COMPÉTENCES MINIMALES Les notions suivantes sont tirées du plan d'étude et sont donc obligatoires. Elles sont illustrées par des exemples. DEUXIEME ANNÉE - PREMIER SEMESTRE 1. Équations exponentielles et logarithmes " ( ) c + d - Savoir résoudre des équations du type a! x + b #$ Exemple 1 : Résoudre les équations suivantes : 80 = x 4 4x 3 = 20 % = e où a,b,c,d,e (!. &' 1,55 = ( x + 1) 2 65 = 3! ( x + 2) 5 - Calculer des logarithmes en base plus petite ou égale à dix par retour à la définition ( x = log a b ( )! a x = b ). Exemple 2 : Calculer sans utiliser votre calculatrice et en justifiant votre réponse : log 3 27 ( ) = log 5 ( 1) = log( 0,001) = - Savoir résoudre des équations du type a x = b où a,b!! + *. Exemple 3 : Résoudre les équations suivantes : 3 x = 5 ( 1+ 2% ) x = 1,5 - Modéliser des problèmes simples et savoir les résoudre. Exemple 4 : Le célèbre jeu télévisé, le Tic-Tac, est un jeu d'une heure de questions réponses : tant que le candidat peut répondre, il continue à jouer ; mais s'il se trompe, il doit quitter le jeu. Lorsqu il quitte le jeu empoche alors l'argent de la cagnotte en partant. La cagnotte contient, au départ, 50 francs. Au début de l'émission le candidat doit choisir entre l'option A et l'option B pour faire "avancer la cagnotte" : Option A : ajouter 100 francs à la cagnotte toutes les minutes. Option B : toutes les minutes, multiplier par 1,1 le montant de la cagnotte. Au bout de combien de minutes pourrait-on gagner 1 million de francs? ECOLE DE COMMERCE / Annexe 2CFCi : exemples d exercices Page 1 sur 6
2. Mathématiques financières - Savoir résoudre des problèmes de capitalisation dont l'inconnue peut être chacune des variables. Exemple 5 : Déterminer la valeur acquise par un capital de CHF 10'500.-- placé au taux annuel de 3% pendant 11 ans. Exemple 6 : Quel est le capital qui, placé à intérêts composés au taux annuel de 4,75 % pendant 8 ans, est devenu CHF 100'000.--? Exemple 7 : L'intérêt produit par un capital en trois ans est de 15% de sa valeur initiale. Déterminer le taux annuel d'intérêt. Exemple 8 : Le 1 er janvier 1995, on a déposé sur un compte d'épargne une somme de CHF 7'000.-- Le taux annuel d'intérêt est de 3%. A partir de quelle date pourra-t-on disposer d'un capital de CHF 9'000.--? - Savoir calculer des taux d'intérêt équivalents avec un certain nombre de chiffres significatifs donnée. Exercice 9 : Déterminer le taux d intérêt semestriel équivalent à un taux annuel de 2 %. Réponse arrondie à 3 chiffres significatifs. - Savoir résoudre des problèmes de capitalisation avec des périodes entières ou décimales. Exercice 10 : Déterminer la valeur acquise au 31 mars 2015, par un capital de CHF 3 000.-- déposé le 1 er janvier 2011 à un taux annuel de 1,5%. - Savoir résoudre des problèmes de dettes. Exercice 11 : Déterminer la valeur actuelle d'une dette de CHF 8'395.-- exigible dans 4 ans et 6 mois, le taux annuel d'intérêt étant de 5,5%. ECOLE DE COMMERCE / Annexe 2CFCi : exemples d exercices Page 2 sur 6
- Savoir résoudre des problèmes d'annuité dont l'inconnue peut être chacune des variables suivantes : nombre de versements, montant des versements, valeur de l'annuité. Exercice 12 : On a placé chaque 1 er janvier, du 1.1.11 au 1.1.20, CHF 2'500.-- Quel sera le capital constitué le 1.1.20, le taux annuel étant de 4,5%? Exercice 13 : Si l'on verse CHF 500.-- par mois sur un compte d'épargne, quelle somme sera accumulée immédiatement après le 60 ème versement, dans l'hypothèse que le taux d'intérêt est de 4,5% l'an? Exercice 14 : Un capital de CHF 30'000.-- doit être constitué, (au moment du dernier versement), par des annuités de CHF 5'000.-- Le taux d'intérêt est de 3,5%. a) Déterminer le nombre d'annuités à verser. b) Pour le versement supplémentaire (VS) on envisagera les possibilités suivantes : 1) le VS est effectué au moment du versement du dernier terme; 2) le VS est effectué au moment du versement du premier terme; 3) le VS est effectué une année après le versement du dernier terme; 4) de combien faut-il augmenter le terme de l'annuité pour répartir le VS sur chacun des versements? - Savoir résoudre des problèmes utilisant la loi de capitalisation et les annuités. Exercice 15 : Déterminer la valeur d'une annuité de 16 versements de CHF 7'500.