Décembre 2015 lycée Franco Australien de Canberra Narrabundah College Baccalauréat blanc n 1 MATHEMATIQUES Terminale S obligatoire + spécialité) * * * * * * * DUREE DE L EPREUVE = 4 h 00 * * * * * * * L usage de la calculatrice est autorisé. L usage du dictionnaire n est pas autorisée. - - - - - - - - - - - - - - - Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. Dès qu il vous est remis, assurez vous qu il est complet - - - - - - - - - - - - - - - La présentation et la rédaction seront prises en compte dans la notation. Toute traces de recherches, mêmes non abouties, seront valorisées dans la notation. 1
EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 3 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant trois questions indépendantes. Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l affirmation exacte. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Dans l espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A1 ; 1 ; 1), B1 ; 1 ; 1), C0 ; 3 ; 1) et le plan P d équation 2x + y z + 5 = 0. Question 1 Soit D 1 la droite de vecteur directeur u 2 ; 1 ; 1) passant par A. Une représentation paramétrique de la droite D 1 est : a. c. x = 2 + t y = 1 t z = 1 t x = 5 + 4t y = 3 2t z = 1 + 2t t R) b. t R) d. Question 2 Soit D 2 la droite de représentation paramétrique a. La droite D 2 et le plan P ne sont pas sécants b. La droite D 2 est incluse dans le plan P. x = 1 + 2t y = 1 t z = 1 + t x = 4 2t y = 2 + t z = 3 4t x = 1 + t y = 3 t z = 2 2t 1 c. La droite D 2 et le plan P se coupent au point E 3 ; 7 3 ; 10 ). 3 4 d. La droite D 2 et le plan P se coupent au point F 3 ; 1 3 ; 22 ). 3 Question 3 a. L intersection du plan P et du plan ABC) est réduite à un point. b. Le plan P et le plan ABC) sont confondus. c. Le plan P coupe le plan ABC) selon une droite. d. Le plan P et le plan ABC) sont strictement parallèles. 2 t R). t R) t R)
EXERCICE 2 Commun à tous les candidats 6 points Partie A Soit u la fonction définie sur ]0 ; + [ par ux) = lnx) + x 3. 1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l intervalle ]0 ; + [. 2. Démontrer que l équation ux) = 0 admet une unique solution α comprise entre 2 et 3. 3. En déduire le signe de ux) en fonction de x. Partie B Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f x) = 1 1 ) [lnx) 2] + 2. x On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. 1. Déterminer la limite de la fonction f en 0. 2. a. Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle ]0 ; + [, f x) = ux) où u est la fonction définie dans la partie A. b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. x 2 Partie C Soit C la courbe d équation y = lnx). 1. Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle ]0 ; + [, f x) lnx) = 2 lnx). x En déduire que les courbes C et C ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. 3
EXERCICE 3 Commun à tous les candidats 6 points Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d un sac contenant une boule noire et 9 boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. On appelle N l évènement «la boule noire figure parmi les boules tirées» et G l évènement «le joueur gagne». 1. a. Déterminer la probabilité de l évènement N. b. Démontrer que la probabilité de l évènement G est égale à 3. On pourra s aider d un arbre 10 pondéré. c. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu il ait tiré la boule noire? 2. Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de m euros est demandée, où m est un réel strictement positif. Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. S il ne gagne pas mais qu il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise. S il ne gagne pas et qu il n a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Exprimer l espérance mathématique de X en fonction de m. c. On dit que le jeu est équitable si l espérance mathématique de X est nulle. Déterminer m pour que le jeu soit équitable. 3. Soit n un entier naturel non nul. 4 On joue n fois à ce jeu sachant qu après chaque partie les boules sont remises dans le sac. Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à 0,999.
EXERCICE 4 Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points Soit u n ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par 1. Calculer u 2,u 3 et u 4. u 1 = 1 2 u n+1 = n + 1 2n u n 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n est strictement positif. b. Démontrer que la suite u n ) est décroissante. c. Que peut-on en déduire pour la suite u n )? 3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n = u n n. a. Démontrer que la suite v n ) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v 1. b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u n = n 2 n. 4. Soit la fonction f définie sur l intervalle [1 ; + [ par f x) = ln x x ln 2. 5 a. Déterminer la limite de f en +. b. En déduire la limite de la suite u n ).
EXERCICE 4 5 points Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Les nombres de la forme 2 n 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne. 1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCDb ; c) = 1. Prouver, à l aide du théorème de Gauss, que : si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a. 2. On considère le nombre de Mersenne 2 33 1. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. 2 33 1 ) 3 2 33 1 ) 4 2 33 1 ) 12 2863311530 2147483648 715827882,6 Il affirme que 3 divise 2 33 1 ) et 4 divise 2 33 1 ) et 12 ne divise pas 2 33 1 ). a. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1.? b. Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 2 33 1 ). c. En remarquant que 2 1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 2 33 1. d. Calculer la somme S = 1 + 2 3 + 2 3) 2 + 2 3 ) 3 + + 2 3 ) 10. e. En déduire que 7 divise 2 33 1. 3. On considère le nombre de Mersenne 2 7 1. Est-il premier? Justifier. 4. On donne l algorithme suivant où MODN, k) représente le reste de la division euclidienne de N par k. 6 Variables : n entier naturel supérieur ou égal à 3 k entier naturel supérieur ou égal à 2 Initialisation : Demander à l utilisateur la valeur de n. Affecter à k la valeur 2. Traitement : Tant que MOD2 n 1, k) 0 et k 2 n 1 Affecter à k la valeur k + 1 Fin de Tant que. Sortie : Afficher k. Si k > 2 n 1 Afficher «CAS 1» Sinon Afficher «CAS 2» Fin de Si a. Qu affiche cet algorithme si on saisit n = 33? Et si on saisit n = 7? b. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié? Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié? c. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié?