Interprétation du diamagnétisme électronique dans la théorie de Dirac S. Feneuille To cite this version: S. Feneuille. Interprétation du diamagnétisme électronique dans la théorie de Dirac. Journal de Physique, 1973, 34 (1), pp.14. <10.1051/jphys:019730034010100>. <jpa00207352> HAL Id: jpa00207352 https://hal.archivesouvertes.fr/jpa00207352 Submitted on 1 Jan 1973 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Dans Il It Pour Tome 34 N 1 JANVIER 1973 LE JOURNAL DE PHYSIQUE Classification Physics abstracts : 02.20 13.20 INTERPRÉTATION DU DIAMAGNÉTI SME ÉLECTRONIQUE DANS LA THÉORIE DE DIRAC S. FENEUILLE Laboratoire AiméCotton, CNRS II, Orsay, Essonne (Reçu le 7 juin 1972) 2014 Résumé. est montré que, dans la théorie de Dirac, le diamagnétisme électronique s interprète comme la contribution des seuls états d énergie négative à la perturbation Zeeman du second ordre. 2014 Abstract. is shown that, in the Dirac theory, the electron diamagnetism can be interpreted as the contribution of the negativeenergy states produced by the Zeeman perturbation taken to second order. 1. Introduction. l approximation de Pauli, l hamiltonien d un système d électrons en interaction avec un champ électromagnétique contient le terme quadratique suivant : A(rk) étant le potentiel vecteur au point rk où se trouve le kième électron. C est d ailleurs la présence de ce terme qui permet d interpréter, en particulier, le diamagnétisme de l hélium dans son état fondamental [1]. Or, dans la théorie de Dirac, l hamiltonien est linéaire en A et, au premier ordre de la théorie des perturbations, n apparaît donc aucun terme diamagnétique. Il faut donc rechercher l origine du diamagnétisme dans des effets de second ordre. Cependant une difficulté surgit immédiatement. En effet, il semblerait que, dans la limite non relativiste (c està terme non dire lorsqu on ne conserve que le premier nul dans le développement en puissance de la constante de structure fine), on doive retrouver la contribution au second ordre de l hamiltonien Zeeman : être recherchée dans le fait que la sommation sur les états intermédiaires doit être étendue, dans la théorie de Dirac, aux états d énergie quelconque (positive et négative) tandis que, dans l approximation de Pauli, elle doit être limitée aux seuls états d énergie positive. 2. Rappels et généralités. la simplicité de l exposé et sans perte de généralité, nous considérons le problème d un seul électron dans un champ central U(r). Les états propres correspondants sont de la forme [1] : (1= 2 j 1) ; les fonctions F et G vérifient le système suivant l équations différentielles : (p, est l impulsion du kième électron). Cette contribution possède bien une partie scalaire variant quadratiquement avec le champ magnétique, mais elle peut être facilement distinguée d un terme diamagnétique. En particulier, si Z est la charge du noyau situé à l origine des coordonnées, l effet Zeeman du second ordre varie comme Z2 alors que la contribution diamagnétique se comporte comme Z2. Nous avons montré que l origine de ce paradoxe doit et sont normalisées de façon telle que : Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019730034010100
2 Le potentiel vecteur relatif à un champ magnétique uniforme Je et vérifiant la condition div A = 0 s écrit : et en conséquence, l hamiltonien perturbateur prend la forme suivante : ou encore, en écriture tensorielle [2] : (ce est le vecteur de Dirac de l électron). La perturbation du premier ordre correspondante est égale à [3] : et, dans la limite non relativiste, on retrouve bien l expression classique de l effet Zeeman. La correction du second ordre s écrit quant à elle : la sommation doit être effectuée aussi bien sur le continuum des états d énergie négative, que états d énergie positive, discrets et continus. sur les 3. Contribution des états d énergie positive. La contribution des états discrets beid est la suivante : Il résulte de la forme de Hm que les intégrations sur les variables angulaires peuvent être facilement réalisées au moyen des méthodes tensorielles de Racah [2], et l on obtient finalement : A(l, l, j, j ) est un coefficient sans dimension qui s exprime simplement en termes de symboles n j et Li représente la condition triangulaire. Etant donné le problème considéré, nous ne nous intéresserons, dans l expression précédente, qu à la partie qui ne dépend pas de m. En tous cas, puisque les états discrets sont d énergie positive, on peut, dans lalimite non relativiste, utiliser les développements suivants (voir Appendice) : On peut montrer alors, de façon tout à fait générale (voir Appendice), que le coefficient de oc dans le développement de l intégrale : raisons d orthogonalité. Or, dans la limite non relativiste, le terme correspondant à nl = n l doit être traité dans l approximation du premier ordre et il faut donc l écarter des contributions du second ordre. Pour un potentiel hydrogénoïde, le coefficient de la troisième puissance de a dans le développement de l intégrale considérée est donné par [4] : ao étant le rayon de Bohr et Z la charge nucléaire. Si, de plus, nous tenons compte du fait que Gnlj Enl j varie comme a2 Z2, nous obtenons pour la partie scalaire (indépendante de m) de be2d : est proportionnel à : Si 1 est différent de l, les conditions triangulaires A(l, l, 2) A(},}, 1) entraînent que (K + K 1) est nul ; si 1 est égal à l, l intégrale précédente n est différente de zéro que dans le cas où n est égal à n, pour des Ao étant un nombre sans dimension indépendant de Z. Tout ce qui vient d être écrit au sujet des états discrets reste évidemment valable pour les états non liés d énergie positive ; la seule différence est que la sommation discrète doit être remplacée par une intégration. Finalement donc, la contribution scalaire des états d énergie positive peut être écrite :
