RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE

ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, texte revu et augmenté en 007 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE Traction et compression simples Cisaillement simple et état de contrainte plan Caractéristiques des surfaces planes Flexion simple : contraintes et déformations Torsion simple Stabilité des pièces élancées Méthodes énergétiques en résistance des matériaux Relations fondamentales de l élasticité Critères de résistance Effets d entaille. Comportement des matériaux Résistances des matériaux en conception mécanique Copyright Gaston Nicolet CH-1700 Fribourg, tout droit réservé

I N T R O D U C T I O N En cette année, la ville de Bâle fête le 14 avril 007 avec honneur le troisième centenaire de la naissance du mathématicien universel Leonhard Euler (1707-1783), scientifique qui démontra la solution du problème du flambement des pièces élancées sous l effet de forces compressives. La solution de l équation différentielle fait partie intégrante de tout cours sur la résistance des matériaux, voir le chapitre 9 dans le texte. Voici une description brève du document sur l application de la résistance des matériaux à la conception de machines. Chapitres 1 à 3 Les trois premiers chapitres traitent le calcul des pièces sollicitées par des efforts de traction, de compression et de cisaillement simples à partir des principes et hypothèses de base en calcul élastique. L état de contrainte plan peut alors se discuter dans les applications élémentaires. Chapitre 4 La résistance des matériaux élémentaire traite principalement la recherche des contraintes et des déformations dans les pièces longues appelées barres ou poutres. Les dimensions des surfaces transversales interviennent dans l étude et sont exposées en détail dans ce chapitre. Chapitre 5 La plupart des pièces longues sont sollicitées et déformées principalement par la flexion. Ce chapitre traite avec beaucoup de soin la répartition des efforts dans les poutres sollicitées par des forces concentrées ou réparties. La théorie de la répartition de la contrainte de flexion élastique à partir de l hypothèse de Bernoulli, autre scientifique bâlois célèbre, permet d exposer les relations classiques de la flexion. La présence simultanée de la flexion et du cisaillement, l importance de la flexion dite déviée et le comportement élasto-plastique des matériaux sont traités. Chapitre 6 La torsion des barres à sections circulaires, à sections annulaires fermées quelconques et à sections non circulaires quelconques est discutée dans ce chapitre. Chapitre 7 La recherche des déformations en flexion des poutres représente une grande partie du travail ingrat de l ingénieur en conception de machines ou en construction métalliques. Ces déformations peuvent se calculer : - en appliquant la relation différentielle tirée de l expression du rayon de courbure d une ligne plane. - par la méthode de la poutre conjuguée utilisant l analogie existante entre les relations différentielles des efforts et des déformations. - par l introduction de l équation dite des trois moments permettant de résoudre élégamment les problèmes statiquement déterminés et les problèmes hyperstatiques. - par la méthode de la matrice de transmission utilisant simultanément les propriétés des efforts et des déformations. Cette méthode représente une première approche dans la méthode des éléments finis. Chapitre 8 A partir des connaissances acquises dans les sept premiers chapitres, il est possible de discuter la répartition des efforts intérieurs dans les structures, de combiner les diverses contraintes, d examiner les divers cas particuliers, de rechercher les valeurs du cisaillement au moyen de diverses hypothèses simplificatrices. - 1 -

Introduction Chapitre 9 La stabilité des pièces élancées à section constante sous forces compressives utilise la solution proposée par Leonhard Euler et les compléments en comportement élasto-plastiques. Plusieurs problèmes de stabilité sont exposés, en particulier la méthode de Vianello sur la stabilité des pièces élancées à sections variables par tronçons. Chapitre 10 Le principe de la conservation des énergies est aussi applicable en résistances des matériaux. La conservation de l énergie potentielle élastique accumulée dans la structure et la somme des travaux des efforts extérieurs se font équilibre. Le théorème de réciprocité énoncé par Maxwell et complété par Betti, le théorème de Castigliano, les méthodes de Mohr et de la multiplication des diagrammes facilitent la recherche des déformations et des efforts inconnus dans les problèmes isostatiques et hyperstatiques. Chapitre 11 Les relations fondamentales de l élasticité : tenseur des contraintes et tenseur des déformations, la construction graphique du tricercle de Mohr, état de contraintes et de déformations plan et spatial sont présentés dans ce chapitre. La combinaison des contraintes de nature différente interviennent dans la définition des divers critères de résistance. Chapitre 1 Une structure mécanique peut être soumise à des charges exceptionnellement statiques, le plus souvent variables en fonction du temps. L effet de chocs, de la température ou de la présence de fissuration peut modifier le comportement des pièces. La plupart des pièces mécaniques sont à section variable ou sont équipées d appuis et d éléments de machines. La théorie élémentaire de la résistance des matériaux ne permet pas de trouver la répartition des contraintes dans les sections dites entaillées. L introduction des notions de coefficient de forme, de coefficients d effet d entaille, de gradient de contrainte, de chiffre de soutien cerne mieux la solution probable. Le comportement des matériaux métalliques dépend de nombreux facteurs en charges statique et dynamique : facteurs d échelle, facteur d anisotropie, facteur d effet de température, facteur de rugosité, facteur de contrainte moyenne, etc. Chapitre 13 La méthode générale de calcul en résistance des matériaux pour pièces mécaniques distingue trois types de structure : le modèle poutre (1D), le modèle plaque (D), le modèle spatial (3D). Cette méthode utilise en : 1. Contrôle en charge statique : la vérification de la structure s effectue soit à partir des contraintes nominales, calculées au moyen de la résistance des matériaux élémentaire, soit à partir des contraintes locales.. Contrôle en charge dynamique : la vérification de la structure s effectue soit à partir des contraintes nominale, soit à partir des contraintes locales. En charge dynamique, la vérification définit le type de collectif des amplitudes de contraintes dynamiques, le diagramme de Wöhler et essaie de prévoir la durée de vie des pièces. Annexes Le document est complété par les tables des profilés utilisés dans la construction métallique, une liste des notations utilisées, une bibliographie et un index des propriétés principales. - -

TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION 1 Table des matières Chapitre 1 TRACTION SIMPLE 3 1.1 Efforts et contraintes 3 1.1.1 Hypothèses initiales 3 1.1. Réduction d un système des forces extérieures 3 1.1.3 Contraintes normales et tangentielles 5 1. Contrainte de traction 6 1..1 Equilibre et forces intérieures 6 1.. Contrainte normale 6 1..3 Déformations 7 1..3.1 Déformation axiale 7 1..3. Loi de Hooke et module d élasticité 8 1..3.3 Déformations transversales 8 1..3.4 Energie élastique accumulée dans la barre 9 1..3.5 Variation relative de volume 10 1.3 Essai de traction 10 1.3.1 Machine de traction 10 1.3. Caractéristiques mécaniques relevées 11 1.3..1 Eprouvette de traction 1 1.3.. Domaine des déformations élastiques 1 1.3..3 Domaine des grands glissements 13 1.3..4 Domaine des grands allongements permanents 13 1.3..5 Diagramme de traction idéalisé 14 1.3.3 Caractéristiques mécaniques des matières 14 1.3.4 Caractéristiques mécaniques des aciers 15 Chapitre COMPRESSION SIMPLE 17.1 Contraintes et déformations 17.1.1 Contraintes 17.1. Déformations en compression 18.1..1 Déformation axiale 18.1.. Déformation transversale 18.1.3 Essai de compression 18. Contrôle des pièces 19..1 Méthode de résolution 19..1.1 Diagrammes des efforts normaux 0..1. Diagramme des contraintes normales 1.. Sécurités 1...1 Coefficients de sécurité 1... Déformation limite.3 Déformation des poutres triangulées.3.1 Déplacement du nœud d un système élémentaire.3. Plan de Williot 3.3.3 Calcul analytique des efforts normaux 4.3.3.1 Déplacement de déformation et forces terminales 4 Page - Matières : 1 -

Résistance des matériaux Page.3.3. Equilibre analytique des nœuds 5.3.3.3 Ecriture de la matrice carrée et des vecteurs colonne 6.3.3.4 Déformation des barres et déplacement des nœuds 6.4 Problèmes statiquement déterminés 7.4.1 Anneau mince 7.4.1.1 Anneau mince sous pression intérieure 7.4.1. Anneau mince en rotation uniforme 9.4. Effet du poids propre 9.4..1 Pièce à section constante en traction 30.4.. Poutre d égale résistance en traction 30.4.3 Pièce à section progressivement variable 31.4.3.1 Exemple de solution analytique 31.4.3. Solution numérique 3.5 Problèmes hyperstatiques 3.5.1 Méthodes de résolution 33.5.1.1 Barres en traction et / ou en compression 33.5.1. Contraintes et déformations thermiques 33.5.1.3 Problèmes mixtes 33.5. Applications 34.5..1 Emmanchement de deux tubes minces 34.5.. Système à trois barres concourantes 35 Chapitre 3 CISAILLEMENT SIMPLE, ETAT DE CONTRAINTE PLAN 37 3.1 Cisaillement simple 37 3.1.1 Equilibre et effort tranchant 37 3.1. Contrainte tangentielle 38 3.1.3 Déformation 38 3.1.3.1 Loi de la déformation en cisaillement simple 38 3.1.3. Analogie 39 3. Etat de contrainte plan 39 3..1 Principe de la réciprocité des contraintes tau 39 3..1.1 Equilibre 39 3..1. Déformation 40 3.. Contraintes dans une coupe quelconque 41 3...1 Hypothèses initiales et conventions 41 3... Valeurs des contraintes 41 3..3 Contraintes principales 4 3..3.1 Définition des contraintes principales 4 3..3. Contrainte tangentielle 43 3..4 Cercle de Mohr des contraintes 43 3..4.1 Equation du cercle 43 3..4. Construction du cercle 44 3..4.3 Contraintes dans une coupe quelconque 44 3..4.4 Contraintes principales 45 3..4.5 Déformations suivant les contraintes principales 45 3..5 Etats de contrainte plans particuliers 46 3..5.1 Etat de contrainte monoaxial 46 3..5. Etat de cisaillement pur 47 3..5.3 Relation entre le module de glissement et le module d élasticité 47 - Matières : -

