Transferts de chaleur et de masse

Objectifs Transferts de chaleur et de masse Objectifs Introduire les notions théoriques à la base de transferts thermiques et de masse Établir leurs liens aux comportements de systèmes thermiques Arriver à une appréciation pratique d origines physiques de transferts à travers des exemples concrets, des méthodologies générales, mise en ouvre de l analyse de l ingénieur qui, même s il n est pas exacte, fournit néanmoins des informations utiles en ce qui concerne la conception et/ou la performance d un système ou un procédé particulier Une soucie majeure de cet enseignement est de s amener à discerner les processus de transferts et des hypothèses simplificatrices, identifier des variables indépendantes et dépendantes, développer des expression appropriées à partir des premiers principes, et introduire des éléments nécessaire à partir d une base de connaissance de transferts thermiques. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 1 / 21

Objectifs Contenu du cours 1. Rappel de notions de base de transferts thermiques 2. Convection thermique : généralités et équations 3. Convection thermique forcée en écoulements externes 4. Convection thermique forcée en écoulements internes 5. Convection libre 6. Echangeurs thermiques 7. Transfert thermique par rayonnement Le contrôle continu prendra la forme d un projet personnalisé Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 2 / 21

Prémbule Préambule Les sciences thermiques font intervenir : le stockage, le transfert et la conversion d énergie. Trois disciplines y interlacent : la thermodynamique, le transfert thermique et la mécanique des fluides. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 3 / 21

Prémbule Préambule En thermodynamique, on aprend que l énergie est transmise/échangée lors de l interaction de tout système avec son milieu extérieur à travars de ses frontières. Un tel échange d énergie prend la forme de : chaleur ( 1 J = 1 kg.m 2 /s 2 ), ou travail (J). Le système passe alors d un état d équilibre (état initial avant l échange) à un autre état d équilibre (à la fin de l échange). Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 4 / 21

Prémbule Rappel : Thermodynamique Premier principe de la thermodynamique : Pour un système fermé : U }{{} Changement de l énergie interne = Q 1 2 }{{} Chaleur échangée + W 1 2 }{{} Travail fait ou reçu Si le système est en mouvement : U }{{} + E c }{{} + E p }{{} Changement de Changement de Changement de l énergie interne l énergie cinétique l énergie potentielle Deuxième principe. Pour tout système isolé : ( ) d Q ds = T réversible, ds > réversible d Q T = 0, irréversible = Q 1 2 }{{} Chaleur échangée ( ) d Q T irréversible d Q T < 0. + W 1 2 }{{} Travail fait ou reçu Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 5 / 21

Prémbule Rappel : Transfert de chaleur finitions A (m 2 ) : aire de la surface (paroi) de l échange thermique n : vecteur normal extérieur à A, (.) p Flux thermique : Φ = dq (W= J/s) dt Intensité de flux thermique : ϕ = Φ/A (W/m 2 = J/s.m 2 ) Conductivité thermique : λ (W/K.m) Masse volumique ρ (kg/m 3 ), Chaleur volumique γ (J/m 3.K) Chaleur spécifique c (J/kg.K) h (W/m 2.K) coefficient de transfert thermique par convection Mode de transfert thermique Conduction thermique, lois de Fourier : ϕ = λ T, Convection thermique, loi de Newton : λ n ( T ) p = n ϕ = h(t p T ) loi de Stefan-Boltzman d échange thermique par rayonnement : ( ) Φ r = ε pσa Tp 4 Tenv 4 ε p 1 emissivité, facteur d emission de la surface Constante de Stefan-Boltzman, σ = 5, 67 10 8 W/m 2 K 4 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 6 / 21

Prémbule Rappel : Transfert de chaleur Équation de la conduction Matériaux homogènes et isotropes. Puissance générée par unité de volume : p (W/m 3 ) Équation, avec λ = Cte. : Diffusivité thermique α = λ/ρc (m 2 /s) T 1 T α t + p λ = 0. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 7 / 21

