Lcée Hoche Versailles Modélisation cinématique des mécanismes Philippe Bourac 003 MPSI-PCSI Page /4
MDELISATIN CINEMATIQUE DES MECANISMES bjectif : Etablir une modélisation d un mécanisme pour mener des études cinématiques ou géométriques. Classes d équivalence cinématique.. Définition. Une classe d équivalence cinématique est un ensemble de pièces d un mécanisme qui n ont aucun mouvement relatif entre elles.. Recherche des classes d équivalence d un mécanisme à partir du dessin d ensemble. Les règles de représentation du dessin technique, les représentations normalisées des éléments standards et notre culture technologique doivent nous permettre d identifier les classes d équivalence. La mise en évidence des différentes classes d équivalence peut être réalisée en coloriant le dessin d ensemble. Eemple : Micro-moteur D autres eemples sont disponibles sur le site : http://www.perso.wanadoo.fr/philippe.bourac/ MPSI-PCSI Page /4
Graphe des liaisons ou graphe de structure. Le graphe des liaisons est une figure qui recense les classes d équivalence et les liaisons entre ces classes. Une liaison eiste chaque fois que deu classes d équivalence ont des surfaces directement en contact ou par l intermédiaire d éléments roulants (billes ou rouleau). Eemple : Micro-moteur Les classes d équivalence 9 et 5 sont en contact direct ainsi que 5 et 3. Par contre, les classes d équivalence 5 et 9, ainsi que 3 et 5, sont en liaison par l intermédiaire d éléments roulants. Dans le graphe de structure, les liaisons relient les classes d équivalence. Il eiste différents tpes de liaisons. A ce stade, nous ne pouvons préciser davantage le graphe de structure. 3 Les différents tpes de liaisons. 3. Importance des surfaces de contact. L eamen des surfaces de contact nous permet de préciser les particularités de la liaison d un point de vue géométrique et cinématique. Eemple : Les surfaces de contact sont deu clindres de révolution. Les mouvements de / autorisés sont une. translation suivant la direction et une rotation autour de l ae ( ) 3. Les liaisons réelles. Les liaisons eistant entre les différentes classes d équivalence du mécanisme réel (un dessin d ensemble est déjà un modèle) sont délicate à étudier car : Les surfaces de contact ont des défauts de forme et d état de surface ; Il eiste des jeu entre les surfaces qui interdissent leur coïncidence et localisent le contact. Les jeu sont nécessaires pour permettre le montage de la liaison. MPSI-PCSI Page 3/4
défaut de forme défaut d état de surface α Le jeu nécessaire au montage autorise des petits déplacements radiau et angulaires La difficulté à prendre en compte ces paramètres conduit à considérer le modèle de liaison parfaite. 3.3 Les liaisons parfaites. Le modèle de liaison parfaite repose sur les hpothèses suivantes : Les surfaces de contact de chacune des pièces sont supposées géométriquement parfaites et le maintien du contact est toujours assuré ; Les liaisons sont sans jeu ; Le contact entre les deu pièces s établit en un point, sur une portion de ligne (droite ou cercle) ou sur une portion de surface (plan, clindre, sphère, surface de révolution, surface hélicoïdale). A ces hpothèses répondent liaisons. Elles sont définies par une norme internationale. n parlera de liaisons normalisées. Un etrait de cette norme est fournie en annee. 3.4 Les liaisons sur éléments roulants. Certaines liaisons dans les mécanismes n utilisent pas le principe du glissement des surfaces de contact, mais celui de l interposition d éléments roulants. Des composants mécaniques particuliers sont utilisés. Ils permettent de réaliser la plupart des liaisons normalisées (sauf la liaison encastrement évidemment et la liaison rotule à doigt). Les roulements à billes ou à rouleau : ils permettent de réaliser des liaisons pivot, pivot glissant, rotule ou linéaire annulaire suivant le tpe et le montage. MPSI-PCSI Page 4/4
Les butées à billes ou à rouleau : elles permettent de réaliser des liaisons appui plan. Les douilles à billes ou à rouleau : elles permettent de réaliser des liaisons pivot-glissant ou glissière. Les vis à billes ou à rouleau : elles permettent de réaliser des liaisons hélicoïdales. Les rails de guidage sur billes ou sur rouleau : ils permettent de réaliser des liaisons glissières. MPSI-PCSI Page 5/4
