L équation de Dirac Notes de cours du Professeur Shaposhnikov

L équation de Dirac Notes de cours du Professeur Shaposhnikov Laura Messio 30 mai 01 1 Mécanique quantique relativiste 1.1 Transformation de Lorentz Nous avons vu que l équation d évolution de la fonction d onde dans le temps était donnée par i ψ = Ĥ ψ. (1) t Si Ĥ est invariant par translation et rotation dans l espace, cette équation l est aussi. Mais en plus de cette invariance, la théorie de la relativité restreinte requiert l invariance par transformation de Lorentz (aussi appelée boost) : x x = q x v c ct 1 v c ct ct = q ct v c x () 1 v c 1. Evolution relativiste de la fonction d onde L équation (1) n est visiblement pas invariante par une transformation de Lorentz car on a d un côté une dérivée première en temps, et de l autre, une dérivée seconde en espace. Cette équation est la limite non relativiste d une équation invariante de Lorentz, que nous allons essayer de déterminer. La manière la plus rigoureuse de traiter ce problème est l utilisation de la seconde quantification de manière relativiste, ce qui mène à la théorie des champs. Le traitement en détail sera vu en cours de théorie quantique des champs, mais un résumé succint est fourni ci-dessous (où l on a pris = 1) : 1. Pour des particules sans spin, les opérateurs de création et d annihilation vérifient les règles de commutation [a k, a k ] = δ kk (ce sont des bosons). Cas non-relativiste : Hamiltonien : Ĥ = k k m a k a k, (3) avec k = π L (n x, n y, n z ) dans une boîte de taille L. Impulsion : ˆP = k ka k a k. (4) Cas relativiste : en théorie relativiste, l objet (Ĥ, ˆP) doit être un quadrivecteur et se transformer comme (ct,x). Ce n est évidemment pas le cas pour 1

( k m,k) qui apparaissent dans les expressions de Ĥ et ˆP. On fait donc la substitution suivante dans le Hamiltonien k m ǫ(k) = m c 4 + k c, Ĥ k ǫ(k)a k a k, (5) ce qui décrit correctement des bosons sans spin, comme le pion π 0. Maintenant, (ǫ(k), k) forme un quadrivecteur et la théorie est bien relativiste. L équation de Schrödinger (Eq. (1)) donne l évolution d un vecteur de l espace de Fock ψ et les amplitudes de probabilités sont données par des produits scalaires dans cet espace de Fock.. Pour des particules de spin 1/ non chargées, les opérateurs de création et d annihilation ont un indice supplémentaire indiquant le spin de la particule et vérifient les règles d anticommutation {a σk, a σ k } = δ σσ δ kk (ce sont des fermions). Cas non-relativiste : Ĥ = k m a σk a σk, (6) σk Cas relativiste : on peut faire exactement comme pour les particules sans spin, ce qui permet de décrire correctement les fermions de Majorana (qui sont leurs propres anti-particules), dont on soupçonne le neutrino de faire partie. 3. Pour des particules de spin 1/ chargées (par exemple les électrons, de charge e), on a besoin de nouveaux opérateurs pour décrire les antiparticules (positrons, de charge e) : Ĥ = σk ǫ(k)(a σk a σk + b σk b σk), (7) L équation de Dirac n a pas été découverte dans le cadre de la théorie quantique des champs, mais grâce à des arguments heuristiques (pas toujours rigoureux) que nous allons voir à présent, en suivant la logique de Dirac. L équation de Dirac.1 Tentative d obtention Nous allons d abord faire des tentatives infructueuses pour trouver une équation décrivant les particules de spin 1/. L énergie d une particule relativiste s écrit ǫ = m c 4 + p c. (8) En mécanique quantique, on a l habitude de remplacer p par i x. On peut donc proposer le Hamiltonien suivant : et l équation de Schrödinger suivante : Ĥ = m c 4 + ˆp c, (9) i ψ t = m c 4 c ψ. (10) Avec ces équations, la limite non relativiste sera correcte (elle est obtenue en développant la racine carrée en supposant m c 4 c ), mais la théorie est très

compliquée à cause de la racine carrée. Si l on développe le Hamiltonien en m c, on obtient des dérivées d ordre supérieur. De plus, si l on ne fait pas ce développement, l opérateur racine est non local : m c 4 c ψ(x) = dx f(x,x )ψ(x ), (11) avec f(x,x ) = dpe ip (x x )/ m c 4 + c p. (1) C est à dire que m c 4 c ψ(x) dépend des valeurs de la fonction ψ ailleurs que sur un voisinage de x. Peut-être peut-on tout simplement prendre le carré de l Eq. (10) et résoudre ces défauts de l équation? ψ t = (m c 4 c )ψ. (13) En la reformulant, on voit facilement que c est une relation relativiste : Pourtant, cette équation possède deux gros défauts : ( t c ) }{{} ψ = m c 4 ψ. (14) invariant de Lorentz 1. Pour un état avec une impulsion fixée, lévolution dans le temps est donnée par ; ψ e i/ ǫt, (15) avec ǫ vérifiant ǫ = m c 4 + c p, soit ǫ = ± m c 4 + c p. On obtient donc des particules avec des énergies négatives.. En mécanique quantique, la probabilité d avoir une particule est conservée au cours du temps : d dxψ (x)ψ(x) = 0. (16) dt De plus dxψ (x)ψ(x) > 0. (17) Dans le cas non relativiste, l équation (16) se prouve grâce à l équation de Schrödinger : ( d dψ dxψ (x)ψ(x) = dx dt dt (x)ψ(x) + dxψ (x) dψ ) dt (x) ( ) = dx (i Ĥψ) ψ + dxψ (i Ĥψ) = = 0. i ψ Ĥ ψ + i ψ Ĥ ψ Dans le cas relativiste, on ne peut pas prouver l équation (16) de la même manière, puisque l équation (14) fait intervenir la dérivée seconde par rapport au temps. 3