Exemples Exemple 1 Exemple - 1 Un long fil électrique de diamètre d = 1 mm est submergé dans un bain à l huile dont la température est de T = 25 C avec h = 10 W/m 2 K ; la résistance éléctrique du fil par unité de longueur est R e = 0.01 Ω/m. À l instant t = 0, un courant électrique de I = 20 A traverse le fil. (a) déterminer la température du fil quand le régime permanent est atteint. (b) Déterminer le temps pris, à compter de l application de courant électrique, pour que la température du fil atteigne sa valeur à l état du régime permanent à 1 C près. On se donne pour les propriétés du fil : la densité ρ = 8000 kg/m 3, la chaleur spécifique c = 500 J/kg.K, et la conductivité thermique λ = 20 W/m.K. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 8 / 21

Exemples Exemple 1 Solution 1. Le diamètre du fil est suffisamment petit ce qui rend la variation de la température à l intérieur du fil négligeable. 2. Dans un tel problème, on commence par le calcul de nombre de Biot, Bi Bi = h(d/2) λ = 10 4 10 3 20 = 0, 002 1 3. Puisque Bi 1, on peut utiliser la méthode de la capacité globale. 4. Le fil reçoit une puissance générée par le courant électrique donnée par P générée = 1 I 2 R e, par mètre de longueur, 5. Et cède, à tout instant, un flux thermique par convection donnée par Φ cédé = 1 πdh(t (t) T ), par mètre de longueur, 6. La différence entre ces deux grandeur fait augmenter la température du fil au cours du temps jusqu à l établissement de régime permanent. 7. Ainsi, on a suivant le premier principe de la thermodynamique 1 1 4 πd 2 ρ c dt = P générée Φ cédé = I 2 R e πdh(t (t) T ) }{{ dt } changement de l énergie interne par unité du temps Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 9 / 21

Exemples Exemple 1 Exemple - 1, continue... 1. D où dt dt = A B(T (t) T ), où A = I 2 R e 1 πd 4 2 ρc, B = πdh 1 πd 4 2 ρc 2. En posant θ = (T (t) T ), cet équation se transforme en dθ dt + Bθ = A 3. La solution de cette équation est donnée par : 4. C 0 est une constante de l intégration. θ = (A/B) + C 0e Bt Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 10 / 21

Exemples Exemple 1 Exemple - 1, continue... (a) Le régime permanent est atteint quand t ce qui conduit à : θ = A/B Selon les données du problème on trouve : A = I 2 R e 1 πd 4 2 ρc = 20 2 0, 01 0, 25 π 10 6 8000 500 B = = 1, 273 K/s, πdh 1 πd 4 2 ρc = 10 3 10 0, 25 10 6 8000 500 = 0, 01 s 1, et A/B = 127, 3 K. D où, la température du fil à l état du régime permanent est : T (t ) = (A/B) + T = 152, 3 C. Remarques : On aurait peut déterminer T (t ) en considérant l état permanent où I 2 R e 1 = (πd 1)h(T (t ) T ) ce qui conduit au même résultat. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 11 / 21

Exemples Exemple 1 Exemple - 1, continue... (b) Commençons par déterminer C 0. À l état initiale T (0) = T = 25 C. Donc, 0 = (A/B) + C 0 = C 0 = (A/B). La solution est donc θ = (A/B)(1 e Bt ) Nous cherchons t tel que θ( ) θ(t) = 1 C. Ainsi, 1 = (A/B) (A/B)(1 e Bt ) = (A/B)e Bt, d où t = 1 B ln(b/a) = 1 ln 127, 3 = 484, 4 s 8 min. 0, 01 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 12 / 21

Exemples Exemple 2 Exemple - 2 Problème On considère une barre cylindrique, de diamètre D, resistivité éléctrique par unité de longueur ϱ et de longueur L. La barre est en équilibre thermique avec le fluide environnant, T. Un courant éléctrique I perturbe cet équlibre à l instant t > 0. Déterminer l équation régissant l évolution de la température au cours de temps. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 13 / 21

Exemples Exemple 2 Solution Application de premier principe : Puissance générée (reçue) : Φ g = +ϱli 2. du dt = dq dt + dw dt Puissance cédée par convection Φ c = (πdl) h(t T ) ( ) Puissance cédée par rayonnement Φ r = εσ(πdl) T 4 Tenv 4 Changement de puissance en stockage : du dt = Φ int = d dt (ρvct ) = ρπ(d2 /4)Lc dt dt Bilan de l énergie, travail nul : 1 4 ρcπd2 L dt ( ) dt = ϱli 2 (πdl) h(t T ) εσ(πdl) T 4 Tenv 4 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 14 / 21