Table des matières Chapitre 4 CARACTÉRISTIQUES DES SURFACES PLANES 49 4.1 Définitions et propriétés 49 4.1.1 Moments statiques de surface 49 4.1.1.1 Définitions 49 4.1.1. Propriétés 50 4.1. Moments quadratiques de surfaces planes 50 4.1..1 Moment quadratique polaire 50 4.1.. Moments quadratiques axiaux 50 4.1..3 Rayons de giration 51 4.1.3 Théorème de Huygens ou de Steiner 51 4.1.4 Moment produit 5 4.1.4.1 Propriétés 5 4.1.4. Translation du système d axes 53 4. Calcul des moments quadratiques 54 4..1 Rectangle, cercle et triangle 54 4..1.1 Rectangle 54 4..1. Cercle 55 4..1.3 Couronne circulaire 55 4..1.4 Triangle 56 4.. Surfaces décomposables en surfaces simples 56 4...1 Surfaces composantes symétriques 57 4... Surfaces décomposables en rectangles 57 4...3 Surfaces demi circulaires 58 4..3 Recherche graphique par la méthode de Mohr 59 4..3.1 Justification de la méthode 59 4..3. Moment quadratique axial de gravité 60 4..4 Recherche numérique des moments quadratiques 60 4.3 Rotation du système d axes de gravité 6 4.3.1 Relations analytiques 6 4.3.1.1 Moments quadratiques axiaux 6 4.3.1. Moment quadratique produit 63 4.3.1.3 Axes principaux de gravité 63 4.3. Recherche graphique par le cercle de Mohr-Land 64 4.3..1 Recherche des moments quadratiques 64 4.3.. Recherche des axes principaux de gravité 65 4.3..3 Justification de la construction graphique 66 4.3.3 Axes conjugués quelconques 66 4.3.4 Application 67 Tableau 4.1 : Moments quadratiques de surfaces simples 70 Chapitre 5 FLEXION SIMPLE 71 5.1 Efforts dans les poutres 71 5.1.1 Poutres sollicitées par des forces coplanaires 71 5.1.1.1 Convention des signes des efforts 71 5.1.1. Fonction des appuis 7 5.1.1.3 Poutre soumise aux forces parallèles 73 5.1.1.4 Construction graphique des moments fléchissants 74 5.1.1.5 Poutre soumise aux forces coplanaires 75 5.1.1.6 Poutre sollicitée par des couples de forces 77 Page - Matières : 3 -

Résistance des matériaux Page 5.1. Charges réparties 79 5.1..1 Définition de la charge linéique et propriétés 79 5.1.. Charge linéique constante 80 5.1..3 Charges réparties quelconques 81 5.1..4 Charges réparties par tronçons 83 5.1.3 Charges mixtes 85 5. Flexion simple élastique 86 5..1 Hypothèses initiales et moment fléchissant 86 5.. Contrainte de flexion 87 5...1 Position des fibres neutres 87 5... Valeur des contraintes normales 88 5...3 Contraintes maximale et minimale 88 Tableau 5.1 : Modules de résistance à la flexion élastique de surfaces simples 89 5..3 Poutres d égale contrainte en flexion 90 5.3 Flexion accompagnée de cisaillement 91 5.3.1 Répartition de la contrainte de cisaillement 91 5.3.1.1 Contrainte longitudinale de cisaillement 91 5.3.1. Contrainte transversale de cisaillement 9 5.3.1.3 Cisaillement dans les sections symétriques 9 5.3.1.4 Influence du cisaillement sur la flexion 95 5.3. Effet du cisaillement dans les sections dissymétriques 96 5.3..1 Centre de cisaillement 96 5.3.. Profilé U NP 97 5.3.3 Contraintes principales dans une poutre fléchie 98 5.3.3.1 Valeur des contraintes principales 98 5.4 Flexion déviée 100 5.4.1 Répartition des contraintes 100 5.4.1.1 Application du principe de superposition 100 5.4.1. Direction de l axe neutre 101 5.4.1.3 Contrainte normale maximale ou minimale 101 5.4. Recherche graphique de l axe neutre 10 5.4..1 Expression générale de la contrainte de flexion 10 5.4.. Utilisation du cercle de Mohr-Land 10 5.5 Flexion élasto plastique 103 5.5.1 Etude des déformations élasto-plastiques 103 5.5.1.1 Déformations élastiques 104 5.5.1. Déformations élasto-plastiques 105 5.5.1.3 Déformations plastiques 105 5.5. Calculs en construction de machines 105 5.5..1 Comportement des aciers 105 5.5.. Chiffre de soutien 107 5.5.3 Calculs en construction métallique 107 5.5.3.1 Hypothèses de calcul 107 5.5.3. Section symétrique : moments élastique et plastique 108 5.5.3.3 Variation du moment fléchissant 109 5.5.3.4 Section avec un seul axe de symétrie 110 5.5.3.5 Vérifications 110 Chapitre 6 TORSION SIMPLE 111 6.1 Efforts et contrainte de torsion 111 6.1.1 Moment de torsion et diagramme 111 6.1.1.1 Détermination du couple de torsion dans les arbres 111 - Matières : 4 -