Mais alors, peut-être que la probabilité de présence est définie différemment et est bien conservée. Tentons avec l expression suivante : ρ(x) = i ( mc ψ ψ ) t ψ t ψ. (18) Avec cette définition, on a bien une probabilité de présence dans tout l espace dxρ(x) qui est conservée : ( ( dx ψ ψ )) ( t t ψ t ψ = dx ψ ψ t ψ ) t ψ = 0 (19) (on a remplacé la dérivée seconde en utilisant l équation (13)). Par contre, ce n est pas une quantité positive et par conséquent, ne peut pas représenter une probabilité. En théorie quantique des champs, on constate que cette quantité est reliée à la charge électrique.. Obtention On a vu que les dérivées secondes en temps étaient mauvaises : elles donnent des énergies négatives et la non conservation de la probabilité de présence. Mais l équation (10) avec une dérivée première n est pas non plus satisfaisante. Comment s en sortir? En 198, Dirac proposa de chercher un Hamiltonien linéaire pour les impulsions : Ĥ = α iˆp i c + βmc. (0) Au final, on voudrait obtenir une théorie où l espace et le temps sont sur un pied d égalité. En prenant le carré de cette équation, on souhaite retrouver l équation relativiste (14), mais si α i et β sont des nombres, cela n est pas possible : Ĥ = (α iˆp i c + βmc )(α j ˆp j c + βmc ) = c α i α j ˆp iˆp j + mc 3 (α i β + βα i )ˆp i + β m c 4 c p + m c 4. (1) Par contre, si α i et β sont d autres choses, qui ne commutent pas entr elles, on peut y arriver! Supposons que ce sont des matrices. Alors, pour que la dernière ligne de l équation précédente soit une égalité, elles doivent vérifier β = 1, {α i, α j } = δ ij, {α i, β} = 0. Contraintes supplémentaires : comme le Hamiltonien est hermitien, les matrices α i et β sont hermitiennes : { β = β, α i = α (3) i Nous allons maintenant déterminer la dimension de ces matrices. A partir des contraintes des Eq. () and (3), on peut montrer que les matrices α i et β sont de trace nulle : Tr(α i ) = Tr(α i β ) = Tr(βα i β) = Tr(α i ) Tr(β) = Tr(βα 1 ) = Tr(α 1 βα 1 ) = Tr(β) () 4

Comme α i = β = 1, les valeurs propres de ces matrices sont ±1. Comme leur trace est 0, elles doivent posséder autant de fois la valeur propre 1 que 1, donc au total, un nombre pair de valeurs propres. Ce sont donc des matrices n n avec n pair. Essayons d abord avec n =. On peut prendre pour α i les matrices de Pauli. Ainsi la première ligne de l équation () est vérifiée. Mais ensuite, aucune matrice β ne permet de vérifier les contraintes restantes. Maintenant, on prend n = 4. Cette fois, il est possible de vérifier toutes les contraintes en prenant par exemple α i = ( 0 σi σ i 0 ) ( ) 1 0, β = 0 1 Finalement, avec le Hamiltonien de l Eq. (0), l équation de Schrödinger est bien linéaire en dérivées de temps et d espace et vous montrerez en cours de mécanique quantique des champs que l invariance de Lorentz est respectée. On peut constater que le problème de la conservation des probabilités est résolu : ρ(x) = ψ ψ est positif et conservé (preuve découlant de l hermiticité de Ĥ)..3 Calcul des énergies propres L équation de Dirac est donnée par i ψ t (4) = Ĥψ. (5) avec le Hamiltonien de Dirac donné en Eq. (0). La fonction d onde de Dirac a quatre composantes puisque Ĥ est une matrice 4 4 d opérateurs. Ainsi, elle doit décrire un état avec quatre degrés de liberté. Deux correspondent au spin ( or ), et deux autres (4 = ) au choix particule/antiparticule. Cherchons les valeurs propres et vecteurs propres de Ĥ dans l espace réciproque (on fait la transformée de Fourier) Ĥ = α iˆp i c + βmc ( ) mc σpc = σpc mc (6) Sans nuire à la généralité, on peut prendre p e z. On note p son module. mc 0 pc 0 Ĥ = 0 mc 0 pc pc 0 mc 0 (7) 0 pc 0 mc Cette matrice est constituée de deux blocs diagonaux ( ) ( ) mc pc mc pc Ĥ 1 = pc mc, Ĥ 1 = pc mc (8) dont on peut calculer facilement les valeurs propres : { (mc ǫ 1 )( mc ǫ 1 ) p c = 0 ( mc ǫ )(mc ǫ ) p c = 0 ǫ 1/ = m c 4 + p c ǫ 1/ = ± m c 4 + p c (9) On retrouve le problème des énergies négatives! 5

