Opérations sur les nombres relatifs I) Rappels : a) Définition : Un nombre relatif est un nombre écrit avec un signe + ou suivi d un nombre appelé partie numérique b) Définition : Un nombre relatif écrit avec un signe + est dit positif Un nombre relatif écrit avec un signe est dit négatif Exemples : + 7 est un nombre relatif positif : son signe est + et sa partie numérique est 7 5 est un nombre relatif négatif : son signe est et sa partie numérique est 5 c) Définition : Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsqu ils ont la même partie numérique et des signes contraires Exemples : + 3 et 3 sont deux nombres relatifs opposés II) Addition de deux nombres relatifs : a) Propriété : Premier cas : les deux nombres relatifs ont le même signe : on reporte le même signe on ajoute les deux parties numériques Deuxième cas : les deux nombres relatifs ont des signes contraires : on reporte le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique on effectue la différence entre la plus grande et la plus petite partie numérique
Exemples : Exemple n 1 : (+ 8) + (+ 11) : on reporte le signe + on ajoute les parties numériques 8 et 11 On conclut : (+ 8) + (+ 11) + 19 Exemple n 2 : ( 6) + ( 11) : on reporte le signe on ajoute les parties numériques 6 et 11 On conclut : ( 6) + ( 11) 17 Exemple n 3 : (+ 5) + ( 9) : on reporte le signe car 9 est le nombre relatif qui a la plus grand partie numérique (9 > 5) on effectue la différence entre la plus grande et la plus petite partie numérique : 9 5 4 On conclut : ( + 5) + ( 9) 4 b) Propriété : La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle Exemple : (+ 4) + ( 4) 0 III) Soustraction de deux nombres relatifs : Propriété : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé autrement dit, a et b étant deux nombres relatifs : a b a + (-b) Exemples : (+ 5) (+ 8) (+ 5) + ( 8) 3 (+ 7) ( 2) (+ 7) + (+ 2) + 9
IV) Somme algébrique : a) Définition : Une somme algébrique est une suite d additions et de soustractions de nombres relatifs Exemple : S (+ 4) + (-7) (- 3) + (+ 11) (+ 8) est une somme algébrique b) Méthode pour calculer la valeur d une somme algébrique : S (+ 4) + (-7) (- 3) + (+ 11) (+ 8) On transforme les soustractions en additions : S (+ 4) + (-7) + (+ 3) + (+ 11) + (- 8) On regroupe les termes positifs entre eux puis les termes négatifs entre eux : S (+ 4) + (+ 3) + (+ 11) + (-7) + (- 8) On ajoute les nombres relatifs positifs puis les nombres relatifs négatifs : S (+ 18) + (-15) On effectue la dernière addition : S + 3 La valeur de l expression S est 3 c) Simplification d écriture : Règle : pour simplifier l écriture d une somme de nombres relatifs ( uniquement des additions ), on peut enlever les parenthèses en suivant les règles suivantes : + ( + 3 ) par exemple se simplifiera en + 3 + ( 3 ) par exemple se simplifiera en 3 Ainsi, en appliquant cette règle : (+ 4) + ( - 5) + ( + 3) + ( - 7) se simplifie en + 4 5 + 3 7 7-3 + 9 11 est l écriture simplifiée de ( + 7) + ( - 3) + ( + 9) + ( -11)
V) Multiplication de deux nombres relatifs : a) Propriété ( multiplication de deux nombres relatifs ) : Premier cas : les deux nombres relatifs ont le même signe : le signe du produit est + on multiplie les deux parties numériques Deuxième cas : les deux nombres relatifs ont des signes contraires : le signe du produit est on multiplie les deux parties numériques Exemple n 1 : (+ 3) (+ 2) : le signe du produit est + car les deux nombres relatifs ont le même signe on multiplie les parties numériques 3 et 2 On conclut : (+ 3) (+ 2) + 6 Exemple n 2 : ( 4) ( 5) : le signe du produit est + car les deux nombres relatifs ont le même signe on multiplie les parties numériques 4 et 5 On conclut : ( 4) ( 5) + 20 Exemple n 3 : (+ 2) ( 7) : le signe du produit est car les deux nombres relatifs ont des signes contraires on multiplie les parties numériques 2 et 7 On conclut : (+ 2) ( 7) 14 Remarque : Multiplier un nombre relatif par (-1) revient à prendre son opposé En effet : ( 1) ( 6) + 6 > l opposé de 6 est bien + 6 ( 1) (+ 4) 4 > l opposé de + 4 est bien 4