Table des matières Page 6.1.1. Diagramme des moments de torsion 11 6.1. Contrainte de torsion 11 6.1..1 Hypothèses initiales 11 6.1.. Efforts intérieurs et contrainte de torsion 113 6.1.3 Etat de contrainte en torsion simple 115 6.1.3.1 Contraintes tangentielles et normales 115 6.1.3. Pièces à section variable 115 6. Déformation en torsion cylindrique simple 116 6..1 Angle de rotation 116 6..1.1 Déformation angulaire 116 6..1. Relation générale 117 6.. Energie de déformation en torsion 117 6.3 Torsion des barres à sections non circulaires 118 6.3.1 Torsion des profilés minces fermés 118 6.3.1.1 Contrainte de torsion 118 6.3.1. Déformation 119 6.3. Torsion des profilés pleins 119 6.3..1 Constante de St. Venant 119 6.3.. Analogie de Prandtl 10 6.3..3 Calcul pratique 10 Tableau 6.1 : Modules de résistance et moments quadratiques à la torsion 11 Chapitre 7 DÉFORMATION EN FLEXION DES POUTRES ISOSTATIQUES ET HYPERSTATIQUES 13 7.1 Déformation par intégration analytique 13 7.1.1 Equation de la ligne élastique 13 7.1.1.1 Equation différentielle 13 7.1.1. Poutres sollicitées par une force concentrée 14 7.1.1.3 Poutres sollicitées par une charge répartie constante 16 7.1.1.4 Poutres sollicitées par un couple 18 7.1. Superposition des déformations 19 7.1..1 Application du principe de superposition 19 7. Méthode de la poutre conjuguée 130 7..1 Exposé de la méthode 130 7..1.1 Principe 130 7..1. Appuis de la poutre conjuguée 131 7..1.3 Centre de gravité des surfaces 13 7.. Poutres à section constante 13 7...1 Poutres encastrées avec porte-à-faux 13 7... Poutres sur deux appuis sans porte-à-faux 133 7...3 Poutres sur deux appuis avec porte-à-faux 134 7..3 Pièces à section variable 135 7..3.1 Méthode de Mohr numérique 135 7..3. Exemple numérique 136 7.3 Poutres continues hyperstatiques 138 7.3.1 Poutre rectiligne sur deux ou trois appuis 138 7.3.1.1 Poutre encastrée sur deux appuis 138 7.3.1. Poutre encastrée aux deux extrémités 140 7.3.1.3 Poutre sur trois appuis articulés 141 7.3. Equation des trois moments 14 7.3..1 Conventions et substitutions 14 7.3.. Mise en équation 143 - Matières : 5 -

Résistance des matériaux Page 7.3..3 Equilibre et efforts 144 7..3.4 Exemple de calcul d une poutre continue 145 7.4 Méthode de la matrice de transmission 147 7.4.1 Mise en équation 147 7.4.1.1 Conventions 147 7.4.1. Matrice de tronçon 148 7.4.1.3 Vecteur final 149 7.4.1.4 Discontinuités 149 7.4. Application de la méthode en isostatique 150 7.4..1 Effet des appuis et des forces concentrées 150 7.4.. Exemples de calcul de poutres isostatiques 151 7.4.3 Poutre continue hyperstatique à section variable 154 7.4.3.1 Application de la matrice de transmission 154 7.4.3. Application numérique 155 Chapitre 8 RÉPARTITION DES CONTRAINTES COMPOSANTES DANS LES SECTIONS PLANES 157 8.1 Efforts intérieurs 157 8.1.1 Pièces rectilignes 157 8.1.1.1 Equilibre des projections des efforts 157 8.1.1. Equilibre par réduction 158 8.1.1.3 Exemple de recherche des efforts dans un arbre 159 8.1. Poutres planes curvilignes 160 8.1..1 Géométrie de la ligne moyenne 160 8.1.. Transformations 161 8.1..3 Pièces composées de tronçons rectilignes 163 8.1..4 Pièces composées de tronçons curvilignes 164 8.1.3 Poutres spatiales 166 8. Contraintes normales et tangentielles 166 8..1 Contraintes simples 166 8..1.1 Calcul des contraintes simples 166 8..1. Somme des contraintes 167 8.. Contraintes normales 168 8...1 Axe neutre de flexion 168 8... Traction ou compression excentrée 169 8...3 Noyau central de la section 170 8..3 Contraintes tangentielles 17 8..3.1 Contraintes de cisaillement 17 8..3. Contraintes de torsion 175 8..3.3 Contrainte tangentielle résultante 176 8.3 Flexion des pièces à forte courbure 176 8.3.1 Contrainte de flexion 176 8.3.1.1 Conventions des signes 176 8.3.1. Répartition des contraintes 177 8.3. Répartition de la contrainte normale 178 8.3.3 Calcul du facteur de section 179 8.4 Cadres et portiques hyperstatiques 180 8.4.1 Cadre sur deux appuis articulés 180 8.4.1.1 Solution par décomposition en tronçons 180 8.4.1. Solution par recherche directe des réactions 181 8.4. Cadre fermé soumis à une charge répartie 18 - Matières : 6 -

Table des matières Chapitre 9 STABILITÉ DES PIÈCES ÉLANCÉES OU MINCES 185 9.1 Flambement des pièces comprimées 185 9.1.1 Relation d Euler 185 9.1.1.1 Hypothèses initiales 185 9.1.1. Equation différentielle 185 9.1.1.3 Solution de l équation différentielle 186 9.1.1.4 Force critique 187 9.1. Domaine de validité de la solution d Euler 187 9.1..1 Contrainte critique 187 9.1.. Sveltesse minimale 188 9.1..3 Effet des attaches 188 9.1..4 Remarques sur l équation d Euler 189 9.1.3 Domaines élastoplastique et plastique 189 9.1.3.1 Domaine élastoplastique 189 9.1.3. Domaine plastique 190 9.1.4 Calcul d une barre comprimée 191 9.1.4.1 Barre à géométrie connue 191 9.1.4. Barre à géométrie inconnue 19 9.1.4.3 Stabilité globale et stabilité locale 194 9. Autres problèmes de stabilité 194 9..1 Pièces en compression excentrée 194 9..1.1 Déformation transversale 194 9..1. Stabilité de la pièce comprimée 195 9.. Pièces avec charges axiales et radiales 196 9...1 Equation différentielle générale 196 9... Pièce avec charge répartie uniformément 196 9..3 Stabilité d une enveloppe cylindrique à paroi mince sous pression extérieure 197 9..3.1 Mise en équation 197 9..3. Solution de l équation différentielle 198 9.3 Pièce comprimée à section variable 00 9.3.1 Conditions critiques pour une poutre comprimée 00 9.3. Méthode de Vianello 01 9.3.3 Intégration numérique par tronçons 01 9.3.4 Application pratique de la méthode de Vianello 0 9.3.5 Exemples numériques 03 Chapitre 10 MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES APPLIQUÉES EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 05 10.1 Energie potentielle élastique 05 10.1.1 Traction simple 05 10.1. Cisaillement simple 06 10.1.3 Flexion simple 07 10.1.4 Torsion simple 07 10.1.5 Influence du cisaillement en flexion usuelle 08 10.1.5.1 Recherche de l énergie accumulée 08 10.1.5. Valeur du facteur de correction k c 09 10.1.6 Energie potentielle élastique totale 10 10.1.7 Somme des travaux des efforts extérieurs 11 10. Déformation des systèmes isostatiques 1 10..1 Théorème de réciprocité de Maxwell Betti 1 Page - Matières : 7 -

Résistance des matériaux Page 10.. Application de la conservation de l énergie 14 10...1 Poutre avec une force dans le porte-à-faux 14 10... Poutre sous l action de la chute d une masse 15 10..3 Théorème de Castigliano 17 10..3.1 Enoncé du théorème de Castigliano 17 10..3. Application du théorème de Castigliano 18 10..4 Utilisation du théorème de Castigliano 19 10..4.1 Poutre triangulée sollicitée par une force 19 10..4. Potence sollicitée par une force concentrée 0 10..5 Intégrales de Mohr 1 10..5.1 Expression générale des intégrales de Mohr 10..5. Méthode de la multiplication des diagrammes 10..6 Intégrales de Mohr dans les tronçons rectilignes 3 10..6.1 Méthode de résolution 3 10..6. Poutre sur deux appuis avec force en porte-à-faux 4 10..6.3 Poutre sollicitée par deux forces équipollentes 4 10..6.4 Poutre coudée sollicitée par une force concentrée 5 10..7 Intégrales de Mohr dans les tronçons curvilignes 7 10..7.1 Intégration des fonctions trigonométriques 7 10..7. Déformation d un anneau ouvert 7 10..7.3 Pièce cintrée sur deux appuis avec un porte-à-faux 9 10.3 Déformation des systèmes hyperstatiques 31 10.3.1 Principe de Menabrea ou de l énergie minimale 31 10.3.1.1 Méthode directe 31 10.3.1. Structure à quatre barres parallèles 3 10.3.1.3 Poutre rectiligne hyperstatique 33 10.3. Solution par les intégrales de Mohr 34 10.3..1 Principe de la solution 35 10.3.. Calcul des dérivées partielles 35 10.3..3 Charpente triangulée simple 35 10.3..4 Cadre sur deux appuis 38 10.3.3 Méthode des forces 39 10.3.3.1 Principe de la méthode des forces 40 10.3.3. Remarques complémentaires 40 10.3.3.3 Méthode de résolution 41 10.3.3.4 Cadre à appuis encastrés 41 10.3.4 Considérations sur les anneaux à parois minces 44 10.3.4.1 Maillon de chaîne 45 10.3.4. Poutre cintrée encastrée aux deux extrémités 47 Chapitre 11 RELATIONS FONDAMENTALES DE L ÉLASTICITÉ CRITÈRES DE RÉSISTANCE 49 11.1 Etat de contrainte spatial 49 11.1.1 Tenseur de contrainte 49 11.1.1.1 Contraintes sur les faces 49 11.1.1. Contraintes sur une face oblique 50 11.1.1.3 Contraintes normale et tangentielle 51 11.1.1.4 Contraintes principales 5 11.1. Tricercle de Mohr 54 11.1..1 Construction du tricercle de Mohr 54 11.1.. Contraintes sur une face oblique 55 - Matières : 8 -

