How to irrigate a unit segment? Marc Bernot bernot@cmla.ens-cachan.fr «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.1/15
Mass transportation Discrete framework Optimize È Ð ÔµÑ Ôµ «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.2/15
Mass transportation Discrete framework Optimize È Ð ÔµÑ Ôµ «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.2/15
Mass transportation Continuous framework Optimize Ê Ü Ý ¾ Ü Ýµ «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.2/15
Mass transportation Continuous framework Optimize Ê Ü Ý ¾ Ü Ýµ «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.2/15
What is irrigation? 2 Straight paths are efficient 1 1 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.3/15
What is irrigation? 2 Straight paths are efficient But grouping mass together could be better 1 1 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.3/15
What is irrigation? 2 Straight paths are efficient But grouping mass together could be better 1 1 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.3/15
What is irrigation? 2 Straight paths are efficient But grouping mass together could be better Cost linear w.r.t length l 1 1 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.3/15
What is irrigation? m3 Straight paths are efficient But grouping mass together could be better Cost linear w.r.t length Cost concave w.r.t mass where Ñ ¾ µ «Ñ «½ Ñ«¾ Ñ ½ «½ ¼ m1 m2 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.3/15
µ È Ñ µ «Ð µ What is irrigation? m3da 3 Straight paths are efficient But grouping mass together could be better Cost linear w.r.t length Cost concave w.r.t mass where Ñ ¾ µ «Ñ «½ Ñ«¾ Ñ ½ «½ ¼ m1da 1 m2da 2 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.3/15
What is irrigation? m3da 3 Straight paths are efficient But grouping mass together could be better Cost linear w.r.t length Cost concave w.r.t mass where Ñ ¾ µ «Ñ «½ Ñ«¾ Ñ ½ «½ ¼ µ È Ñ µ «Ð µ Ñ ½ Æ ½ Ñ ¾ Æ ¾ is irrigating m1da 1 m2da 2 Ñ Æ «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.3/15
Optimum with two Dirac masses : an angle constraint m1da 1 m2da 2 µ Ñ «½ ½ Ñ «¾ ¾ Ñ «¾ a m3da 3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.4/15
µ Ñ «½ ½ Ñ «¾ ¾ Ñ «¾ µ ¼ Optimum with two Dirac masses : an angle constraint m1da 1 m2da 2 a m3da 3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.4/15
µ Ñ «½ ½ Ñ «¾ ¾ Ñ «¾ µ ¼ Ñ «Ò ½ Ñ «¾ ½ Optimum with two Dirac masses : an angle constraint m1da 1 m2da 2 n3 Ò ¾ Ñ «Ò ¼ n2 n1 m3da 3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.4/15
µ Ñ «½ ½ Ñ «¾ ¾ Ñ «¾ Ñ «Ò ½ Ñ «¾ ½ ½ ½ Ñ ½ Ñ ¾, ¾ Ñ Optimum with two Dirac masses : an angle constraint m1da 1 m2da 2 q 1 q 2 µ ¼ Ò ¾ Ñ «Ò ¼ ¾ Ñ ½ Ñ ¾ Ñ m3da 3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.4/15
µ Ñ «½ ½ Ñ «¾ ¾ Ñ «¾ Ñ «Ò ½ Ñ «¾ ½ ½ ½ Ñ ½ Ñ ¾, ¾ Ñ Optimum with two Dirac masses : an angle constraint m1da 1 m2da 2 q 1 q 2 µ ¼ Ò ¾ Ñ «Ò ¼ ¾ Ñ ½ Ñ ¾ Ñ Ó µ «½ ½ «¾ ¾ «½ ½ ¾ µ «¾ ½ «½ ¾ «Ó ¾ m3da 3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.4/15
µ Ñ «½ ½ Ñ «¾ ¾ Ñ «¾ Ñ «½ Ò ½ Ñ «¾ Ò ¾ Ñ «Ò ¼ ½ ½ Ñ ½ Ñ ¾, ¾ Ñ Optimum with two Dirac masses : an angle constraint m1da 1 m2da 2 q 1 q 2 µ ¼ ¾ Ñ ½ Ñ ¾ Ñ Ó µ «½ ½ «¾ ¾ «½ ½ ¾ µ «¾ ½ «½ ¾ «Ó ¾ ½ ½ «¾ If Ñ ½ Ñ ¾, Ó ½ µ Ó ¾ µ m3da 3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.4/15
The equiangle locus q 0 1 q The locus of points from which you see two points with a prescribed angle is the union of two circle arcs. «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.5/15
The optimal bifurcation point a1 a2 a3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.6/15
The optimal bifurcation point a1 a2 a3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.6/15
The optimal bifurcation point a1 a2 a3 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.6/15
