Chapitre 15 Options et actifs conditionnels Plan Fonctionnement des options Utilisation des options La parité put-call Volatilité et valeur des options Les modèles de détermination de prix d option Modèle à deux états Réplication dynamique et modèle binomial Modèle de Black et Scholes Autres applications de la théorie des options 1
Fonctionnement des options Même principe qu un contrat à terme Sous-jacent, prix d exercice et date d échéance Sans obligation d achat ou de vente Option d achat (call) ou de vente (put) 2
Les options sur les marchés organisés Fait correspondre acheteurs et vendeurs (compensation) Prix et date d échéance sont déterminés par le marché Sous-jacent, prix d exercice et date d échéance Sans obligation d achat ou de vente Option d achat (call) ou de vente (put) Portent sur les actions, sur les indices, sur tout... 3
Exemple Call Put Prix d'exercice Echéance Nombre de lots négociés Cours de clôture Positions ouvertes Nombre de lots négociés Cours de clôture Positions ouvertes 85,00 Juil. 0 0,00 134 0 0,00 16 367 85,00 Août 0 0,00 67 0 0,00 8 305 85,00 Sept. 0 0,00 134 90 4,00 53 489 85,00 Déc. 0 0,00 526 50 6,70 17 872 85,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 10 050 90,00 Juil. 0 0,00 12 294 1 288 1,32 36 443 90,00 Août 0 0,00 8 1 010 4,70 13 072 90,00 Sept. 0 0,00 3 046 8 6,20 39 884 90,00 Déc. 50 10,40 23 257 10 8,40 31 229 90,00 Mar. 01 0 0,00 250 0 0,00 0 95,00 Juil. 0 0,00 10 267 0 0,00 13 356 95,00 Août 10 3,00 12 217 30 7,45 3 132 95,00 Sept. 0 0,00 10 739 0 0,00 4 762 95,00 Déc. 100 8,10 1 027 0 0,00 1 863 95,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 29 100,00 Juil. 0 0,00 53 829 80 11,00 7 838 100,00 Août 0 0,00 4 882 80 12,00 8 165 100,00 Sept. 3 3,20 77 100 4 000 12,83 38 335 100,00 Déc. 0 0,00 56 093 30 000 15,92 201 995 100,00 Mar. 01 0 0,00 14 000 0 0,00 0 Extrait des cours d option sur l action Vivendi, 25 juillet 2000 4
Valeur intrinsèque et valeur temps Valeur intrinsèque Valeur d une option si elle arrivait à expiration immédiatement Valeur temps Différence entre la valeur intrinsèque et le cours de clôture négocié Valeur intrinsèque nulle L option est dite hors de la monnaie. Valeur intrinsèque positive L option est dite dans la monnaie. 5
Utilisation des options Profil de gain d'un call Gain issu de l'exercice du call 120 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de l'action à échéance Le gain sur le call est égal au maximum de [S T -100 ; 0]. Si le prix de l action < 100, le call ne vaut rien. Le gain sur le put est égal au maximum de [100-S T ; 0]. Si le prix de l action > 100, le put ne vaut rien. 6 Gain issu de l'exercice du put Le prix d exercice est de 100. Notons S T le prix de l action à échéance de l option. 120 100 80 60 40 20 0 Profil de gain d'un put 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de l'action à échéance
Taux de rentabilité d un portefeuille: 3 stratégies différentes Taux de rentabilité du portefeuille (%) 140 120 100 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80-100 Profils de gains correspondant à différentes stratégies (tendance haussière) 100% d'actions 100% d'options calls 10%d'options calls 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Cours de l'action à échéance Tendance haussière du marché 1 action = 100 / 1 option = 10 100 000 en actions sans dividendes (100% d actions) 100 000 en options (100% d options) 10 000 en options et le reste en actif sans risque (10% d options) Il faut déterminer ses propres anticipations (l économie croissante, stable, en récession) et sa tolérance au risque. Minimum de rentabilité garantie dans la 3ème stratégie et pente de gain identique à celle d un investissement en actions. 7
Stratégie Action + Put Achat d actions + puts de l action Le portefeuille garantit la valeur de l action Profil de gain pour la stratégie action + put 200 160 Put Action Action + Put Gain 120 80 40 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de l'action à l'échéance 8
Stratégie Actif sans risque + Call Placement en actif sans risque + calls sur action. Le portefeuille garantit la valeur de l actif sans risque. 200 160 Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call Call Actif sans risque Actif sans risque + call Gain 120 80 40 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de l'action à l'échéance 9
La relation de parité put call Action + put au prix d exercice E Actif sans risque au nominal de E + call au prix d exercice de E. D après la loi du prix unique: S est le cours de l action, E le prix d exercice, P la valeur de l option de vente (put), r le taux sans risque, T la durée à l échéance de l option C la valeur de l option d achat (call). S + P = E (1 + r) T + C Un call est composé de: L achat de l action S, L emprunt réalisé pour cet achat (levier), L achat d une assurance contre le risque de baisse (put) E C = S + P (1 + r) T 10
Exemple 1 S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10 C devra être de 17.41 Si le call est coté 18, que doit-on faire? Vendre ses calls et acheter des calls synthétiques. Call synthétique: achat d une action à l aide d un emprunt de 92.59. Soit un coût de 7.41 pour une action + achat d un put à 10. Bilan: Vente d un call à 18 - achat d un call synthétique à 17.41 = 0.59 de gain. 11
Parité put call et implications C P = S ( 1+ E r) T Si le cours de l action est égal à la valeur actuelle du prix d exercice de l option, alors le prix du call est égal au prix du put. Si le cours de l action est supérieur à la valeur actuelle du prix d exercice de l option, alors le prix du call est supérieur au prix du put. Si le cours de l action est inférieur à la valeur actuelle du prix d exercice de l option, alors le prix du put est supérieur au prix du call. 12
Volatilité et valeur des options Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les gains espérés sur le put ou le call augmentent. Les prix respectifs du put et du call croissent en conséquence. 13
Le modèle à deux états Hypothèses Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l issue de l échéance de l option. On construit un call synthétique (action + actif sans risque) Exemple Call à 1 an : E = 100, cours actuel à 100. Perspectives d évolution : + ou 20% Taux sans risque : 5% 14
Le modèle à deux états (suite) Call : dans 1 an Cours de l action 120 80 Gain sur le call 20 0 Call synthétique Action financée par un emprunt. On ne peut emprunter que sur une valeur garantie de l action dans 1 an, soit 80 / 1.05 = 76.19. Transaction Achat d une action Cash-flow immédiat -100 Cash-flow dans 1 an si S = 120 120 Cash-flow dans 1 an si S = 80 80 Emprunt à taux sans risque 76.19-80 -80 Portefeuille total -23.81 40 0 15
Le modèle à deux états : ratio de couverture Proportion d actions dans le portefeuille qui réplique exactement les recettes du call Ratio de couverture = Amplitude des valeurs de l' option Amplitude des valeurs de l' action Dans notre exemple : ratio de couverture = 0.5 Nous achetons une moitié d action et empruntons 38.095 à 5%. Actif Cash-flow immédiat Cash-flow dans 1 an si S = 120 Cash-flow dans 1 an si S = 80 Call 20 0 Achat d 1/2 action -50 60 40 Emprunt au taux sans risque 38.095-40 -40 Call synthétique -11.905 20 0 16
Le modèle à deux états : conclusion Évaluation du prix d un call sans le prix du put correspondant D après la loi du prix unique, C = 0.5 S 38.095 = 11.905 17
La réplication dynamique et le modèle binomial Deux périodes; l action peut monter ou baisser de 10 à chaque période. Stratégie d investissement autofinancée Cours actuel de l'action Cours de l'action dans 6 mois Cours de l'action dans 1 an Valeur finale du portefeuille 100 Achat d'1/2 action Emprunt de 45 Investissement total = 5 110 Achat d'1/2 action Emprunt de 55 Investissement total = 10 90 Vente d'1/2 action Remboursement de l'emprunt Investissement total = 0 120 100 Vente de l'action 120 Remboursement de l'emprunt -100 Portefeuille total 20 Vente de l'action 100 Remboursement de l'emprunt -100 Portefeuille total 0 80 Portefeuille total 0 Investissement initial = 5, le prix du call 18
Modèle de Black et Scholes L investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu C = N d ) S N( d ) E e où : ( 1 2 C = prix du call S = cours de l action rt E = prix d exercice de l option r = taux sans risque T = durée jusqu à l échéance de l option, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) de l action ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l exponentielle (approximativement 2,71828) d d 1 2 ln( S / E) + ( r + σ / 2) T = σ T = d 1 N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d). σ T 2 19
Modèle de Black et Scholes Les déterminants du prix des options Augmentation Call Put Du cours de l action S Augmentation Baisse Du prix d exercice E Baisse Augmentation De la volatilité σ Augmentation Augmentation De la durée à l échéance T Augmentation Augmentation Du taux sans risque r Augmentation Baisse Des dividendes versés d Baisse Augmentation 20
Volatilité implicite Valeur qui égalise la valeur de marché de l option et valeur obtenue par la formule d évaluation des options 21
Indice de volatilité du CAC 40 à 1 mois (VX1), janvier 1994 - août 2002. 80 70 60 50 Période d'incertitude : contrecoups de la crise asiatique ; inquiétudes sur une éventuelle récession mondiale ; craintes de faillite en série de banques ; réunion du G7 peu satisfaisante. 17 septembre 1998 : consécutivement à une déclaration du président d'alcatel, l'action chute de près de 40%. Affaires Enron, Worldcom. Remous sur Vivendi Universal. Attentats du 11 septembre sur le World Trade Center. 40 30 Rebondissement de la crise asiatique. 20 10 0 03/01/94 03/07/94 03/01/95 03/07/95 03/01/96 03/07/96 03/01/97 03/07/97 03/01/98 03/07/98 03/01/99 03/07/99 03/01/00 03/07/00 03/01/01 03/07/01 03/01/02 03/07/02 Source données : Monep - traitement C. Thibierge 22
Théorie des options appliquée à la finance d entreprise La formule de la valeur des capitaux propres est: CP = N d ) V N( d ) B e ( 1 2 rt d 1 = ln( V / B) + ( r + σ / 2) T σ T 2 où : V = valeur de l entreprise (valeur des actifs) CP = valeur des capitaux propres B = valeur de remboursement de la dette à l échéance (ici, valeur nominale de l emprunt obligataire) r = taux sans risque T = durée jusqu à l échéance de l emprunt, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) des actifs ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d.) 23 d 2 = d 1 σ T
Évaluation des cautions et garanties Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque Comment évaluer cette garantie? On compare la valeur actuelle de la dette sans garantie à celle d un emprunt sans risque qui aurait les mêmes modalités de remboursement. Valeur de la garantie = Valeur avec garantie Valeur sans garantie 24
Autres applications de la théorie des options Renégociation de taux d intérêt d emprunt Crédit-bail Options de choix d investissement: Option de démarrage ou d abandon d un projet Option de sous-traitance 25