Modélisation en surfaces de réponse Modèle du 2e degré Diagramme de surface de Pics Pics 120 110 100 90 80 70 60 50-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 ntrefer 1,5 1,5 1,0 0,5-0,5 0,0 Vitesse -1,0-1,5 1
Plan du cours Introduction Modèles polynomiaux 1er degré : plans factoriels 2ème degré : plans composites centrés stimation des coefficients du modèle Optimisation Tracé des isoréponses Méthode de la plus grande pente, Simplex 2
Introduction Modélisation plans factoriels Modèle linéaire : y Y A A B B Test de validité du modèle ssais au centre du domaine AB A B Détermination des effets moyens 4 coefficients à déterminer Plan complet à 4 essais 3
Plan composite Modèle du second degré y Si non valide tester : Modèle polynomial du second degré Y A A B B AB A B AA 2 A BB 2 B 5 coefficients à déterminer + la moyenne, au moins 6 essais : PLAN COMPOSIT n pratique le nombre total d essai réalisé pour un plan composite N N N F N 0 Nombre d essais du plan factoriel = 2 k Nombre d essais au centre 1 Nombre d essais du plan en étoile= 2.k 4
Plan composite domaine d expérimentation xemple : cas d un plan composite avec 2 facteurs Partie factorielle Plan en étoile t 2+2 essais au centre du domaine 5
Plan composite ssais au centre du domaine Les essais au centre du domaine contrôlent : La validité et la stabilité des plans factoriels et en étoile Validité du modèle linéaire Stabilité entre les deux séries d essais, (effets blocs) stimation de l erreur expérimentale (naturelle) 6
Optimalité du plan composite Matrice de calcul Cas 2 facteurs :Modèle Quadratique y Y A A B B AB A B AA 2 A BB 2 B Matrice d expérience I A B AB A 2 B 2 7
Optimalité du plan composite Matrice d information : t. N 12 0 0 0 42 2 42 2 0 42 2 0 0 0 0 N f 0 42 2 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4+2 2 0 0 0 42 2 4 4+2 2 0 0 0 4 42 2 8
Optimalité du plan composite Matrice d information : t. en fonction de N et N f N 0 0 0 N f +2 2 N f +2 2 Choix de? 0 N f +2 2 0 0 0 0 0 0 N f +2 2 0 0 0 0 0 0 N f 0 0 N f +2 2 0 0 0 N f +2 4 N f N f +2 2 0 0 0 N f N f +2 4 9
Optimalité du plan composite Critères d optimalité Hypothèse : tous les points axiaux sont à la même distance ( grandeur réduites) du centre du domaine Objectif : déterminer en fonction de critères d optimalité Presque orthogonalité Isovariance par rotation 10
Détermination de Presque orthogonalité Propriété : l orthogonalité est obtenue si la matrice t est diagonale 1 1 1 1 = 1-1 -1 1 t = 1 1-1 -1 1-1 1-1 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 11
Détermination de Presque orthogonalité Dans notre cas on ne peut annuler tous les éléments de la matrice t : termes constants et carrés N 0 0 0 N f +2 2 N f +2 2 0 N f +2 2 0 0 0 0 0 0 N f +2 2 0 0 0 0 0 0 N f 0 0 N f +2 2 0 0 0 N f +2 4 N f N f +2 2 0 0 0 N f N f +2 4 12
Matrice non diagonale Matrice d information : t. en fonction de N et N f N 0 0 0 N f +2 2 N f +2 2 0 N f +2 2 0 0 0 0 0 0 N f +2 2 0 0 0 0 0 0 N f 0 0 N f +2 2 0 0 0 N f +2 4 N f N f +2 2 0 0 0 N f N f +2 4 Presque orthogonalité : Diagonalisation de la sous matrice 13