Three possible different "topology" of the optimum q «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.7/15
Three possible different "topology" of the optimum q «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.7/15
Three possible different "topology" of the optimum q p-q «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.7/15
With two equal masses to be irrigated, the bifurcation circle arc has Ê radius with a prescribed angle such that «dependancy ½ Ò µ ¾ ½. ¾«½ Ó µ ¾ ½ when «½. Ê a=0.9 a=0 a=0.5 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.8/15
Atomic measure approximation of Lebesgue measure a=0 a=a c a=a c +e a=0.95 a=1 «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.9/15
Atomic measure approximation of Lebesgue measure 2 1 3 6 1 a=0 a=1 «¼ : best total length, bad average length «½ : bad total length, best length «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.9/15
Lebesgue measure irrigation a=0 a=1 «¼ : dissipation of mass all along the segment «½ : direct connection with every point of the segment «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.10/15
The source on the unit segment Approximate Lebesgue measure with Ò Dirac mass with weight ½ Ò. If the source is on the same line, then the optimum has the cost. Thus, when the cost tends to Ò Ò ½ Ê ½ ½ Ü. Ü«½ µ«¼ Ò Ò ½ È (n-1)/n 2/n 1/n With a pattern description optimal irrigation : Ô Øµ Ñ Ò Ô Øµ «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.11/15
Finite graph structure + dissipation? Assume that an optimum has a finite graph structure+dissipation. = + «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.12/15
Finite graph structure + dissipation? Assume that an optimum has a finite graph structure+dissipation. «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.12/15
Y versus T 0 s 1 q e 0 s-ce s+ce 1 d S Cost C Cost C e <C d S «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.13/15
A blow-up argument 0 s 1 ksd s-ks s k(1-s)d s+k(1-s) = + (1-k)sd s-ks (1-k)(1-s)d s+k(1-s) ds d S «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.14/15
A blow-up argument ksds-ks s k(1-s)ds+k(1-s) ksd0 s k(1-s)d1 Lebesgue measure on [s-ks;s+k(1-s)] Lebesgue([0;1])/(1-k) ds ds Optimal Optimal «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.14/15
A blow-up argument ksd0 s k(1-s)d1 sd 0 s (1-s)d1 Lebesgue([0;1])/(1-k) k 1 d S Optimal ds Should be optimal but is not «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.14/15
Further... Stability with respect to «, and «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.15/15
Further... Stability with respect to «, and Full description of optima for Æ Dirac masses approximation of Lebesgue «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.15/15
Switch between topologies w.r.t «, and Further... Stability with respect to «, and Full description of optima for Æ Dirac masses approximation of Lebesgue «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.15/15
Switch between topologies w.r.t «, and Further... Stability with respect to «, and Full description of optima for Æ Dirac masses approximation of Lebesgue Æ ½ «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.15/15
Switch between topologies w.r.t «, and Further... Stability with respect to «, and Full description of optima for Æ Dirac masses approximation of Lebesgue Æ ½ Dissipation or not? «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.15/15
Switch between topologies w.r.t «, and Further... Stability with respect to «, and Full description of optima for Æ Dirac masses approximation of Lebesgue Æ ½ Dissipation or not? Scaling laws, structure of an optimum «Régularité et singularités en optimisation de forme et frontières libres» p.15/15