THERMIQUE Sommaire Chap 1: Les trois modes de transfert thermique...3 I.Conduction+...3 II.Conducto-convection...3 III.Rayonnement...3 Chap 2: Conduction...4 I.Équation de la chaleur dans un problème à une dimension x...4 A.Invariances et symétries...4 B.Bilan pour un système fini pendant une durée finie...4 1Variation d'enthalpie ou terme de stockage...5 2Chaleur reçue ou terme d'échange ou terme de flux...5 3Bilan...5 C.Bilan pour un système élémentaire pendant une durée élémentaire...5 1Variation élémentaire d'enthalpie...6 2Chaleur élémentaire reçue...6 3Bilan élémentaire...6 D.Équation de la diffusion thermique ou équation de la chaleur en l'absence de sources...7 E.Commentaires...8 II.Équation de la chaleur en présence de sources dans un problème à une dimension x...8 A.Bilan pour un système fini pendant une durée finie...8 B.Bilan pour un système élémentaire pendant une durée élémentaire...9 C.Équation de la diffusion thermique en présence de sources...10 III.Équation de la chaleur en présence de sources dans un problème à symétrie sphérique...10 IV.Conduction en régime permanent...12 A.Régime permanent et présence de sources...12 B.Régime permanent et absence de sources...12 1Notion de résistance thermique...12 2Calcul de résistances thermiques...13 La formule de base...13 Conductance dans un problème à symétrie cylindrique...13 Résistance dans un problème à symétrie sphérique...14 Chap 3: Conducto-convection...16 Chap 4: Rayonnement...17 I.Les flux surfaciques hémisphériques...17 II.Le rayonnement d'équilibre...17 A.Notion d'équilibre thermodynamique et radiatif...17 B.Les lois...17 1Loi de Planck...17 Énoncé...17 Les trois constantes fondamentales qui apparaissent...17 Les flux concernés...17 2Loi de Wien...18 Énoncé de la loi de Wien...18 1/19
Démonstration:...18 3Loi de Stefan...18 Énoncé de la loi de Stefan...18 Démonstration...19 4Étendue spectrale de rayonnement...19 III.Le corps noir...19 (Éléments mis à jour 01/2013) 2/19
Chap 1: Les trois modes de transfert thermique La loi de Fourier: j= k grad T I. Conduction+ II. Conducto-convection La loi de Newton: solide fluide =h T solide T fluide La loi de Stefan: = T 4 III. Rayonnement 3/19
Chap 2: Conduction I. Équation de la chaleur dans un problème à une dimension x On considère un problème de diffusion thermique dans le cas particulier d'une diffusion à une dimension selon x dans un milieu homogène de conductivité k, de masse volumique, de chaleur massique c. A. Invariances et symétries Le problème est invariant selon y et z donc: et j= k grad T j= k T x,t x u x T =T x,t j= j x,t u x B. Bilan pour un système fini pendant une durée finie Bilan pour le système compris entre les abscisses x 1 et x 2 (avec x= x 2 x 1 ) entre les instants t 1 et t 2 (avec t=t 2 t 1 ) S système x 1 x 2 Si le système évolue à volume constant Pas de travail des forces de pression U = Q reçue 4/19
Si le système évolue à pression constante H = Q reçue On suppose que le système évolue à pression constante. 1 Variation d'enthalpie ou terme de stockage H =H t 2 H t 1 variation d'enthalpie du système. H = x 2 =x 1 x x 1 dm c T x,t 2 T x,t 1 H = x 2 =x 1 x x 1 S c T x,t 2 =t 1 t T x,t 1 dx 2 Chaleur reçue ou terme d'échange ou terme de flux Q reçue «chaleur» échangée avec extérieur «chaleur» reçue transfert de «chaleur» à la frontière terme de flux thermique Q reçue = 3 Bilan t 2 =t 1 t t 1 entrant enx1 dt Q reçue = t 2 =t 1 t t 1 Le bilan cherché est donc le suivant: x 2 =x 1 x x 1 t 2 =t 1 t t 1 t 2 =t 1 t = t 1 sortant en x2 = x 1 x dt S j x 1, t j x 2 = x 1 x,t dt S c T x,t 2 =t 1 t T x,t 1 dx S j x 1, t j x 2 =x 1 x,t dt C. Bilan pour un système élémentaire pendant une durée élémentaire 5/19