Détermination de Presque orthogonalité Dans notre cas on ne peut annuler tous les éléments de la matrice t : termes constants et carrés Presque orthogonalité : diagonaliser la sous matrice calculer ( t ) -1 Éliminer la 1ere ligne et colonne de ( t ) -1 S Trouver pour que la matrice S soir diagonale 14
Détermination de On montre que : N N - 4 f N f 2 1 4 Permet de garantir une presque orthogonalité du plan 15
Tableau presque orthogonalité N 0 N 0 N 0 N 0 N F N xemple : 2 facteurs, N 0 =4 16
Détermination de Presque orthogonalité xemple : Plan composite à 2 facteurs, N f =4, N = 4, N 0 =4 1.21 12 0 0 0 6.928 6.928 0 6.928 0 0 0 0 t = 0 0 6.928 0 0 0 0 0 0 4 0 0 6.928 0 0 0 8.827 4 6.928 0 0 0 4 8.827 17
Détermination de Presque orthogonalité xemple 0.2388 0 0 0-0.1347-0.1347 0 0.1443 0 0 0 0 ( t ) -1 = 0 0 0.1443 0 0 0 0 0 0 0.25 0 0-0.1347 0 0 0 0.233 0-0.1347 0 0 0 0 0.233 Sous Matrice Diagonale 18
Optimalité du plan composite Isovariance par rotation N 41 F Permet de garantir une rreur de prédiction constante pour des points situés à égale distance du centre du domaine rreur de prédiction du modèle Var(y)=constante 19
stimation des paramètres du modèle ffets moyens 20
Calcul des coefficients du modèle et des variances Méthode matricielle Matrice d expérience I A B AB A 2 B 2 21
22 Calcul des variances des coefficients du modèle Coefficients du modèle 2 2 B BB A AA B A AB B B A A Y y y Y t t BB AA AB B A -1
Calcul des variances des coefficients du modèle Variance des coefficients du modèle y Y A A B B AB A B AA 2 A BB 2 B Var( Y ) VarA VarB VarAB VarAA VarBB Var( R) Diag Variance répétabilité t - 1 23
rreur de prédiction Cas de deux facteurs Soit x p =(1,x A,x B, x AB,x 2 A,x 2 B) t Var ( y p ) x t p t -1 xp 24
n résumé Les différentes étapes : Réaliser un plan comportant N f =2 k ou 2 k-p essais augmentés de N 0 1 points au centre du domaine tester le modèle linéaire, en cas de non adéquation ajouter un plan en étoile Déterminer et réaliser le plan en étoile de N =2k essais augmentés de N 0 2 points au centre du domaine. 25
Processus d usinage tat initial : état de surface des pièces usinées non satisfaisant xemple Rotation Avance Critères à optimiser (minimiser) Pièces à usine Rugosité < 0,15 Nombre de pics par unité de longueur <50 Outil tranchant 26
xemple Choix des facteurs Vitesse d avancement de l outil (en mètres par minutes) Vitesse tangentielle de coupe (en mètres par secondes) Facteurs fixes : forme et matière de l outil, qualité d abrasion, métal travaillé, 27
xemple Domaine expérimental Vitesse d avancement de l outil (en mètres par minutes) : 0.9 2.4 Vitesse tangentielle de coupe (en mètres par secondes) : 15 25 Réponses Rugosité, Pics 28
xemple Choix du plan On suppose que les surfaces de réponses présentent des courbures (modèle non linéaire) plan composite, α=1.21 29
Tableau presque orthogonalité N 0 N 0 N 0 N 0 N F N 2 facteurs, N 0 =4 30
xemple : expérimentation Avance Coupe Rugox1000 Pics 194 77,8 282 68,4 120 65,3 91 96,1 233 63,8 235 61,9 Modèles? CL 154 52,3 195 60,4 278 87,0 122 95,7 232 61,5 230 60,5 31
Résultats : Rugosité Modèles y rugo 2 2 215,5 7,73xA - 25,88xB - 29,25xAxB 1.12xA - 28.64xB Diagramme de surface de Rugox100 300 200 Rugox1000 100 0-1,5-1,0 ntrefer -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 1,5 1,0 0,5-0,5 0,0 Vitesse -1,0-1,5 32
