13. Introduction à la fiabilité

13. Introduction à la fiabilité MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal A2016 (v1) MTH2302D: fiabilité 1/30

Plan 1. Introduction 2. Taux de panne 3. Distributions usuelles 4. Fiabilité des systèmes MTH2302D: fiabilité 2/30

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La théorie de la fiabilité sert à étudier l aptitude de systèmes à fonctionner correctement durant une période donnée. Un dispositif peut se trouver dans l un des deux états suivants : Apte à fonctionner correctement, c est-à-dire en état de service. Inapte à fonctionner correctement, c est-à-dire en panne ou hors-service. Nous posons les hypothèses suivantes : Au départ, chaque dispositif est en état de service. Les défaillances se produisent généralement de façon aléatoire. Nous définissons la fiabilité d un dispositif pour une durée donnée comme étant la probabilité qu aucune défaillance ne se produise pendant cette durée. MTH2302D: fiabilité 4/30

Étant donné que les défaillances se produisent de façon aléatoire, et afin de pouvoir traiter le concept de fiabilité, nous associons à chaque dispositif une v.a. non négative T représentant la durée de vie (ou temps jusqu à une panne) du dispositif. La fiabilité du dispositif à l instant t 0 est la probabilité qu il fonctionne encore à l instant t : R(t) = P (T > t) = 1 F T (t) [0; 1]. Comme F T est une fonction croissante, la fiabilité R(T ) est une fonction décroissante. R(0) = 1 et lim R(t) = 0. t + P (t 1 < T t 2 ) = R(t 1 ) R(t 2 ). MTH2302D: fiabilité 5/30

La v.a. T est généralement continue, mais elle peut parfois être discrète, par exemple si elle représente le nombres de cycles d opération. Si T est continue, on note f sa densité, et si elle est discrète, on note p sa fonction de masse : P (T = t) = p(t) [0; 1]. f(t) = F T (t) = R (t) 0. La durée de vie moyenne, ou Mean Time To Failure (MTTF), est donnée par τ = E(T ). Si le système peut être réparé, on note : Mean Time Between Failures (MTBF) : temps moyen entre deux pannes. Mean Time To Repair (MTTR) : temps moyen de réparation. On a MT BF = MT T F + MT T R. MTH2302D: fiabilité 6/30

Cas discret : R(t) = P (T > t) = τ = E(T ) = Cas continu : i=0 R(t) = P (T > t) = τ = E(T ) = 0 i=t+1 ip(i) = nouveau t tf(t)dt = nouveau p(i) = 1 F T (t) = 1 t p(i). R(i). i=0 Exemple 1 : Prouver que τ = R(i). t f(s)ds = 1 F T (t) = 1 i=0 R(t)dt. Exemple 2 : Exprimer R(t) et τ si T Exp(λ). 0 i=0 0 f(s)ds. MTH2302D: fiabilité 7/30

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Taux de panne (ou taux de défaillance) Le taux de panne r(t) est défini pour que la quantité r(t)dt représente la probabilité qu une machine fonctionnant encore après t unités de temps tombe en panne durant les dt unités de temps supplémentaires. On considère que dt est petit. r(t)dt = P (t < T t + dt T > t). Le taux de panne est un bon indicateur de la valeur de la distribution comme modèle de fiabilité tenant compte de l usure. Lorsque t est assez grand, r devrait être strictement croissante. Si T est discrète, 0 r(k) 1 et r(k) = p(k) j=k p(j) = p(k) R(k 1) pour k {0, 1,...}. MTH2302D: fiabilité 9/30

Taux de panne : cas continu r(t)dt f(t)dt R(t) et comme f(t) = R (t), on a r(t) = R (t) R(t) 0. ( On peut en déduire que R(t) = exp t 0 ) r(x)dx. Exemple 3 : Exprimer le taux de panne r(t) si T Exp(λ) et si T Geom(p). Exemple 4 : Trouver R(t), τ et r(t) si T Unif(a, b) avec a 0. ( t ) Exemple 5 : Prouver que R(t) = exp r(x)dx. MTH2302D: fiabilité 10/30 0