L'expression précédente est difficilement utilisable. On veut une équation en x (une seule valeur) et en t (une seule valeur). 1 Variation élémentaire d'enthalpie H = devient x 2 =x 1 x x 1 S c T x,t 2 =t 1 t T x, t 1 dx pour x et t d H =S c T x,t 2 =t 1 t T x,t 1 dx pour d x et t et pour d x et d t soit finalement d 2 H =S c T x,t dt dx t d 2 H =S c T x,t dt T x, t dx d 2 H =S c T x, t t dt dx 2 Chaleur élémentaire reçue Q reçue = devient t 2 =t 1 t t 1 S j x 1, t j x 2 = x 1 x,t dt pour x et t Q reçue =S j x 1, t j x 2 = x 1 x, t dt pour x et d t et pour d x et d t soit finalement 2 Q reçue =S j x, t dx dt x 2 Q reçue =S j x, t j x d x,t dt 2 Q reçue = S j x, t dx dt x 3 Bilan élémentaire Le bilan cherché est donc le suivant: 6/19
S c T x,t j x, t dx dt= S dx dt t x d 2 H = 2 Q reçue Le bilan en puissance en t ( dt n'intervient plus ) est le suivant: S c T x,t dx= S t j x,t dx x de plus, avec des puissances linéiques en S c T x,t j x,t = S t x x ( dx n'intervient plus) En simplifiant par S, on obtient l'équation différentielle aux dérivées partielles en x et en t : c T x,t j x, t = t x (dans le cas à trois dimensions, on aurait obtenu, en posant h v = ct, enthalpie volumique en M, t : h V M,t = div j M, t t soit: div j M,t = h V M,t t D. Équation de la diffusion thermique ou équation de la chaleur en l'absence de sources On remplace j par son expression en fonction de T à une dimension c c T x,t j x,t = t x T x,t =k 2 T x,t t x 2 2 T x,t c x 2 k T x,t =0 t et en introduisant la diffusivité thermique : 7/19
D= k c 2 T x,t 1 x 2 D T x,t =0 t à trois dimensions div j M,t = h V M,t t k T M, t = c T M,t t T M,t 1 D T M,t =0 t E. Commentaires 1) il s'agit d'une pde (équation différentielle aux dérivées partielles) et non d'une ode (équation différentielle ordinaire) 2) dimension de la diffusivité D évidente en déterminant les dimensions dans l'équation différentielle [ D]= L 2 T 1 3) la dérivée première intervenant dans la pde traduit l'irréversibilité ( non t-réversible) contrairement à l'équation d'onde de Le Rond d'alembert ( la dérivée seconde traduit la t- réversibilité) 4) pour l'équation de d'alembert, temps caractéristique et longueur caractéristique sont liés par L=c. Ici, on obtient L 2 =D (cf: marche au hasard) : la diffusion s'émousse en progressant. II. Équation de la chaleur en présence de sources dans un problème à une dimension x A. Bilan pour un système fini pendant une durée finie On doit ajouter le terme de chaleur produite. H = Q reçue + Q produite avec: Q produite «chaleur» produite à l'intérieur 8/19
«chaleur» créée terme de source ( un terme de puits est négatif) terme de production Q produite = avec P source = t 2 =t 1 t t 1 volume du système P source t dt p V M,t d Q produite = t 2 =t 1 t t 1 x 2 = x 1 x x 1 p V x,t S dx dt Le bilan cherché devient donc le suivant: x 2 =x 1 x x 1 t 2 =t 1 t = t 1 S c T x,t 2 =t 1 t T x,t 1 dx S j x 1, t j x 2 =x 1 x,t dt t 2 =t 1 t t 1 x 2 = x 1 x p V x,t S dx dt x 1 B. Bilan pour un système élémentaire pendant une durée élémentaire Q produite = devient t 2 =t 1 t x 2 = x 1 x t 1 x 1 p V x,t S dx dt pour x et t 2 Q produite = p V x,t S dx dt Le bilan cherché est donc le suivant: d 2 H = 2 Q reçue 2 Q produite S c T x,t j x, t dx dt= S dx dt S p t x V x, t dx dt 9/19
c T x, t j x, t = p t x V x, t (dans le cas à trois dimensions, on aurait h V M,t = div j M,t p t V M,t ou encore, en formulant comme en électromagnétisme: div j M,t = h V M,t p t V M,t C. Équation de la diffusion thermique en présence de sources à une dimension c T x,t t =k 2 T x,t p x 2 V x,t et en introduisant la diffusivité thermique : 2 T x,t 1 x 2 D T x,t = p V x,t t k à trois dimensions T M,t 1 D T M,t = p V M,t t k III. Équation de la chaleur en présence de sources dans un problème à symétrie sphérique Le problème est à symétrie sphérique donc T =T r, t et j= j r,t u r On considère comme système le volume élémentaire compris entre la sphère de rayon r et celle de rayon r dr. On a (à pression constante) pendant dt d 2 H = 2 Q reçue 2 Q produite 10/19
d 2 H =dm c T t dt avec dm= d = 4 r 2 dr d 2 H = 4 r 2 dr c T t dt De plus 2 Q reçue = r,t dt r dr,t dt= r avec r,t = j ds = j r,t 4 r 2 Sphère r soit 2 Q reçue = 4 r2 j r,t r dr dt et en utilisant la loi de Fourier: j= k grad T dr dt 2 Q reçue =4 k r T r2 dr dt r Enfin: 2 Q produite = p V d dt 2 Q produite = p V 4 r 2 dr dt Finalement 4 r 2 dr c T t dt=4 k 2 T r r r dr dt p V 4 r 2 dr dt soit en divisant par 4 k r 2 dr dt c k T t = 1 T r 2 r2 r r p V k et en introduisant la diffusivité D= k c 11/19
on retrouve le laplacien de T 1 T r 2 r r2 r 1 T D t = p V k T 1 D T t = p V k IV. Conduction en régime permanent A. Régime permanent et présence de sources On aura pour un système fini pendant une durée élémentaire Q sortante = Q produite à l ' intérieur du système ou en terme de puissance P sortante = P produite à l ' intérieur du système On pourra, dans les problèmes de haute symétrie, déterminer j théorème de Gauss» j ds=p produite à l ' intérieur du système S en utilisant «une sorte de B. Régime permanent et absence de sources 1 Notion de résistance thermique Q sortante =0 La chaleur qui entre doit ressortir. Il existe un courant thermique qui traverse le système (comme une intensité continue qui parcourt une résistance électrique). D'où l'existence d'une résistance thermique. On aura (en convention récepteur) T =R thermique Remarque Pour qu'existe une résistance thermique de conduction, il faut au niveau local: rot j= 0 et 12/19
div j=0 ou avec des Laplaciens: T =0 et j= 0 (équation de Laplace) 2 Calcul de résistances thermiques La formule de base Un fil cylindrique de section S de longueur l et de conductivité thermique est isolé thermiquement au niveau de la surface latérale. On se place en régime permanent. La section en x=0 est à la température T 1 et la section en x=l est à la température T 2. Bilan thermique pour une tranche dx du fil (à pression constante) pendant dt en régime permanent d 2 H = 2 Q entrant 2 Q produit 0= x dt x dx dt 0 donc on peut décrire le flux de «chaleur» par un courant indépendant de x dans le fil. En utilisant la loi de Fourier: j= grad T on obtient dt = S dx on intègre entre deux extrémités: T 2 T 1 = S l 0 et finalement «en convention récepteur»: T 1 T 2 = l S. On obtient pour la résistance de conduction R conduction = l S Conductance dans un problème à symétrie cylindrique Conductance thermique par unité de hauteur pour un conducteur thermique de conductivité k compris entre deux cylindres coaxiaux R 1 R 2. Le courant thermique par unité de hauteur est noté. Le problème est à symétrie cylindrique j= j r u r.on considère comme surface fermée particulière un cylindre S de base circulaire, de hauteur L, de rayon r compris entre R 1 13/19
et R 2. Le flux est nul pour les deux bases circulaires donc: L= j ds= j r 2 r L finalement: S j= 2 r u r. On utilise la loi de Fourier: j= k grad T donc: k dt dr = 2 r T 2 dt = 1 T 1 R 2 2 k R 1 dr r T 1 T 2 = 1 2 k ln R 2 R 1 en utilisant = g thermique T 1 T 2 g thermique =2 k 1 ln R 2 R 1 c'est, bien entendu, la conductance thermique par unité de hauteur, et non la résistance thermique par unité de hauteur, qu'il convient de définir ici. La résistance est ici inversement proportionnelle à la hauteur alors que la conductance est proportionnelle à la hauteur (puisque le flux ou puissance ou courant est proportionnel à la hauteur). Résistance dans un problème à symétrie sphérique Expression de la résistance thermique pour un conducteur thermique de conductivité entre deux sphères concentriques R 1 R 2. k compris Le problème est à symétrie sphérique j= j r u r.on considère comme surface particulière une sphère S de rayon r compris entre R 1 et R 2 donc = j ds= j r 4 r 2 finalement S j= 4 r u 2 r. On utilise la loi de Fourier: j= k grad T donc: k dt dr = 4 r 2 14/19