Table des matières 11.1.3 Variation des contraintes dans le corps 57 11.1.3.1 Etat de contrainte plan 57 11.1.3. Etat de contrainte spatial 58 11.1.3.3 Représentation matricielle de l état d équilibre 59 11.1.3.4 Conditions particulières aux limites du corps 59 11. Etat de déformation spatiale 60 11..1 Expression des déformations dans le plan 60 11..1.1 Déformations linéaires 61 11..1. Déformations angulaires 61 11.. Expressions des déformations spatiales 6 11...1 Déformations axiales 6 11... Déformations angulaires 6 11..3 Etat de déformation spatiale 6 11..3.1 Déformations selon le système de référence O x y z 6 11..3. Déformation de distorsion du parallélépipède 63 11..4 Tenseur de déformation 63 11..5 Tricercle de Mohr des déformations 64 11..5.1 Déformations spatiales 64 11..5. Déformations planes 65 11..5.3 Recherche des déformations et contraintes principales 66 11..6 Energie de déformation 68 11.3 Ecriture des déformations + contraintes 69 11.3.1 Considérations générales 69 11.3. Contraintes et déformations spatiales 69 11.3.3 Etat de contrainte plan 70 11.3.4 Etat de déformation plane 71 11.4 Critères de résistance 73 11.4.1 Exposé des critères de résistance 73 11.4.1.1 Anciens critères de résistance 73 11.4.1. Critère de la plus grande contrainte tangentielle 75 11.4.1.3 Critère de la constance de l énergie de distorsion 77 11.4.1.4 Critère de Mohr et courbe intrinsèque 78 11.4. Rapport des contraintes selon Bach 80 11.5 Notions élémentaires sur les éléments finis 81 11.5.1 Mode des déplacements 81 11.5.1.1 Expression de la matrice de rigidité 81 11.5.1. Recherche des déplacements 8 11.5. Elément : Poutre rectiligne élastique 83 11.5..1 Déplacements linéaires et angulaires 83 11.5.. Déformations et contraintes 84 11.5..3 Matrice de rigidité 84 11.5.3 Elément : Plaque quadrilatérale à quatre nœuds 87 11.5.3.1 Fonctions d interpolation 87 11.5.3. Relations déformations déplacements 88 11.5.3.3 Relations contraintes déformations 89 11.5.3.4 Recherche de la matrice de rigidité 89 11.5.3.5 Plaque quadrilatérale isoparamétrique 91 11.5.3.6 Intégration et valeur des contraintes 93 Page - Matières : 9 -

Résistance des matériaux Chapitre 1 TYPES DE CHARGE, EFFET D ENTAILLE COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX MÉTALLIQUES 95 1.1 Types de charges 95 1.1.1 Charges statiques 95 1.1. Charges dynamiques 96 1.1..1 Variation harmonique simple 96 1.1.. Variation harmonique composée 97 1.1..3 Variation asynchrone des contraintes composantes 98 1.1.3 Charge par des chocs 99 1.1.4 Charge à haute ou basse température 99 1. Effet d entaille 300 1..1 Coefficients de forme 300 1..1.1 Définition du coefficient de forme 300 1..1. Coefficients de forme dans les plaques entaillées 301 1..1.3 Coefficients de forme dans les pièces cylindriques 304 1..1.4 Combinaison des coefficients de forme 306 1.. Coefficients d effet d entaille 307 1...1 Premières propositions de liaison 308 1... Gradient relatif de contrainte 309 1...3 Chiffre de soutien 310 1...4 Coefficients d effet d entaille (au moyen du chiffre de soutien) 311 1...5 Exemple : Coefficients d effet d entaille 31 1...6 Coefficients d effet d entaille arbre / moyeu 313 1.3 Comportement des matériaux métalliques 315 1.3.1 Comportement en charge statique 315 1.3.1.1 Facteur d échelle statique 316 1.3.1. Facteur d anisotropie 317 1.3.1.3 Facteur de résistance en compression 318 1.3.1.4 Facteur d effet de la température 318 1.3. Comportement en élasto-plastique 30 1.3..1 Modules plastiques de résistance 31 1.3.. Limite élastoplastique dans une pièce entaillée 31 1.3..3 Comportement dans une section à un axe de symétrie 3 1.3..4 Comportement plastique sous charges combinées 33 1.3.3 Comportement en charge dynamique 34 1.3.3.1 Diagramme de Wöhler 34 1.3.3. Valeurs de résistance des matériaux 35 1.3.3.3 Diagrammes de résistance dynamique 36 Tableau 1.8 : Résistances statiques et dynamiques des aciers 38 1.3.3.4 Facteur dynamique d échelle 330 1.3.3.5 Facteur dynamique de contrainte moyenne 331 1.3.3.6 Facteur dynamique de rugosité 33 1.3.3.7 Facteur dynamique d effet de la température 333 1.3.3.8 Facteur dynamique de traitement superficiel 334 Chapitre 13 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION DE MACHINES 335 13.1 Méthode générale de solution 335 13.1.1 Structures fondamentales de contrôle 335 13.1.1.1 Structure en poutre (1D) 335 Page - Matières : 10 -

Table des matières 13.1.1. Structure en plaque (D) 336 13.1.1.3 Structure spatiale (3D) 337 13.1. Types de contraintes 338 13.1..1 Contraintes cycliques proportionnelles 338 13.1.. Contraintes cycliques synchrones 338 13.1..3 Contraintes cycliques non proportionnelles 338 13.1.3 Mécanique de rupture pas fissuration 339 13.1.3.1 Modes de sollicitation 339 13.1.3. Facteurs d intensité des contraintes 339 13.1.3.3 Application numérique 340 13. Contrôles en charge statique 34 13..1 Méthode de travail 34 13.. Contrôle à partir des contraintes nominales 34 13...1 Valeur des contraintes nominales 343 13... Caractéristiques mécaniques des matériaux 344 13...3 Valeurs constructives 345 13...4 Résistances ultimes 346 13...5 Facteurs de sécurité 346 13...6 Vérification 347 13...7 Exemple simple de contrôle en contraintes nominales 349 13..3 Contrôle à partir des contraintes locales 350 13..3.1 Valeur des contraintes locales 350 13..3. Caractéristiques mécaniques des matériaux 351 13..3.3 Valeurs constructives 35 13..3.4 Résistances ultimes 353 13..3.5 Facteurs de sécurité 354 13..3.6 Vérification 355 13..3.7 Application dans l exemple numérique 357 13.3 Contrôles en charge dynamique 358 13.3.1 Considérations sur les contraintes dynamiques 358 13.3.1.1 Domaines d investigation 358 13.3.1. Valeur des contraintes dynamiques 359 13.3.1.3 Amplitude de la contrainte dynamique 360 13.3. Collectif des contraintes et diagramme de Wöhler 360 13.3..1 Construction du collectif des contraintes 361 13.3.. Caractéristiques du collectif des contraintes 363 13.3..3 Ajustement du collectif des contraintes 364 13.3..4 Collectifs normés 366 13.3..5 Amplitude équivalente 367 13.3..6 Construction simplifiée du diagramme de Wöhler 367 13.3..7 Facteur de service en sollicitation dynamique 368 13.3.3 Méthode de travail 370 13.3.4 Contrôle à partir des contraintes nominales 371 13.3.4.1 Caractéristiques des contraintes d après la structure 371 13.3.4. Facteur de conception 37 13.3.4.3 Amplitude de la contrainte dynamique limite 37 13.3.4.4 Facteurs de sécurité en charge dynamique 373 13.3.4.5 Vérifications 374 13.3.4.6 Exemple d un contrôle en durée de vie 376 13.3.5 Contrôle à partir des contraintes locales 379 13.3.5.1 Caractéristiques des contraintes d après la structure 379 13.3.5. Facteur de conception 380 13.3.5.3 Amplitude de la contrainte dynamique limite 381 Page - Matières : 11 -

Résistance des matériaux Page 13.3.5.4 Facteurs de sécurité en charge dynamique 38 13.3.5.5 Vérifications 383 13.3.5.6 Exemple de vérification en contraintes locales 385 Annexes 391 Tables des profilés 393 Notations 405 Bibliographie 411 Index 413 - Matières : 1 -