Pics Modèles y Pics 2 2 61.93 4.11x A 3.44xB 10.05xAxB - 2.03xA 15.47xB Diagramme de surface de Pics Pics 120 110 100 90 80 70 60 50-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 ntrefer 1,5 1,5 1,0 0,5-0,5 0,0 Vitesse -1,0-1,5 33
Représentation graphique : superposée Courbes isoréponses Critères à optimiser (minimiser) Rugosité < 150 Nombre de pics <50 Choix d un réglage pour la machine 34
Optimisation Recherche de la valeur optimale : minimiser, maximiser, ou cible Courbes d isoréponses ou Méthode de la plus grande pente Méthode du simplex 35
Optimisation graphique : Courbes ISORPONSS La connaissance des courbes isoréponses permet de trouver les conditions optimales dans le domaine expérimental. lle permettent de déterminer la région du domaine où la réponse est optimale (satisfait les contraintes ) 36
Optimisation : Méthode de la plus grande pente Objectif : une recherche rapide de l optimum de la réponse, lorsque : le domaine d étude ne contient pas l optimum Le modèle retenu ne peut être extrapolé à l extérieur du domaine d expérimentation tapes Recherche d un modèle linéaire du 1er degré dans le domaine d étude Recherche de la plus grande pente pour trouver l optimum Progression selon la plus grande pente Surface de réponse du 2ème degré dans la région contenant l optimum 37
Principales étapes Domaine expérimental Surface de réponse Dans la région de l optimum Modèle linéaire approché Progression selon La plus grande pente 38
Modèle linéaire approché Recherche d un modèle linéaire : Réaliser un plan factoriel 2 k ou 2 k-p Valider le modèle yy A A B B C C Si le modèle est valide on recherche la plus grande pente Sinon on recherche un modèle du second degré 39
Direction de la plus grande pente Si le modèle ne dépendait que d un seul facteur on aurait : YyA A Le maximum serait atteint en suivant la droit de pente A Y Direction de la Pour maximiser -1 0 +1 40
41 Direction de la plus grande pente Généralisation à plusieurs facteurs Les composantes de la direction de la plus grande pente seraient : C B A D A B C C C B B A A Y y
Sur un exemple Maximiser les variations de rendement (Y) 4 facteurs : 1 : débit (cm3/min) 2 : concentration (ppm) 3 : Température ( C) 4 : quantité d additif (ug) 42
Le modèle linéaire Domaine d expérimental et plan d expérience fractionnaire: 43
stimation des effets moyens ffets au niveau (+1), moyenne=6.6 A =2.6 B =0.6 C =1.4 D =1.9 Le Modèle? 44
Les paramètres du modèle Le modèle linéaire du 1er degré : validé maximum Droite de pente 2,6 sur l axe 1 Le maximum peut être atteint en suivant la direction de la droite Direction du maximum : 2,6 selon l axe 1, 0,6 selon l axe 2, 1,4 selon l axe 3 et 1,9 selon l axe 4 45
n grandeurs réelles (changement d échelle) 1 1 1+ 1-2 2 2+ 2-3 3 3+ 3-4 4 4+ 4-46
Choix du pas de progression selon la plus grande pente 4 : quantité d additif (ug) 47
ssais complémentaires selon les pas de progressions Point de départ le centre du domaine expérimental Diminution à partir de 5, le maximum est atteint entre 3 et 4 Maximum Recherche Précise du maximum 48