T 2 dt = 1 T 1 R 2 4 k R 1 dr r 2 en utilisant T 1 T 2 =R thermique T 1 T 2 = 1 4 k 1 R 1 1 R 2 R thermique = 1 4 k R 2 R 1 R 2 R 1 15/19
Loi de Newton: Chap 3: Conducto-convection Utilité pour écrire les conditions aux limites. solide fluide =h T solide T fluide On peut toujours définir une résistance de conducto-convection. Au niveau de la surface extérieure S, le flux surfacique de conducto-convection est conducteur ambiant =h T T ambiant donc =h T T ambiant S et «en convention récepteur»: T T ambiant = 1 h S.On peut définir la résistance de conducto-convection: R cc = 1 h S Exercice: cas de l'ailette cylindrique On obtient pour une tige de rayon R dans l'ambiant à T 0 : j T = c z t 2h R T T 0 puis 2 T z 1 T 2 D t = 2h R T T 0 16/19
Chap 4: Rayonnement I. Les flux surfaciques hémisphériques (incident, réfléchi+diffusé, absorbé, émis) définition du flux surfaciques radiatifs ( R = partant-incident) cas du corps noir ( R = émis-incident) II. Le rayonnement d'équilibre A. Notion d'équilibre thermodynamique et radiatif B. Les lois 1 Loi de Planck Énoncé Le flux surfacique du rayonnement d'équilibre à la température T est réparti sur les différentes longueurs d'onde selon une distribution spectrale g,t. La loi de Planck donne g,t = d 2 h c2 1 = d 5 h c exp k B T 1 Les trois constantes fondamentales qui apparaissent c : vitesse de la lumière avec c 3.10 8 m s 1 h : constante de Planck avec h 6,63.10 34 J s (Pour l'unité, penser à W =h ) k B : constante de Boltzmann avec k B 1,3810 23 J K 1 (Pour la valeur numérique R constante des gaz parfaits penser à k B = = 8,314 N A nombre d ' Avogadro 6,02. 10 23 et pour l'unité penser à E c molécule de gaz parfait monoatomique =3 1 2 k T ) Les flux concernés La loi de Planck concerne des flux hémisphériques (pour un demi espace). Il s'agit des flux incidents et partant (les deux flux sont égaux à l'équilibre radiatif) qui sont indépendants de la nature des corps opaques en équilibre radiatif et thermique avec le rayonnement. 17/19
(les flux émis et absorbés dépendent eux de la nature des corps opaques) 2 Loi de Wien Énoncé de la loi de Wien La densité spectrale de flux surfacique du rayonnement d'équilibre présente un maximum pour une longueur d'onde M inversement proportionnelle à la température T. On a (voir démonstration pour la valeur exacte) M T 3000 m.k Démonstration: 2 h c2 1 g, T = 5 h c exp k B T 1 on choisit = h c k B T comme nouvelle variable à T donné g = 2 k 5 B T 5 h 4 c 3 5 5 T 5 exp 1 = 2 k B h 4 c 3 f On dérive f pour obtenir l'extremum de g. On obtient pour cet extremum exp =1 à résoudre par calcul approché pour obtenir 5 d'où M T. Il est finalement plus simple de déterminer graphiquement à la calculatrice le max de f. On trouve pour ce maximum: x=4,96511 et y=21,2014. Finalement M T =2898 m. K 3 Loi de Stefan Énoncé de la loi de Stefan La flux surfacique hémisphérique total du rayonnement d'équilibre croit proportionnellement à T 4. On a : = T 4 avec : constante de Stefan (voir démonstration pour la valeur numérique) 18/19
Démonstration 2 h c2 1 g, T = 5 h c exp k B T 1 on choisit = hc k B T comme nouvelle variable à T donné. on a donc d = hc k B T d 2 = = g,t d =0 =2 h c 2 k 5 B T hc = 2 h 3 c 2 k B 4 = =0 hc =0 k B T = 3 exp 1 d T 4 3 exp 1 d On a donc obtenu = T 4 avec =2 h 3 c 2 k B 4 = =0 =2 h 3 c 2 k B 4 4 15 3 exp 1 d = 2 5 k B 4 15 h 3 c 2 6 10 8 (Valeur exacte 5,67 10 8 ) unité: W m 2 K 4 4 Étendue spectrale de rayonnement III. Le corps noir Définition d'un corps noir Flux surfacique radiatif et sa linéarisation ( h R ) 19/19