b) Propriété ( multiplication de plusieurs nombres relatifs ) : Quand on multiplie plusieurs nombres relatifs : Le signe du produit est : + si le nombre de facteurs négatifs est pair ( 0, 2, 4, ) si le nombre de facteurs négatifs est impair ( 1, 3, 5, ) La valeur numérique du produit est égale au produit des parties numériques Exemple n 1 : (+ 2) ( 5) (+ 1) ( 4) (+ 3) : le signe du produit est + car il y a 2 facteurs négatifs ( 5) et ( 4) On multiplie les parties numériques : 2 5 1 4 3 120 On conclut : (+ 2) ( 5) (+ 1) ( 4) (+ 3) + 120 Exemple n 2 : (+ 3) ( 2) (+ 4) ( 6) ( 1) : le signe du produit est car il y a 3 facteurs négatifs ( 2), ( 6) et ( 1) On multiplie les parties numériques : 3 2 4 6 1 144 On conclut : (+ 3) ( 2) (+ 4) ( 6) ( 1) 144 VI) Division de deux nombres relatifs : a) Propriété ( division de deux nombres relatifs ) : Premier cas : les deux nombres relatifs ont le même signe : le signe du quotient est + on divise les deux parties numériques Deuxième cas : les deux nombres relatifs ont des signes contraires : le signe du quotient est on divise les deux parties numériques Exemple n 1 : : le signe du quotient est + car les deux nombres relatifs ont le même signe on divise les parties numériques 6 et 2
On conclut : + 3 Exemple n 2 : : le signe du quotient est + car les deux nombres relatifs ont le même signe on divise les parties numériques 12 et 3 On conclut : + 4 Exemple n 2 : : le signe du quotient est car les deux nombres relatifs ont des signes contraires on divise les parties numériques 15 et 5 On conclut : 3 Remarques : 1) Diviser un nombre relatif par (-1) revient à prendre son opposé En effet : 5 > l opposé de + 5 est bien 5 + 3 > l opposé de 3 est bien + 3 2) Le quotient de deux nombres relatifs opposés est égal à -1: 1 > le quotient des nombres opposés + 7 et 7 est égal à 1 1 > le quotient des nombres opposés 12 et + 12 est égal à 1
VII) Priorités des calculs avec les nombres relatifs : Ce sont les mêmes priorités que celles vues en classe de cinquième, à savoir : Propriété : Pour calculer une expression : On commence par effectuer les calculs situés entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus intérieures On effectue ensuite les multiplications et les divisions On termine par les additions et les soustractions Exemple : A (11 (5 + (-7) ( - 4 2) ) ) (-2) 8 On applique la propriété : l expression A contient des parenthèses, on commence par effectuer les calculs situés entre parenthèses en commençant par les plus intérieures On a écrit en rouge les calculs prioritaires : A (11 (5 + (-7) ( - 4 2) ) ) (-2) 8 A (11 (5 + (-7) (-6) ) ) (-2) 8 A (11 (5 + 42) ) (-2) 8 A (11 47 ) (-2) 8 A (-36 ) (-2) 8 Puis on effectue la division : A 18 8 Et on termine par la soustraction : A 10 La valeur de l expression A est 10
Remarque : Si une expression ne contient : que des multiplications et des divisions ou que des additions et des soustractions alors on effectue les calculs de la gauche vers la droite Exemple : A ( 6) ( 3) 2 4 ( 12) A 18 2 4 ( 12) A 9 4 ( 12) A 36 ( 12) A -3 La valeur de l expression A est -3 VIII) Inverse d un nombre : a) Définition : Soit a un nombre relatif différent de 0 L inverse de a est le nombre Exemple : Propriété : L inverse du nombre +2 est L inverse du nombre -4 est 1 4 L inverse d un nombre relatif positif est un nombre positif L inverse d un nombre relatif négatif est un nombre négatif
L inverse du nombre 3 est le nombre > 3 1 L inverse du nombre 5 est le nombre Propriété : > 5 () 1 Le produit d un nombre a non nul par son inverse est égal à 1 Exemple n 1 : montrer que l inverse de la fraction est la fraction D après la propriété, Il suffit de montrer que le produit de ces deux nombres est égal à 1 : 1 Comme 1, on en déduit que l inverse de la fraction est la fraction Exemple n 2 : montrer que l inverse de la fraction est la fraction D après la propriété, Il suffit de montrer que le produit de ces deux nombres est égal à 1 : () 1 Comme 1, on en déduit que l inverse de la fraction est la fraction Propriété : L inverse de la fraction est la fraction, avec a et b différents de 0 On note :
Exemple n 1 : l inverse de la fraction On note est la fraction Exemple n 2 : l inverse de la fraction est la fraction On note Remarque : Les trois écritures suivantes sont équivalentes : Cependant, c est la dernière écriture qui est la plus utilisée à savoir Application : détermination de l inverse d un nombre décimal à l aide d une fraction Déterminons l inverse du nombre décimal 2,8 : D après la définition, son inverse est Or 2,8, ce qui permet d écrire que,! Conclusion : l inverse du nombre décimal 2,8 est la fraction