E positive energy states negative energy states.4 Interprétation Nous allons voir l interprétation de Dirac. Supposons que les particules décrites par l équation de Dirac sont des fermions. Le système veut avoir l énergie la plus basse et a donc intérêt à avoir tous les niveaux d énergie négative remplis. Si les particules étaient des bosons, cela serait impossible, puisqu on pourrait mettre une infinité de particules dans chaque niveau d énergie. Mais avec des fermions, on a au maximum une particule par état (principe d exclusion de Pauli). Dans l état fondamental, les états d énergie négative sont remplis et ceux d énergie positive sont vides. On a alors deux types d excitations possibles : l occupation d un état d énergie positive, la non-occupation d un état d énergie négative, excitation de charge opposée à celle de l excitation précédente. On en déduit l existence d antiparticules, avec des énergies positives, mais une charge électrique opposée à celle d une particule (Prix Nobel en 1933 en commun avec Schrödinger). 3 Limite non relativiste : équation de Pauli Nous allons maintenant étudier la limite non relativiste de l équation de Dirac et voir que l on obtient l équation de Pauli. En présence d un champ électromagnétique, on fait le remplacement suivant : p µ p µ e c Aµ, (30) où A µ est le potentiel quadri-vecteur (A 0 = φ, (A 1, A, A 3 ) = A) : { i t i t eφ, i x i x e, (31) ca. ce qui donne l équation suivante : i ψ ( t = c α x e ) c A i } {{ } π +βmc + eφ ψ. (3) Remarque : cette équation peut être utilisée pour déterminer les niveaux d énergie d un électron soumis à un potentiel coulombien en prenant en compte les corrections relativistes (comme le couplage spin-orbite L S discuté au début du cours, obtenu en prenant φ = 1/r et A = 0). Essayons maintenant de résoudre l Eq. (3) dans la limite non relativiste (mc pc) 6

et dans la limite des champs faibles (mc eφ, mc e A ). On écrit la fonction d onde sous forme vectorielle : ( ϕ χ) ψ =, (33) où ϕ et ξ sont des spineurs à deux composantes. L équation de Dirac s écrit alors : i ( ϕ χ) ( χ ϕ) ( ) ( ϕ χ) = cσ π + mc ϕ + eφ. (34) t χ On cherche des solutions sous la forme ( ( ϕ χ) = e imc t/ ϕ, (35) χ) ce qui permet de se débarasser d un terme en mc. Pourquoi prenons nous cette forme particulière? Parce que l on cherche des particules dans la limite non relativiste, presque au repos et donc d énergie soit mc, soit mc. On choisit le premier cas. Les ocillations spatiales de la fonction d onde vont donc être très proches de l équation proposée (35) i ( ( ( ( ) ϕ χ ϕ 0 = cσ π + eφ mc t χ) ϕ) χ) χ { i ϕ t = cσ πχ + eφϕ i χ t = cσ πϕ + eφχ (36) mc χ. Analysons les ordres de grandeur des termes de la dernière ligne. Comme on est dans la limite des champs faibles, mc eφ (approximation valide pour un electron dans un atome : énergie de liaison 13eV, mc 5.10 5 ev). On néglige donc le terme eφχ. Il reste χ = cσ π mc ϕ i χ mc t. (37) Nous allons maintenant résoudre cette équation par itération en supposant que le terme en χ t est petit. On fait une approximation d ordre 0, que l on réinjecte dans l équation (37) : χ 0 = cσ π mc ϕ χ 1 = cσ π mc ϕ i cσ π ϕ mc mc t La différence entre χ 1 et χ 0 est un terme d ordre 1/(mc ), négligeable par rapport à χ 0 qui est d ordre 1/(mc ). On garde donc uniquement l approximation d ordre 0 χ 0. On remarque que χ φ. χ est appelé la petite composante et φ la grande composante. On injecte χ dans la première ligne de l Eq. (36) : i t ϕ = ( (σ π) m (38) ) + eφ ϕ (39) On développe le terme au carré en utilisant la propriété des matrices de Pauli : (σ a)(σ b) = a b + iσ(a b) (40) Attention, π π 0 car A et p ne commutent pas. On obtient finalement l équation de Pauli : (( i p e t ϕ = c A) ) e m mc σ B + eφ ϕ (41) 7

Pour de faibles champs magnétiques uniforme, on peut faire le développement limité de cette équation selon A, ce qui donne pour A = 1 B r : i ( p t ϕ = m e ) (L + S) B ϕ, (4) mc où L = r p est le moment cinétique orbital. Cela nous donne un moment magnétique de µ = e mc pour l électron. 8