(FG). Je 3 4. Contribution des états d énergie négative. Les états d énergie négative ont un comportement très différent de celui des états d énergie positive puisque dans la limite non relativiste : (pour simplifier la notation, nous marquons d une barre les états d énergie négative). Le premier terme dans le développement de l intégrale : est donc : En conclusion, nous avons montré sur l exemple particulier du problème d un électron dans un champ central soumis à un champ magnétique uniforme extérieur que la contribution, au second ordre de la théorie des perturbations, des états d énergie négative peut être non négligeable dans la théorie de Dirac. Dans le cas considéré, en effet, cette contribution est seule responsable d un phénomène physique observable : le diamagnétisme. Tout traitement par perturbation s appuyant sur les états propres d un hamiltonien de Dirac ne doit donc pas écarter a priori les états d énergie négative. L importance de la contribution des états d énergie négative a été depuis longtemps reconnue dans le problème de la diffusion photonélectron (effet Compton) [5]. Dans ce cas, il apparaît cependant préférable d éviter l introduction des états d énergie négative en tenant compte des états intermédiaires supplémentaires que permet l existence de positrons. Il pourrait en être de même dans le problème que nous avons considéré, mais, pour des états liés, il semble plus simple d introduire les états d énergie négative que d utiliser la théorie des positrons. Remerciements. remercie le Pr. C. Cohen Tannoudji pour la discussion fructueuse que nous avons eue à ce sujet. En fait, ce dernier n est important que dans le cas où l énergie de l état intermédiaire est voisine de Mc. En effet, dès que 8 s écarte de 1, le comportement de Fo est pratiquement sinusoïdal même au voisinage de l origine de la période spatiale correspondante est très petite en regard de la o largeur» des o bosses» de la fonction Gonl, du moins tant que (n 1) n est pas trop élevé. Pour un état intermédiaire d énergie négative, on peut donc remplacer par 2 Mc2 la différence d énergie qui apparaît au dénominateur dans l expression de la perturbation du second ordre. Le théorème de fermeture permet alors d effectuer la sommation sur les états sans difhculté. En effet, la projection d énergie positive ne contient aucune puissance de a inférieure à deux, comme cela a été vu dans le paragraphe précédent ; on obtient donc dans la limite non relativiste : Limite non relativiste. puissance de a APPENDICE Développement suivant les Le système couplé d équations différentielles du premier ordre qui donne F et G peut être réécrit : et il apparaît que ce système est invariant dans le changement suivant : ex devient ce, (FG) devient Seules, sont donc présentes, dans le développement de e, les puissances paires de oc. En outre, les parités des puissances de x dans les développements respectifs de F et de G sont bien définies et opposées. Dans la limite non relativiste (oc 0), = pour des états d énergie positive, e tend vers un et F tend vers zéro, alors que pour des états d énergie négative, e tend vers moins un et c est G qui tend vers zéro. Il en découle que, pour des états d énergie positive, on peut écrire : ce résultat est d ailleurs indépendant de la forme de A. On retrouve bien ainsi le terme quadratique qui apparaît dans la théorie de Pauli et qui permet d interpréter le diamagnétisme. alors que, pour des états d énergie négative, on obtient : Go est solution de l équation différentielle du second ordre suivante :
Je 4 quant à la fonction Fl, elle s obtient à partir de Go par la relation suivante : une intégration par partie élémentaire conduit finalement à : 1.. 1 de l in Le coefficient de a dans le développement tégrale : s écrit pour des états d énergie positive : Remerciement. remercie le Pr. L. Armstrong d avoir attiré mon attention sur un article assez ancien de M. M. Sternheim (Phys. Rev., 128 (1962) 676), qui discute très brièvement un problème analogue à celui présenté ici, sans toutefois préciser les propriétés des solutions de l équation de Dirac qui conduisent à la solution proposée. Bibliographie [1] Pour toute référence à ce sujet, voir : BETHE H. A. et SALPETER E. E., Quantum Mechanics of One and Two Electron Atoms, SpringerVerlag (Berlin, 1957). [2] Pour un exposé d ensemble des méthodes de Racah, voir par exemple : JUDD B. R., Operator Techniques in Atomic Spectroscopy, Mc GrawHill Co. Inc. (New York, 1963). [3] MARGENAU H., Phys. Rev. 57 (1940) 383. [4] PERL W. et HUGHES V., Phys. Rev. 91 (1953) 842. [5] Voir par exemple : HEITLER W., The Quantum Theory of Radiation, The Clarendon Press (Oxford, 1954).