-- chacun, deux ans après le dernier versement. Le taux (annuel) est de 5% lors des premiers versements, et il passe à 4% à l'échéance du 7 ème versement. Exercice 16 : Sur un compte d'épargne, on a versé : CHF 40'000.-- le 1 er janvier 2009 ; puis chaque 1 er janvier, du 1.1.11 au 1.1.19, CHF 5'000.-- Le taux d'intérêt annuel est de 4%. De quel capital pourra-t-on disposer le 1 er janvier 2021? ECOLE DE COMMERCE / Annexe 2CFCi : exemples d exercices Page 3 sur 6
- Savoir résoudre des problèmes de remboursements d'emprunt par versements constants, de rente et de leasing automobile. Exercice 17 : Un particulier emprunte CHF 80'000.-- à 9,1% (taux annuel) contre l'engagement de verser une annuité de 15 termes. Déterminer la valeur de chaque versement annuel, sachant que le premier versement doit être effectué quatre ans après l'emprunt. Exercice 18 : Une commune qui a emprunté CHF 200'000.-- à 4% consacre annuellement CHF 13'679.-- à éteindre cette dette. Dans combien de temps sera-t-elle libérée? (Le premier versement est effectué une année après l'emprunt; le VS est effectué en même temps que le versement de la dernière annuité). Exercice 19 : J'aimerai acheter une voiture en leasing à CHF 34 000.-- Mon banquier me propose la solution suivante : je dois fournir CHF 1 000.-- d'acompte dès le départ et je peux avoir un leasing à CHF 500.-- sur 4 ans (je paye tous les mois). Le taux d intérêt annuel est de 1,7 %. A la fin du leasing, je peux racheter ma voiture à CHF 10 000.-- Est-ce avantageux? ECOLE DE COMMERCE / Annexe 2CFCi : exemples d exercices Page 4 sur 6
COMPÉTENCES MINIMALES Les notions suivantes sont tirées du plan d'étude et sont donc obligatoires. Elles sont illustrées par des exemples. Remarque : seul le sujet «statistique» est présenté avec des réponses aux exercices. DEUXIEME ANNÉE DEUXIEME SEMESTRE 3. Statistique bivariée - Savoir résoudre des problèmes de statistique descriptive bivariée Exemple 1: Un directeur de banque aimerait savoir s il existe une relation entre le revenu annuel (X) d une famille et le montant d argent consacré à l épargne (Y), pour un échantillon de 10 familles. Il a obtenu les résultats suivants (en 10 4 CHF ) : Revenu (X) en CHF 12 15 13 10 10 14 16 18 16 14 Epargne (Y) en CHF 0.2 1.2 1 0.7 0.3 1 1.6 1.4 1.2 0.7 a) Faire le nuage de points qui représente cette situation. b) Existe-t-il une relation entre les deux variables? c) Déterminer l équation de la droite de régression. d) Quel montant d argent ce directeur peut-il espérer qu une famille à revenu annuel de CHF 110'000.-- consacre à l épargne? Réponses : a) ECOLE DE COMMERCE / Annexe 2CFCi : exemples d exercices Page 5 sur 6
b) D après le graphique, nous pouvons dire qu il y a un certain lien entre le revenu et la somme épargnié. Calculons le coefficient de corrélation linéaire : On trouve : i Revenu Epargne 1 12 0.2 2.4 144 0.04 2 15 1.2 18 225 1.44 3 13 1 13 169 1 4 10 0.7 7 100 0.49 5 10 0.3 3 100 0.09 6 14 1 14 196 1 7 16 1.6 25.6 256 2.56 8 18 1.4 25.2 324 1.96 9 16 1.2 19.2 256 1.44 10 14 0.7 9.8 196 0.49 Total 138 9.3 137.2 1966 10.51 x = 138 10 = 13,8 v x = 1966 10!13,82 = 6,16! x = v x = 2,48 Donc : y = 9,8 10 = 0,93 v y = 70,51 10! 0,932 = 0,19! y = v y = 0,44 cov( x,y) " x = i! y i # x! y = 137,2 #13,8!0,93 = 0,89 n 10 r = cov ( x,y ) =! x "! y 0,89 2,48"0,44 = 0,82 < 1 Comme r est proche de 1 (r>>0,7), on dit que la corrélation entre X et Y est forte. c) Calcul de la pente et de l ordonnée selon les formules : a = cov ( x,y ) = 0,89 = 0,14 b = y! a" x = 0,93! 0,14 "13,8 =!1,01 v x 6,16 Donc l équation de la droite sera y = 0,14x!1,01. d) La famille devrait épargner un montant de y = 0,14!11"1,05 = 0,49, soit une somme de CHF 4'900.-- ECOLE DE COMMERCE / Annexe 2CFCi : exemples d exercices Page 6 sur 6