POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - 70
Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : ( Isaac Newton - 1686 ) D après la 3 ème Loi de Newton, deux corps A et B dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et dont la distance d éloignement est grande devant leurs tailles, exercent l un surl autre des forces attractives / /, de même direction, de même valeur, mais de sens opposés, telles que : / = / / =... ² :, = 6,67. 10 è () à II. Référentiels usuels : - Héliocentrique : défini par le centre du Soleil et 3 étoiles loitaines fixes sur la voûte céleste ; sert à étudier le mouvement des planètes du système solaire - Géocentrique : défini par le centre de laterre et 3 étoiles lointaines fixes sur la vôute céleste ; sert à étudier le mouvement des satellites de la Terre 71
III. Etude du mouvement d un satellite en orbite circulaire autour de la Terre : Système : {le satellite S} Référentiel : géocentrique considéré comme galiléen Bilan des forces : force d attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite / 2 ème Loi de Newton : =. / =.... =. éé : =. ². est dirigée dans le sens opposé à celui du vecteur, donc est centripète, c est-à-dire dirigée vers le centre de la Terre 72
La base de Frénet : elle est constituée de deux vecteurs, l un tangent à la trajectoire (sens arbitraire), l autre normal à la trajectoire et orienté vers l intérieur de la courbe = Dans cette base, l accélération s exprime par : = ² étant colinéaires, est entièrement porté par = =0 = = ² =. ² =. Le mouvement d un satellite en orbite de la Terre est circulaire uniforme, de vitesse : =. Remarques : = 1 la vitesse diminue lorsqu on s éloigne de la planète, et augmente lorsqu on s approche de sa surface. Si l on pose : = + h, avec h altitude du satellite par rapport à la surface de la Terre, on a (h)=. + h 73
IV. Période de révolution du satellite : = =. éé ²= ²². = ². 3 ème Loi de Képler : =. = V. Satellite géostationnaire : Un satellite géostationnaire est un satellite qui se trouve en permanence à la verticale du même lieu ; pour un observateur en ce lieu, le satellite paraît donc immobile. ( satellites d'observation, de télécommunications, de télédiffusion) a) Conditions pour que le satellite soit géostationnaire : Le mouvement du satellite doit se faire sur une trajectoire circulaire de centre le centre de la Terre La période du satellite géostationnaire doit coïncider avec celle de la rotation de la Terre sur elle-même, soit : T = 24h = 24 3600 = 86400 (jour sidéral) Le satellite doit tourner dans le même sens que la Terre Le plan de rotation de la Terre doit être perpendiculaire à l axe de rotation de la Terre et contenir G, le centre de la Terre é Remarque : plan équatorial plan de l écliptique : plan de l orbite de la Terre autour du Soleil 74
b) Altitude du satellite géostationnaire : =. = + h, ù: ( ) =. ( + h) =.. 4 + h=.. 4 / h =.. 4 / Unités : T en secondes : = 24 3600 = 86400 = 5,98. 10 ; = 6378 = 6,378. 10 = 6,67. 10 SI Application numérique : h = 3,5786.10 ~ 36 000 c) Vitesse du satellite géostationnaire : = =.() =.(,.,. ) = 3074. ~ 11 000 /h d) Conclusion : Un satellite géostationnaire est en orbite dans le plan équatorial à 36 000 km d altitude et tourne à une vitesse de 11 000 km/h 75
e) Complément (Hors-Programme) : Mise en orbite d un satellite géostationnaire Lancement du satellite depuis Kourou sur une orbite de transfert. Le satellite décrit plusieurs révolutions sur l'orbite de transfert. Lors d un passage à l apogée, la mise à feu du moteur d apogée place le satellite sur une orbite circulaire équatoriale à environ 36 000 km du sol. D'ultimes corrections de trajectoires rendent la satellite géostationnaire. Il est mis ultérieurement à poste à l emplacement souhaité. VI. Lois de Képler : Les Lois de Képler sont des lois issues de l observation du Système solaire, et décrivant les propriétés principales du mouvement des planètes autour du soleil. 1 ère Loi : Loi des orbites Les planètes décrivent une ellipse dont l un des foyers est le Soleil. L'aphélie est le point de l'orbite le plus éloigné du Soleil (3 juillet pour nous) Le périhélie est le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil (3 janvier pour nous) Aphélie et périhélie sont mesurés de la surface de la planète à la surface du Soleil (et non de centre à centre) 76
Remarque : pour la Terre on parle d apogée et de périgée : En réalité, à l'exception de Mercure, les ellipses que décrivent les centres de gravité des planètes ont une très faible excentricité orbitale ; on peut approximer la trajectoire de toutes les autres planètes à une trajectoire est quasi-circulaire. De la 1 ère loi, on déduit que le Soleil exerce sur une planète une force centripète (ou centrale, ou radiale) sur le centre de gravité des planètes. 77
2 ème Loi : Loi des aires A durée égale, aires balayées égales. Si S est le Soleil et P une position quelconque d'une planète, l'aire balayée par le segment [SP] entre deux positions P1 et P2 pendant la durée Dt, est égale à l'aire balayée par ce segment entre deux positions P3 et P4 pendant la même dur ée Dt. Conséquences : la vitesse d'une planète devient donc plus grande lorsque la planète se rapproche du soleil ; est maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie), et minimale au voisinage du rayon le plus grand (aphélie). Le mouvement des planètes en orbite elliptique n'est donc pas uniforme. Elles accélèrent lorsqu'elles s'approchent du Soleil, ralentissent lorsqu'elles s'en éloignent 3 ème Loi : Loi des périodes Dans l approximation circulaire des orbites des planètes autour du Soleil, on a, pour chaque planète éloignée (centre à centre) d une distance r par rapport au Soleil, et de période sidérale T : = =. (voir démonstration plus haut) 78