Taux de panne dans un intervalle Le taux de panne d un système dans un intervalle ]t 1 ; t 2 ] est défini par F R(t 1, t 2 ) = P (t 1 < T t 2 T > t 1 ) t = 1 R(t 1 ) R(t 2 ) t R(t 1 ) avec t = t 2 t 1 et 0 t 1 < t 2. Si t devient très petit : lim t 0 F R(t 1, t 2 ) = r(t 1 ). Exemple 6 : Exprimer F R(t 1, t 2 ) si T Exp(λ). MTH2302D: fiabilité 11/30

Taux moyen de panne Le taux moyen de panne d un système dans un intervalle ]t 1 ; t 2 ] est défini par t 2 AF R(t 1, t 2 ) = 1 r(t)dt = t t 1 1 t [ln(r(t 1)) ln(r(t 2 ))]. si T Exp(λ), AF R(t 1, t 2 ) = λ. MTH2302D: fiabilité 12/30

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Distributions usuelles : loi normale tronquée T N + (µ, σ). ) 1 (t µ)2 f T (t) = exp ( 2πσc 2σ 2 pour t 0 et c = (1 Φ( µ/σ)) 1. On peut montrer que r est strictement croissante. MTH2302D: fiabilité 14/30

Distributions usuelles : loi exponentielle Très utilisée mais peu réaliste à cause de son taux de panne constant. Elle est cependant souvent acceptable à condition de la considérer dans un intervalle de temps [t 1 ; t 2 ] fini. T Exp(λ) avec λ > 0. f(t) = λe λt. R(t) = e λt. r(t) = λ (constante). E(T ) = τ = 1/λ. F R(t 1, t 2 ) = 1 e λ(t 2 t 1 ) t 2 t 1. AF R(t 1, t 2 ) = λ. MTH2302D: fiabilité 15/30

Distributions usuelles : loi de Weibull T W(λ, β) avec λ > 0 et β > 0. f(t) = λβt β 1 exp( λt β ) pour t > 0. W(λ, β = 1) = Exp(λ). R(t) = exp( λt β ). r(t) = λβt β 1. r est croissante (IFR Increasing Failure Rate) si β > 1 et décroissante (DFR Decreasing Failure Rate) si β < 1. Si β = 1, r est constante (distribution exponentielle). F R(t 1, t 2 ) = 1 ( 1 exp( λ(t β 2 t 2 t tβ 1 ). )) 1 AF R(t 1, t 2 ) = λ(tβ 2 tβ 1 ) t 2 t 1. MTH2302D: fiabilité 16/30

Distribution de Weibull mixte Motivation : dans de nombreuses situations réelles, le taux de panne devrait d abord décroître, puis stagner un certain temps, et enfin augmenter. Ces trois phases correspondent aux pannes précoces, aux pannes aléatoires, puis à l usure : r adopte une forme de baignoire. On adopte la combinaison linéaire suivante : T = c 1 T 1 + c 2 T 2 + c 3 T 3 avec T i W(λ, β i ) et c i > 0 pour i {1, 2, 3}, et c 1 + c 2 + c 3 = 1. Pour obtenir une baignoire, on prend β 1 < 1, β 2 = 1 (et donc T 2 Exp(λ)), et β 3 > 1. MTH2302D: fiabilité 17/30

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Fiabilité des systèmes On s intéresse à un ensemble de n composants ou sous-systèmes, montés en série ou en parallèle. On considère que les composants fonctionnent et tombent en panne de façon indépendante. On considère qu un système ne peut être réparé. On s intéresse donc au temps écoulé avant la première panne. Soient T k la durée de vie du composant k, R k sa fiabilité, et r k son taux de panne. MTH2302D: fiabilité 19/30

Montages en série La durée de vie T du système est telle que T > t T k > t pour tout k {1, 2,..., n}. Donc R(t) = P (T > t) = P (T 1 > t T 2 > t... T n > t) n = P (T k > t) = n ( n t ) R k (t) = exp r k (x)dx ind cas cont. k=1 et donc k=1 R(t) = exp t 0 k=1 [ n ] r k (x) dx. k=1 On note T = min { T 1, T 2,..., T n }. 0 MTH2302D: fiabilité 20/30