Dans les graphes de liaison, il ne faut pas associer de classe d équivalence à ces composants, mais seulement considérer la liaison qu ils réalisent. Eemple : Micro-moteur Les surfaces de contact entre les classes d équivalence 9 et 5 sont des clindres de révolution et des plans. n retient donc une liaison pivot ; Les surfaces de contact entre les classes d équivalence 5 et 3 sont des clindres de révolution. n retient donc une liaison pivotglissant ; La classe d équivalence 5 est guidée par rapport à 3 par l intermédiaire de deu roulements à billes qui réalisent une liaison pivot ; La classe d équivalence 9 est guidée par rapport à 5 par l intermédiaire d un roulement à aiguilles qui réalise une liaison pivotglissant. 4 Les degrés de liberté d une liaison. Le nombre de degrés de liberté d une liaison est le nombre de mouvements élémentaires indépendants que la liaison autorise (nbre de rotation et de translation). Pour les recenser, il faut introduire un repère local qui utilise les particularités de la liaison. Eemple : liaison pivot-glissant mouvements indépendants donc liaison à degrés de liberté Remarque : pour la liaison hélicoïdale, la translation et la rotation sont liées par la relation : pour une hélice à droite et pour une hélice à gauche où p est le pas de π l hélice. La liaison hélicoïdale est donc une liaison à degré de liberté. π MPSI-PCSI Page 6/4
5 Paramétrage de la position relative de deu solides en liaison. Pour paramétrer la position relative de deu solides en liaison, il faut lier à chaque solide un repère en plaçant les aes de ces repères sur les éléments caractéristiques de la liaison (ae, centre, normale à un plan, ) et des solides. Le paramétrage est alors possible en introduisant des paramètres de position en nombre égal à celui des degrés de liberté de la liaison. Eemple : liaison pivot-glissant 6 Torseur cinématique associé à une liaison. Le torseur cinématique associé à la liaison est le torseur cinématique du mouvement relatif des deu solides. Eemple : liaison pivot-glissant n retient, ici, le mouvement de par rapport à, car le paramétrage le suggère. n obtient : { } { } ( ) Ce travail de paramétrage a été fait pour l ensemble des liaisons normalisées. L annee présente les torseurs cinématiques associés. 7 Liaisons équivalentes. Dans certains mécanismes, des associations de liaisons peuvent être remplacées par des liaisons équivalentes qui doivent correspondre à des liaisons normalisées. La liaison équivalente qui réduit normalement le nombre de pièces du mécanisme n'est pas retenue lors de la conception car elle est technologiquement peu fiable. Deu tpes de configuration sont rencontrées. MPSI-PCSI Page 7/4
7. Liaisons en série. Soit un mécanisme tel que le graphe de structure présente la disposition suivante : L L3 Cette disposition peut être simplifiée et remplacée par la structure suivante à condition que la liaison équivalente L3 déterminée par le calcul soit normalisée. L3 La liaison L3 est identifiée à partir de son torseur cinématique associé. n pose : { } { } { } { } et { } { }. n a donc : { } { } + { } 7. Liaisons en parallèle. Soit un mécanisme tel que le graphe de structure présente la disposition suivante : L L Cette disposition peut être simplifiée et remplacée par la structure suivante à condition que la liaison équivalente L déterminée par le calcul soit normalisée. L La liaison L est identifiée à partir de son torseur cinématique associé. n pose : { } { } { } { } Remarque : on peut avoir plus de deu liaisons en parallèle. et { } { }. n a donc : { } { } { } MPSI-PCSI Page 8/4
