Equations - Inéquations I) Equation du premier degré à une inconnue : a) Equation : Définition : On appelle équation toute égalité dans laquelle un nombre inconnu est remplacée par une lettre appelée inconnue. 4x² + 2 = 3x + 1 est une équation mathématique d inconnue x. Vocabulaire : Membre de gauche d une équation ( ou premier membre ) : Expression située à gauche du signe «=» de l équation. Membre de droite d une équation ( ou second membre ) : Expression située à droite du signe «=» de l équation. Par exemple, dans l équation précédente, 4x² + 2 est le membre de gauche ( ou premier membre ) et 3x + 1 est le membre de droite ( ou second membre ). b) Equation du premier degré à une inconnue : Définition : Une équation est dite du premier degré à une inconnue x lorsqu elle peut s écrire sous la forme ax + b = cx + d où a, b, c et d sont des nombres donnés avec a différent de c. 7x + 5 = 2x + 4 est une équation du premier degré à une inconnue x.
c) Tester si une valeur est une solution d une équation : On dit qu un nombre a est solution d une équation, si en remplaçant l inconnue x par a, l égalité obtenue est vraie. Soit 3x + 2 = 2x + 5 (E) une équation donnée. Tester si les nombres x = 2 et x = 3 vérifient cette équation. Cas où x = 2 : Membre de gauche Membre de droite 3x + 2 = 3 2 + 2 2x + 5 = 2 2 + 5 3x + 2 = 6 + 2 2x + 5 = 4 + 5 3x + 2 = 8 2x + 5 = 9 Comme 8 est différent de 9, on en déduit que le nombre 2 n est pas solution de l équation 3x + 2 = 2x + 5 Cas où x = 3 : Membre de gauche Membre de droite 3x + 2 = 3 3 + 2 2x + 5 = 2 3 + 5 3x + 2 = 9 + 2 2x + 5 = 6 + 5 3x + 2 = 11 2x + 5 = 11 Comme 11 est égal à 11, on en déduit que le nombre 3 est solution de l équation 3x + 2 = 2x + 5 c) Résolution d une équation du premier degré à une inconnue : Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c est trouver la valeur de x qui rend l égalité vraie. Pour cela, on dispose de plusieurs outils : Règle n 1 : une égalité ne change pas si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres. Règle n 2 : une égalité ne change pas si on multiplie ou si on divise par un même nombre non nul ses deux membres.
Résoudre l équation 5x 4 = 3x + 2. D après la définition, il s agit d une équation du premier degré à une inconnue que l on va résoudre en appliquant les deux règles précédentes. 5x 4 = 3x + 2 5x 3x 4 = 3x + 2 3x On soustrait 3x à chaque membre ( règle 1 ) 2x 4 = 2 2x 4 + 4 = 2 + 4 On ajoute 4 à chaque membre ( règle 1 ) 2x = 6 = x = 3 On divise par 2 les deux membres ( règle 2 ) Conclusion : 3 est la solution de l équation 5x 4 = 3x + 2. d) Mise en équation d un problème : Trouver un nombre tel que son triple diminué de 4 soit égal à son double augmenté de 7. Voici le plan de rédaction à appliquer : 1) Choix de l inconnue : Dans cette partie, on désigne l inconnue que l on choisie. Notons x le nombre cherché. 2) Mise en équation du problème : Dans cette partie, on écrit l équation qui va nous permettre de trouver la solution du problème, en utilisant les données de l énoncé. 3x 4 = 2x + 7
3) Résolution de l équation : Dans cette partie, on résout l équation déterminée au 2) 3x 4 = 2x + 7 3x 2x 4 = 2x + 7 2x x 4 = 7 x 4 + 4 = 7 + 4 x = 11 4) Réponse : Dans cette partie, on répond à la question posée. Le nombre cherché est 11. II) Inéquation du premier degré à une inconnue : a) Inéquation : Définition : On appelle inéquation toute inégalité dans laquelle un nombre inconnu est remplacée par une lettre appelée inconnue. 5x + 7 < 3x + 2 est une inéquation mathématique d inconnue x. b) Sens d une inéquation : Les différents sens d une inéquation sont : < : se lit «strictement inférieur à», par exemple 3 < 4. > : se lit «strictement supérieur à», par exemple 5 > 2. : se lit «inférieur ou égal à», par exemple 8 9. : se lit «supérieur ou égal à», par exemple 7 1.
