Equations fondamentales de la mécanique des uides G. Blanchard, C. Glusa, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, R. eblanc, M.Quillas-Saavedra 3 mai 2010 Résumé On cherche ici à établir les équations de Navier-Stokes, qui régissent la mécanique des uides newtoniens. On s'intéresse ensuite à leur linéarisation pour des écoulements particuliers, ce qui aboutit aux équations de Stokes. Enn, on donne quelques éléments pour mieux comprendre le nombre de Reynolds qui caractérise les écoulements uides. 1 Notations. On emploiera ici les notations suivantes : ρ désigne la masse volumique du uide. u(r, t) désigne la vitesse du uide au point r à l'instant t. ( d désigne le tenseur taux de déformation, déni par d = ) 1 2 u + ( u) T. σ désigne le tenseur des contraintes de Cauchy dans le uide ; on suppose qu'il s'exprime sous la forme σ = p1 + τ ; p(r, t) est appelée pression du uide et représente les contraintes de compression non-visqueuse ; τ représente les contraintes d'origine visqueuse. F(r, t) désigne la densité volumique de forces dans le uide. les coecients de viscosité de amé du uide seront notés λ et η, η étant appelée viscosité dynamique du uide. on notera la dérivée partielle par rapport au temps, et D Dt particulaire ; on rappelle qu'on a alors Db Dt = b + b u. la dérivée Promotion X08, École Polytechnique, 91120 Palaiseau, France. Contact : guilhem.blanchard@polytechnique.edu, christian.glusa@polytechnique.edu. 1
2 es équations de Navier-Stokes. Deux équations particulièrement importantes caractérisent la dynamique d'un milieu. a conservation de la masse, d'une part, s'écrit ou encore ρ + (ρu) = 0 Dρ Dt + ρ u = 0 a conservation de la quantité de mouvement, d'autre part, s'écrit (ρu) + (ρu u) = ρf p + τ ou encore ρ Du Dt = ρf p + τ Par ailleurs, la loi de comportement pour un uide newtonien donne [1] : τ = λ ( u) 1 + 2ηd On obtient, en injectant cette dernière relation dans les précédentes, les équations de Navier-Stokes, écrites ici sous forme conservative : ρ + (ρu) = 0 (1) (ρu) + (ρu ) u = ρf p + (λ u) + 2 (η d) (2) Considérons le cas particulier d'un uide newtonien homogène incompressible. a condition d'incompressibilité s'écrit u = 0. a conservation de la masse et l'homogénéité du uide assurent alors que la masse volumique est constante. On obtient alors les équations de Navier-Stokes suivantes : ρ u u = 0 (3) + ρ(u ) u = ρf p + η u (4) 2
3 es équations de Stokes. Ainsi, le comportement d'un uide newtonien homogène incompressible est décrit, en négligeant les forces volumiques, par les équations suivantes : u = 0 ρ u + ρ(u ) u = p + η u (5) On adimensionne ces équations en eectuant les transformations suivantes, où V, et T désignent respectivement la vitesse, la longueur et le temps caractéristiques de l'écoulement : r = r t = t T = t = T t u = u V p = V η p es équations (3) et (5) deviennent alors : u = 0 T V ρv u η + ρv η (u ) u = p + u On introduit alors le nombre de Reynolds Re = ρv η, et la quantité σ = T V. a deuxième équation s'écrit : σre u + Re (u ) u = p + u (6) On parle d'écoulement rampant, ou régime à faible nombre de Reynolds, lorsque Re 1. On peut alors négliger les deux termes de gauche dans (6) pour aboutir aux équations de Stokes : η u = p (7) u = 0 3
e passage des équations de Navier-Stokes aux équations de Stokes, linéaires, présente de nombreux avantages : mathématiquement, d'une part, on sait qu'un problème de Stokes, constitué des équations de Stokes et de conditions aux limites au bord du domaine considéré, possède une unique solution qui vérie certaines propriétés de stabilité ; numériquement, d'autre part, il est plus facile de résoudre des équations linéaires comme celles-ci, et les algorithmes de résolution sont plus rapides, moins complexes et moins coûteux en termes de ressources de calcul. 4 Retour sur le nombre de Reynolds. Comme on l'a vu précédemment, on dénit le nombre de Reynolds par : Re = ρv η (8) où V et sont respectivement la vitesse caractéristique et la longueur caractéristique de l'écoulement. On peut réécrire le nombre de Reynolds sous la forme suivante : Re = ρv 2 ηv 2 ce qui nous permet de l'interpréter comme le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité dans le uide. On distingue diérents régimes en fonction de la valeur du nombre de Reynolds : pour Re 1, on parle d'écoulement de Stokes, ou d'écoulement rampant ; la dynamique est alors décrite par les équations de Stokes, linéaires et réversibles, ce qui donne lieu à des résultats étonnants [2] ; l'écoulement est par ailleurs laminaire (i.e. stable : des éléments de uide voisins restent voisins). pour Re < 2000, on a toujours un écoulement laminaire, décrit de façon approchée par les équations de Stokes ou, de façon plus précise, par les équations de Navier-Stokes ; les forces de viscosité sont légèrement prépondérantes sur les forces d'inertie. pour 2000 < Re < 3000, on est en régime transitoire, les forces d'inertie et de viscosité sont à prendre en compte. pour Re > 3000, l'écoulement est turbulent, i.e. irrégulier, avec de nombreux tourbillons locaux ; ce sont les forces d'inertie qui sont largement prépondérantes. 4
Références [1] P. Huerre. Mécanique des uides - Tome I - Cours. Editions de l'ecole Polytechnique, Palaiseau, 2010. [2] G. Blanchard, P. Fourment, et al. Pourquoi et comment (bien) nager dans du miel. 2010. 5