Remarques : Les lois de Kepler ne sont pas seulement applicables aux planètes mais à chaque fois qu'une masse se trouve en orbite autour d'une autre masse. C'est le cas, par exemple, de la Lune et de la Terre ou d'un satellite en orbite autour de la Terre ne dépend que de l astre attracteur, pas de la masse de l objet attiré ; en effet : =,. avec M : masse de l astre attracteur Les périodes de révolution s'accroissent lorsqu'on s'éloigne du Soleil VII. Champ de gravitation terrestre : a) Champ de gravitation terrestre : =. = Par analogie avec le poids d un corps dans le champ de pesanteur terrestre =., =. en posant : =. Champ de gravitation créé par la Terre en un point situé à un rayon r de son centre Remarques : Ce champ diminue rapidement avec l éloignement ; il varie en 1 ² En particulier, en posant = + h, on a la valeur du champ gravitationnel à l altitude h () =. ( ) b) Champ surfacique : on a la valeur du champ gravitationnel à l altitude h (h) =. donc à la surface de la Terre, où h = 0, on a : = (h = 0) =. ( ) ( ) 79
expression du champ surfacique : =. Application numérique : =. = 9,8 ~ ï est l expression du champ de gravitation créé par la Terre à sa surface dans le repère géocentrique, g est l expression du champ de pesanteur dans un référentiel terrestre c) Expression du champ de gravitation en fonction du champ surfacique : =. G. =. Or (h) =. =. ( ). = ( ).. = ( ). ( ) expression du champ à l altitude h en fonction du champ surfacique : () =. + 80
Exercices sur la Gravitation exercice 1 : La trajectoire d'un satellite est elliptique. Son apogée a une altitude de 2967 km par rapport à la terre. Son périgée a une altitude de 806 km. Le rayon terrestre est de 6380 km. Le champ de gravitation au sol est 9,8 ms -2. Déterminer la valeur du champ de gravitation crée par la terre au point d'apogée. exercice 2 : Titan décrit une orbite circulaire de période T et de rayon r autour de la planète Saturne. On admettra que Titan et Saturne ont une répartition sphérique de masse. satellite période T (en j) rayon de l'orbite r (en km) Titan 15,94 1,222 10 6 G = 6,67 10-11 SI ; densité moyenne de Saturne : d = 0,69. (pour les solides : d solide = r solide ) Déterminer le diamètre (en km) de Saturne. exercice 3 : Un satellite de masse m est en orbite dans le vide sidéral autour de la Terre (masse M T et rayon R T ) 1. On suppose que la seule force agissant sur le satellite est la force gravitationnelle de la Terre. Quelles sont les autres forces négligées dans ce cas? 2. Après avoir rappelé l expression vectorielle de la force de gravitation terrestre agissant sur ce satellite en fonction de M T, m, R T, G et h (altitude du satellite par rapport au sol), montrer que le mouvement est uniforme (on précisera le référentiel choisi). 3. En déduire une expression de la vitesse du satellite. 4. Calculer cette vitesse si h = 300 km. 5. Cette vitesse augmente-t elle ou diminue-t elle au fur et à mesure que le satellite s éloigne des environs de la Terre? Justifier 6. On souhaite mettre ce satellite en orbite géostationnaire ; rappeler les conditions nécessaires à une telle mise en orbite. 7. Etablir l expression de l altitude à laquelle il devra orbiter, ainsi que sa vitesse ; faire l application numérique Masse de la Terre M T = 5,98.10 24 kg ; rayon de la Terre R T = 6380 km ; G = 6,67.10-11 SI 81
exercice 4 : Gravitation et satellite Au cours de son exploration du système solaire, une sonde Voyager, de masse M = 2l00 kg, s'est approchée d'une planète notée A. On a mesuré à deux altitudes différentes comptées à partir du sol de cette planète la force de gravitation exercée par celle-ci sur la sonde soit: altitude z 1 = 8 499 km F 1 =13 236,51 N altitude z 2 = 250 000 km F2 =189,25 N Données : masse de la Terre: M T = 5,98. 10 24 kg ; C te de gravitation K= 6,67. 10-11 Masses des planètes du système solaire: (la masse de la Terre étant prise égale à l'unité) : Terre Mercure Vénus Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Lune 1 0,056 0,817 0,11 318 95,2 14,6 17 0,012 1. Parmi les unités écrites ci-dessous, laquelle ou lesquelles conviennent pour exprimer le champ de gravitation? N/m ; m.s² ; m/s ; N/kg ; kg/n ; kg/m² ; kg/m² ; m²/s² ; kg/m 2. Calculer le diamètre moyen de la planète A.(unité: 10 3 km) 50,5 ; 48,6 ; 12,1 ; 6,77 ; 138 ; 11,4 ; 4,88 ; 3,48 3. Quelle est l'intensité du champ de gravitation au niveau du sol de la planète A? (unité S.I) 1,66 ; 3,78 ; 8,62 ; 22,93 ; 11,48 ; 9,05 ; 7,84 ; 2,57 4. Quel est le nom de la planète A? Mercure ; Vénus ; Lune ; Jupiter ; Saturne ; Mars ; Uranus ; Neptune 5. La planète A possède un satellite de rayon R =1350 km dont la période de révolution autour de A (sur une trajectoire supposée circulaire) vaut T S = 5 j 2l h 03 min. calculer la distance séparant le centre du satellite au centre de la planète A (unité 10 3 km) 18,8 ; 188 ; 353,8 ; 419,7 ; 253,8 ; 92,6 ; 543,6 ; 612,5 82