Conduction en régime variable révisité Milieu semi-inifini Conduction en régime transient Conduction en milieu semi-infini On considère un milieu solide soumis subitement à un changement de tempéraure à une partie de ses frontières. Un tel milieu se comporte comme un milieu infini en comparaison avec la region de changement de température initiale. Exemples : une paroi d épaisseur suffisamment grande tel que le changement de température appliquée sur une face ne soit pas ressentie par l autre surface. exemple : la terre! Une barre solide pointue à une extrémité et de section constante à l autre, la lame d une épée par exemple. La distribution de la température peut se présenter comme de surfaces parallèle à des température constantes. La température ne varie ainsi que dans la direction normale à ces surfaces. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 15 / 21

Conduction en régime variable révisité Formulation mathématique Problème mathématique L équation E.D.P. + Conditions initiale et aux limites L équation : 2 T x = 1 T 2 α t Température initiale T i Le milieu est réfroidi/chauffé à la température T Différence caractéristique de température : T = T i T Analyse dimensionnelle et similitude : La température dépend de t, T, α et x car il n y a pas de longueur caractéristique : (T T ) = F (t, x, α, T ) On trouve (T T ) = F (x/ αt) Soit T T = Θ = F (x/ αt) = F (ζ) T i T Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 16 / 21

Conduction en régime variable révisité Solution autosemblable Solution autosemblable En posant Θ = (T T )/(T i T ), ζ = x/ αt, il vient : T ( Θ Θ ζ = T = T t t ζ t = T x ) Θ 2t αt ζ = T 2t ζ Θ ζ ; T x 2 Θ x 2 Θ ζ = T ζ x = T Θ αt ζ ; = T 2 Θ Θ αt ζ 2 x = T αt 2 Θ ζ 2. Alors, l équation régissant Θ est : d 2 Θ dζ 2 = 1 2 ζ dθ dζ Condition initiale : T (x, t = 0) = T i = Θ(ζ ) = 1 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 17 / 21

Conduction en régime variable révisité Solution autosemblable Différentes conditions aux limites = Différentes solutions Conditions aux limites, Température imposée à la surface : T (x = 0, t) = T = Θ(ζ = 0) = 0 Température suffisamment loin de la surface : T (x, t) = T i = Θ(ζ ) = 1 Solution- première intégration : Deuxième intégration : dθ dζ 2 = /4 C1 e ζ, C 1 = Cte. ζ Θ = C 1 e ζ2 /4 dζ + Condition Θ(ζ ) = 1 conduit à : 0 1 = C 1 0 Condition aux limites Θ=0 {}}{ Θ(0) e ζ2 /4 dζ = C 1 = 1 π. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 18 / 21

Conduction en régime variable révisité Solution : T imposée Solution - continue Finalement : Θ = 1 ζ e ζ2 /4 dζ = 2 ζ/2 e r 2 dr erf(ζ/2) π π 0 Remarques : η erfc(η) = e η2 dη = 1 e η2 dη = 1 erf(η). 0 0 Θ 0, 99 quand ζ/2 1, 8214 D où : ζ 2 = x 2 αt 1, 8214 ou x δ 99 = 3, 64 αt. 0 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 19 / 21

Conduction en régime variable révisité Exercices Exercices Flux imposée à la surface : T (x = 0, t) λ = ϕ 0 = Cte. t Transfert thermique par convection imposé à la surface : T (x = 0, t) λ = h(t (x = 0, t) T ) t Contact brusque entre deux milieux semi-infinis : λ 1 T 1(x = 0, t) x = λ 2 T 2(x = 0, t) x Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 20 / 21

Conduction en régime variable révisité Exercices Problème I : Température sinusoïdale imposée en surface On cherche à déterminer la température au-dessous de la surface de la terre qui est soumise à une variation sinusoïdale annuelle de température ambiante. Température à la surface T 0 cos ωt ω : fréquence d oscillation annuelle. Problème II : Barre d épaisseur finie en régime transient On considère une longue barre rectangulaire d épaisseur d, de largeur très grande par rapport à d. La barre est à une température uniforme T 0 à t 0. À l instant t > 0, la surface y = d est mise en contacte avec une source thermique à T s > T 0 tandis que la surface y = 0 est mise en contacte avec une source thermique à T 0. Déterminer l évolution de la température T (y, t), 0 y d, t > 0. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 21 / 21