Montages en série (suite) Si T k Exp(λ k ) pour tout k {1, 2,..., n}, alors : T = min { } T 1, T 2,..., T n Exp(λ) avec λ = n k=1 λ k. R(t) = e λt. r(t) = λ. E(T ) = 1/λ. Exemple 7 : Prouver le cas n = 2. MTH2302D: fiabilité 21/30

Exemple 8 Soit un montage en série de trois dispositifs qui fonctionnent et tombent en panne indépendamment. La distribution du temps de fonctionnement avant défaillance de chaque dispositif est exponentielle avec les taux de pannes r 1 = 3 10 2, r 2 = 6 10 3, et r 3 = 4 10 2. 1. Trouver R(60) pour ce système. 2. Calculer le temps moyen de bon fonctionnement du système. MTH2302D: fiabilité 22/30

Montages en parallèle On considère deux modes différents : Redondance active : tous les composants fonctionnent dès le temps t = 0. Il suffit qu au moins un composant fonctionne pour que le système au complet fonctionne. Redondance passive : Seul le premier composant est mis en marche à t = 0. Une fois en panne, le deuxième composant prend le relai et ainsi de suite. Le système au complet tombe en panne quand le n-ième composant tombe en panne. MTH2302D: fiabilité 23/30

Montages en parallèle : redondance active La durée de vie T du système est telle que T t T k t pour tout k {1, 2,..., n}. Donc F T (t) = P (T t) = P (T 1 t T 2 t... T n t) n P (T k t) = n ( 1 Rk (t) ). = ind k=1 Ainsi k=1 R(t) = 1 n (1 R k (t)). k=1 On note T = max { T 1, T 2,..., T n }. Exemple 9 : Exprimer R(t), f(t), et τ = E(T ) si n = 2, T 1 Exp(λ 1 ), et T 2 Exp(λ 2 ). Si λ 1 = λ 2, comparer τ avec le montage en série. MTH2302D: fiabilité 24/30

Montages en parallèle : redondance passive La durée de vie T du système est T = T 1 + T 2 +... + T n. τ = E(T ) = n E(T k ). V(T ) = ind k=1 n V(T k ). k=1 MTH2302D: fiabilité 25/30

Redondance passive avec des lois exponentielles Si T k Exp(λ) pour tout k {1, 2,..., n} : T Γ(α = n, λ) (loi Gamma). R(t) = F Y (n 1) avec Y Poi(c = λt), et donc n 1 R(t) = e λt k=0 (λt) k k!. MTH2302D: fiabilité 26/30

Système k parmi n Le système au complet fonctionne si au moins k composants fonctionnent. Si k = n, c est le montage en série, et si k = 1, c est le montage parallèle avec redondance active. Si les composants sont indépendants et s ils ont tous la même fiabilité R 1, alors R(t) = P (N k) avec N B(n, p = R 1 (t)), ou encore k 1 ( n R(t) = 1 i i=0 ) R 1 (t) i (1 R 1 (t)) n i. MTH2302D: fiabilité 27/30

Exemple 10 Soit p(k) = 1/N pour k = 1, 2,..., N la fonction de masse pour la durée de vie en cycles d un système particulier. Calculer le taux de panne r(k) pour k = 1, 2,..., N. MTH2302D: fiabilité 28/30

Exemple 11 Un système comporte deux composants qui fonctionnent indépendamment l un de l autre, à partir de l instant initial. On suppose que les durées de vie en cycles X 1 et X 2 des deux composants présentent une distribution géométrique de paramètre 1/2. Trouver la probabilité que les deux composants tombent en panne durant le même cycle. MTH2302D: fiabilité 29/30

Exemple 12 On considère quatre composants indépendants ayant une durée de vie présentant une distribution exponentielle, l espérance de la durée de vie du k-ième composant étant égale à 1/k. Les composants sont utilisés pour construire le système ci-dessous : 1 2 3 4 Quelle est l espérance de la durée de vie du système? MTH2302D: fiabilité 30/30