8 Schéma cinématique. Le schéma cinématique d'un mécanisme est une figure plane ou spatiale qui permet : D'aider à la compréhension du fonctionnement du mécanisme ; De mener des études géométriques et cinématiques. Il doit donc être représentatif du mécanisme. Il doit respecter toutes les particularités. 8. Réalisation du schéma cinématique. Recenser les classes d équivalence du mécanisme ; Modéliser les liaisons entre ces classes d'équivalence ; Représenter les liaisons et les classes d'équivalence en utilisant les smboles normalisés et en tenant compte des particularités du mécanisme (aes parallèles, perpendiculaires ou concourants, ). Le schéma doit être fait pour une position quelconque du mécanisme. Une représentation en perspective est à retenir de préférence. Paramétrer le schéma cinématique en introduisant des repères liés à chaque classe d'équivalence et des paramètres de position relatifs au liaisons. Eemple : Micro-moteur β 9 5 γ 5 α 8. Schéma cinématique minimal. Un schéma cinématique minimal est un schéma cinématique qui prend en compte les éventuelles liaisons équivalentes. MPSI-PCSI Page 9/4
8.3 Schéma cinématique plan. Pour les mécanismes répondant au hpothèses de mouvement plan, une représentation plane du schéma cinématique est plus adaptée car les paramètres de position sont alors vus en vraie grandeur. Les mouvements relatifs possibles entre les classes d'équivalence étant réduits, la représentation des liaisons peut alors être simplifiée., une liaison pivot- Si le problème est plan de normale, alors une liaison pivot d ae ( ) glissant d ae ( ), une liaison rotule de centre ou une liaison linéaire annulaire de centre et de direction sont toutes représentées par une articulation de centre : Si le problème est plan de normale, alors une liaison pivot-glissant d ae ( ) est équivalente à une liaison glissière de direction. Eemple : Micro-moteur β 9 5 γ α 9 Etude cinématique d un mécanisme Méthode générale. 9. Fermeture cinématique. Soit un mécanisme présentant le graphe de structure suivant : 3 Ce graphe fait apparaître des ccles qui sont obtenus en le parcourant à partir d une pièce. n dénombre pour notre eemple trois ccles différents. 4 5 MPSI-PCSI Page 0/4
3 C3 Pour chaque ccle, on peut écrire une fermeture cinématique en utilisant la composition des mouvements. Pour le ccle C, on obtient : C 4 C 5 { } + { } + { } + { } { } A chaque fermeture cinématique correspondent 6 équations scalaires. 9. Ccles indépendants. Le graphe précédent présente 3 ccles. n peut donc écrire 8 équations scalaires en réalisant les fermetures cinématiques associées. Les 8 équations obtenues ne sont pas indépendants. En effet le ccle C3 ne fait intervenir aucune nouvelle pièce ou nouvelle liaison par rapport au ccles C et C. Les équations cinématiques relatives au ccle C3 sont des combinaisons linéaires des équations cinématiques relatives au ccles C et C. Il faut retenir un nombre minimum de ccles permettant d écrire toutes les équations cinématiques utiles. n l appelle le nombre cclomatique ou nombre de ccles indépendants : µ + où est le nombre de liaisons et le nombre de pièces du mécanisme. 9.3 Sstème d équations cinématiques. Le sstème d équations cinématiques caractérisant le fonctionnement d un mécanisme est obtenu en choisissant µ ccles indépendants et en écrivant les 6µ équations cinématiques associées. Remarque : pour un problème plan, on ne peut écrire que 3 équations cinématiques par ccle. 9.4 Loi entrée-sortie. La loi entrée-sortie est la relation cinématique qui ne fait intervenir que les paramètres d entrée et de sortie ainsi que leurs dérivées. Elle est obtenue à partir du sstème d équations cinématiques par manipulation des équations. Remarque : une intégrale première de cette loi peut être obtenue directement par une étude géométrique. n parle alors de fermeture géométrique. MPSI-PCSI Page /4
Annee : Liaisons normalisées MPSI-PCSI Page /4
Annee : Torseurs cinématiques associés au liaisons normalisées Nom de la liaison Perspective Torseur cinématique Liaison pivot Particularités { V } { V} ( ) Liaison glissière { V } { V} o Liaison hélicoïdale o { V} avec π p : pas en mm/tr hélice à droite { V} ( ) Liaison pivot glissant { V } { V} ( ) Liaison sphérique à doigts { V} Avec centre de la liaison MPSI-PCSI Page 3/4
Nom de la liaison Perspective Torseur cinématique Liaison rotule { V} Particularités Avec quelconque centre de la liaison Liaison appui plan Liaison linéaire annulaire { } V ( ) ( ) { V} avec ( ) ( ) Avec quelconque centre de la liaison Liaison linéaire rectiligne Liaison ponctuelle { V} ( ) ( ) avec ( ) ( ) avec quelconque ( ) ( ) ( ) { V } ( ) ( ) ( ) MPSI-PCSI Page 4/4