c) Inéquation du premier degré à une inconnue : Définition : Une inéquation est dite du premier degré à une inconnue x lorsqu elle peut s écrire sous la forme ax + b < cx + d, ax + b > cx + d, ax + b cx + d, ax + b cx + d où a, b, c et d sont des nombres donnés avec a différent de c. 3x 2 5x + 3 est une inéquation du premier degré à une inconnue x. d) Tester si une valeur est une solution d une inéquation : On dit qu un nombre a est solution d une inéquation, si en remplaçant l inconnue x par a, l inégalité obtenue est vraie. Soit 3x + 2 < 2x + 5 (E) une inéquation donnée. Tester si les nombres x = 1 et x = 4 vérifient cette inéquation. Cas où x = 1 : Membre de gauche Membre de droite 3x + 2 = 3 1 + 2 2x + 5 = 2 1 + 5 3x + 2 = 3 + 2 2x + 5 = 2 + 5 3x + 2 = 5 2x + 5 = 7 Comme 5 est inférieur à 7, on en déduit que le nombre 1 est solution de l inéquation 3x + 2 < 2x + 5 Cas où x = 4 : Membre de gauche Membre de droite 3x + 2 = 3 4 + 2 2x + 5 = 2 4 + 5 3x + 2 = 12 + 2 2x + 5 = 8 + 5 3x + 2 = 14 2x + 5 = 13 Comme 14 est supérieur à 13, on en déduit que le nombre 4 n est pas solution de l inéquation 3x + 2 < 2x + 5
e) Résolution d une inéquation : Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue c est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l inégalité vraie. Pour cela, on dispose de plusieurs outils : Règle n 1 : une inégalité ne change pas si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres. Règle n 2 : on ne change pas le sens d une inégalité si on multiplie ou si on divise par un même nombre non nul ET positif ses deux membres. Règle n 2 : on change le sens d une inégalité si on multiplie ou si on divise par un même nombre non nul ET négatif ses deux membres. Exemple n 1 : Résoudre l inéquation 4x + 5 x + 14. D après la définition, il s agit d une inéquation du premier degré à une inconnue que l on va résoudre en appliquant les règles précédentes. 4x + 5 x + 14 4x x + 5 x + 14 x On soustrait x à chaque membre ( règle 1 ) 3x + 5 14 3x + 5 5 14 5 On soustrait 5 à chaque membre ( règle 1 ) 3x 9 x 3 On divise par 3 les deux membres ( règle 2 ) Conclusion : Les solutions de l inéquation 4x + 5 x + 14 sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 3.
Exemple n 2 : Résoudre l inéquation -2x + 1 < 9. D après la définition, il s agit d une inéquation du premier degré à une inconnue que l on va résoudre en appliquant les règles précédentes. -2x + 1 < 9-2x + 1 1 < 9 1 On soustrait 1 à chaque membre ( règle 1 ) -2x < 8 > x > - 4 On divise par -2 les deux membres ( règle 3 ) Conclusion : Les solutions de l inéquation -2x + 1 < 9 sont tous les nombres strictement supérieurs à - 4. f) Représentation graphique des solutions d une inéquation : On représente les solutions d une inéquation sur une droite graduée : Exemple n 1 : Les nombres inférieurs ou égaux à -3 sont coloriés en rouge sur cette droite graduée. Exemple n 2 : Les nombres strictement supérieurs à 1 sont coloriés en rouge sur cette droite graduée.