Recherche précise à l aide d un modèle à surface de réponse On réalise un plan composite avec pour niveau (-1) : Centre + 2 1 = 10.9, 2=243,2, 3=382,4, 4=120 pour niveau (+1) : Centre + 5 1 = 16, 2=293, 3=393,5, 4=150 2 5 Déterminer un modèle linéaire, si valide : il fourni une nouvelle direction de recherche de l optimum, sinon Rechercher un modèle du 2è degré et trouver l optimum à l aide des isoréponses 49
tude de cas Modélisation d une unité de production Procédé : sécheur sous vide de gazole Objectif : prévoir la quantité d eau résiduelle dans le produit en fonction de : La pression La température de traitement La Quantité d eau dans la charge (%) On cherche à Tracer des abaques (courbes iso réponses plan à surface de réponses 50
tude de cas Choix des niveaux des facteurs : Pression (P) : variations de 0.035 à 0.145 bar Température (T) : de 60 C à 110 C Quantité d au () : de 0.4 à 2.6 % Hypothèse initiale : modèle linéaire Niveaux retenus : P : 0.06 0.12 bar T : 70 100 C : 0.74 2.26 % 51
Réponse La réponse mesurée est la quantité d eau résiduelle en ppm La précision pour la mesure est de 2 ppm ( s1 ppm) 52
Premier plan complet ssai P T Y 1 - - - 23.2 2 - - 65.6 3 - - 11.1 4-18.7 5 - - 25.6 6-69.6 1 essai au centre du domaine : N 0 =1 Analyser le plan - Modèle linéaire? 7-12.5 8 22.2 9 (centre du domaine) 0 0 0 24.3 53
Le modèle Modèle obtenu y 30.3 12.2-14.2 0. 7 P T La précision pour la mesure est de 2 ppm y 30.3 12.2 P -14. 2 T st il valide? 54
Validité du modèle linéaire ssai au centre du domaine Valeur expérimentale : 24.3 Valeur issue du modèle : 30.3 cart : 6 ppm considéré comme significatif compte tenu de la précision sur la mesure. Modèle linéaire non valide! 55
Recherche d un modèle du 2e degré Plan composite Hypothèse : nous souposerons que le plan choisi est isovariant par rotation : =(N F ) 1/4 =(8) 1/4 =1.68 Niveaux de facteurs P : (+ ) : 0.145 ; (- ) : 0.03 T : 110 60 : 2.6 0.4 Modèle postulé : y y P P T T PT PT P P T T PP 2 P TT 2 T 2 56
Plan composite Analyse du plan composite ssai P T Y 10-0 0 7.4 11 + 0 0 54.9 12 0-0 64.8 13 0 + 0 12.3 14 0 0-20.3 15 0 0 + 26.7 57
Matrice de calcul I P T PT P T P 2 T 2 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0-0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0-0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0-0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 58
59 stimation des effets moyens y Y t t TT PP T P PT T P -1
Modèle quadratique retenu Les facteurs significatifs sont : P, T,, PT, P, P 2, T 2 Modèle en grandeurs réelles : y 2 2 114 1590P -3.3T -19.2PT - 24.4P 2400P 0.0236T Tracé des isoréponses l abaque est obtenu! 60
Surfaces de réponse Diagramme de surface de Y 70 60 Diagramme de surface de Y Y 50 40 30 20 10-2 -1 T 0 1 2-2 -1 2 1 0 120 100 80 Valeurs de maintien : P : 0,0 Y 60 40 20 0-2 -1 P 0 1 2-2 -1 1 0 T 2 60 Diagramme de surface de Y 50 40 Valeurs de maintien : : 0,0 Y 30 20 10 0-2 -1 P 0 1 2-2 -1 2 1 0 Valeurs de maintien : T : 0,0 61
Les courbes isoréponses On prend différents niveaux pour la réponse y=cste et on trace les isoréponses 10 11 au résiduelle (ppm) T 12 10 15 P 62
Référence Bibliographiques Introduction to statistical Quality Control, Douglas C. Montgomery Plans d'expériences pour Surfaces de réponse, Goupy 63
xemples de synthèse MINITAB 64