 184, 8 ÓÔ 184,8 unités d aggloméré 60 70 65 50 10 9 35 40 45 65 30 Ï182 h et 10 min à l atelier de sciage 6 690 Ë40 55 70 Ë52 Ë Ô, soit Ì111 h et 30 min à l atelier d assemblage 9 215 ÓÔ 153 h et 35 min à l atelier de sablage La réalisation nécessite donc 182 heures et 10 minutes de travail à l atelier de sciage, 111 heures et 30 minutes à l atelier d assemblage et 153 heures et 35 minutes à l atelier de sablage. 9. a) 4 2 4 2 4 2 Ë 6 3 Ë 6 3 Ë 6 3 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 2 2 3 2 Ë 4 4 3 Ë 4 4 3 Ë 4 4 3 0 3 1 0 0 0 10. a) A 2 0 3 1 A 3 0 0 0 Ë, 0 9 3 Ë. La matrice A est nilpotente d indice 3. 0 0 0 2 2 0 3a a 0 0 0 2 2 2 3 A 0 3a a, A 0 0 0 2 2 Ë0 9a 3a. La matrice A est nilpotente d indice 3. Ë0 0 0 Les deux exemples des parties a et b suggèrent que oui. d) Soit A une matrice nilpotente d indice 3. On a alors A 3 0. Par les propriétés des opérations, on a (aa) 3 (aa) (aa) (aa) aaa (A A A) a 3 A 3 a 3 0 0 Donc, la matrice aa est nilpotente d indice 3.
4 Chapitre 1 Matrices e) Soit A une matrice nilpotente d indice n. On a alors A n 0. Par les propriétés des opérations, on a n n n n ( aa) ( aa) ( aa)... ( aa) ( aa... a)( A A... A) a A a 0 0. 1444 24443 1231 442 443 n fois n fois n fois Donc, la matrice aa est nilpotente d indice n. 11. a) t t A A 17 17 10 14 17 et A A 17 34 21 Ë 17 50 Ë 10 21 13 A A t et A t A sont des matrices symétriques quelle que soit la matrice A. Soit A une matrice. Pour montrer que la matrice A A t est symétrique, il faut montrer qu elle est égale à sa transposée. On a, par les propriétés des opérations : (A A t ) t A tt A t A A t. La matrice A A t est donc symétrique. De même pour A t A. 12. Parce que (A + B) 2 A 2 + AB + BA + B 2. Le produit matriciel n est pas commutatif, c est-à-dire que AB π BA. 13. A 2 1 8 16 A 3 1 26 52 et A 4 1 80 160 0 9 10, 0 27 38 0 81 130. Ë0 0 4 Ë0 0 8 Ë0 0 16 Les puissances d une matrice triangulaire supérieure sont également des matrices triangulaires supérieures. 14. Soit A, une matrice idempotente, c est-à-dire A 2 A. On doit montrer que (A t ) 2 A t. Or, (A t ) 2 A t A t, par définition du produit; (A A) t, puisque (A B) t B t A t ; (A 2 ) t, par définition du produit; (A) t, puisque A 2 A. 15. Soit A, une matrice nilpotente d indice 2, c est-à-dire A 2 0. On doit montrer que (A t ) 2 0. Or, (A t ) 2 A t A t (A A) t, puisque (A B) t B t A t (A 2 ) t 0 t 0, puisque A 2 0. 16. Soit A, une matrice nilpotente d indice 3, c est-à-dire A 3 0. On doit montrer que (A t ) 3 0. Or, (A t ) 3 A t A t A t, par définition; (A t A t ) A t, par associativité; (A A) t A t, puisque (A B) t B t A t ; [ A (A A)] t, puisque (A B) t B t A t ; [A A A] t, par associativité; (A 3 ) t, par associativité; 0 t 0, puisque A 3 0. 17. a) B 32 46 42 R Ë 34 64 54 43 72 56 et Ë 48 78 66. B + R 66 110 96 46 64 60 40 72 63 Ë 91 150 122 86 136 123 66 110 96 ( 1 1 1) 91 150 122 243 396 341 Ë ( ). 86 136 123 L opération donne le nombre total de chaque sorte de jus de fruits vendus durant la fin de semaine, soit 243 jus d orange, 396 jus de raisin et 341 jus de pomme. d) 66 110 96 1 272 91 150 122 1 363 Ë86 136 123 Ë1 Ë. 345 L opération donne le nombre de jus de fruits vendus pour chacune des journées de la fin de semaine, soit 272 jus le vendredi, 363 jus le samedi et 345 jus le dimanche.
Chapitre1 Matrices 5 272 e) ( 111) 363 980 Ë ( ). L opération donne le total des ventes durant la fin de semaine, soit 980 jus. On peut 345 1 également effectuer l opération suivante : ( 243 396 341) 1 980 Ë ( ). 1 f) P 100, C Ë 040, 140, et Ë 060,. g) A 100, 040, 060, 120, 050, Ë 140, 060, 080, 120, 050, 070, h) 66 110 96 100, 040, 060, 335 20 140 40 194 80 91 150 122 140 060 080,,,,,, 447 40 187 40 260 00 Ë86 136 123 Ë120 050 070 Ë,,,,,, 424, 00 177, 50 246, 50 L opération donne les revenus, les coûts et les profits pour chacune des journées de la fin de semaine. Revenus Coûts Profits Vendredi 335, 20 140, 40 194, 80 Samedi 447, 40 187, 40 260, 00 Dimanche Ë 424, 00 177, 50 246, 50 i) 335 20 140 40 194 80 ( 111),,, 447 40 187 40 260 00 1206 60 505 30 701 30 Ë,,, (,,, ) 424, 00 177, 50 246, 50 j) 66 110 96 99 165 144 Le produit donne 1, 5 91 150 122 136, 5 225 183 ; Ë86 136 123 Ë 129 204 184, 5 137 225 183. Ë129 204 185 k) 115, 040, 046, 060, 069, Ë050, Ë l) 120, 058, 100, 120, 140, 120, 046, 074, 168, Ë120, Ë m) 168, 069, 099, 144, Ë144, 058, 086, n) 99 165 144 120, 046, 074, 603 36 242 91 360 45 137 225 183 168 069 099,,,,,, 805 92 324 41 481 51 Ë129 204 185 Ë144 058 086 Ë,,,,,, 763, 92 307, 40 456, 52 603, 36 242, 91 360, 45 o) ( 111) 805, 92 324, 41 481, 51 2173, 20 874, 72 1298, 48 Ë763, 92 307, 40 456, 52 ( )
6 Chapitre 1 Matrices