CHAPITRE 1 TRACTION SIMPLE 1.1 EFFORTS ET CONTRAINTES La résistance des matériaux poursuit essentiellement deux buts : 1. Connaissant les caractéristiques mécaniques des matériaux et les efforts extérieurs en présence dans une pièce, elle sert à trouver ou à justifier les dimensions transversales des pièces de telle sorte que les contraintes et les déformations restent admissibles.. Toutes les dimensions de la pièce étant connues et les efforts extérieurs déterminés, elle permet la recherche des contraintes et des déformations subies par la pièce en étude. La résistance des matériaux élémentaire permet de calculer, à partir d un certain nombre d hypothèses souvent fortement simplificatrices, les dimensions des pièces de machines afin qu'elles supportent sans dommage les efforts auxquels elles sont sollicitées. 1.1.1 HYPOTHÈSES INITIALES La résistances des matériaux utilise les hypothèses simplificatrices suivantes : 1. La matière est homogène c est-à-dire de même constitution physique et de même structure dans tout le volume de la pièce.. La matière est isotrope c est-à-dire ses propriétés mécaniques sont les mêmes en tout point du corps et en tout sens. Il s agit là d une des premières approximations mise en défaut par les matières fortement anisotropes comme la fonte grise ou par les profilés laminés. 3. La matière est parfaitement élastique c est-à-dire qu après élimination des efforts extérieurs, la pièce reprend immédiatement ses dimensions primitives. 4. Les sections transversales dans la pièce, initialement planes et perpendiculaires aux «fibres» longitudinales avant déformation, demeurent planes après déformation. Cette hypothèse a été énoncée par Bernoulli et Navier. 5. Dans le domaine dit élastique, la matière obéit à la loi de proportionnalité : les contraintes sont proportionnelles aux déformations. Les contraintes et les déformations sont liées par la loi de Hooke. Cette loi linéaire permet d appliquer le principe de superposition des forces et des déformations à la résistance des matériaux. 1.1. RÉDUCTION D UN SYSTÈME DE FORCES EXTÉRIEURES La résistance des matériaux élémentaire étudie la répartition des efforts intérieurs dans les corps de forme très simple, essentiellement les barres et poutres rectilignes, coudées ou curvilignes. Ces pièces présentent généralement une ligne moyenne, lieu des centres gravité des différentes sections. Cette ligne moyenne définit la dimension longitudinale. Les épaisseurs sont alors les dimensions transversales. Les points disposés identiquement sur des sections planes, normales à la dimension principale, jouissent de propriétés semblables. On suppose que ces points appartiennent à des «fibres» parallèles à l axe longitudinal de la pièce. La ligne moyenne est dénommée «ligne moyenne» ou «fibre moyenne», figure 1.1. - 3 -

Contraintes fondamentales Figure 1.1 Ligne moyenne dans une pièce à section variable Soit une barre prismatique en équilibre statique soumise à l action d un ensemble d efforts extérieurs. Coupons en pensée cette pièce par une section perpendiculaire à la fibre moyenne. Isolons par exemple le tronçon droit soumis : 1. A l action des efforts extérieurs, forces ou couples de forces, appliqués initialement à cette partir isolée.. A l action des efforts intérieurs, dus à la cohésion de la matière constituant la pièce. Ces efforts représentent l'action du tronçon gauche supprimé sur la section d aire A. La réduction des efforts extérieurs, exercés sur le tronçon de gauche, au centre de gravité C de la section normale, donne dans le cas général, figure 1. : 1. Une résultante générale : R = Σ F i gauche, décomposable en : - un effort normal F N suivant la normale à la section ; - un effort tranchant F T placé dans le plan de la section droite.. Un couple principal de moment : M (C) = Σ a i F i gauche, décomposable en : - un moment de torsion M t suivant la normale à la section, - un moment fléchissant M f situé dans le plan de la section droite. Figure 1. Réduction des efforts extérieurs au centre de gravité C de la section d aire A Cette réduction des efforts extérieurs au centre de gravité C de la section fait apparaître les définitions suivantes : 1. Effort normal : somme algébrique des projections sur la normale à la section plane de toutes les forces extérieures situées d un même côté de cette section.. Effort tranchant : somme vectorielle des projections sur le plan de la section droite de toutes les forces extérieures situées d un même côté de cette section. - 4 -

1. Traction simple 3. Moment fléchissant : somme vectorielle des projections sur le plan de la section droite des moments de forces et des couples de forces extérieurs situés d un même côté de cette section, la réduction s effectuant au centre de gravité C. 4. Moment de torsion : somme algébrique des moments par rapport à la normale à la section droite passant par le centre de gravité C, de toutes les forces et couples extérieurs situés d un même côté de cette section. L effort tranchant et le moment fléchissant sont à leur tour décomposés en composantes rectangulaires suivant les axes principaux de gravité de la section plane. L étude générale de la réduction des efforts extérieurs permet de mettre en évidence six composantes rectangulaires. Souvent, les problèmes à résoudre sont plus simples et les cas suivants pour les pièces rectiligne peuvent intervenir : 1. Les forces extérieures sont toutes situées dans un plan de symétrie de la pièce : seuls les efforts normaux et tranchants, les moments fléchissants peuvent exister.. Les forces extérieures sont situées dans un plan de symétrie de la pièce et sont toutes perpendiculaires à l axe rectiligne de la poutre : seuls les efforts tranchants et les moments fléchissants peuvent exister. 1.1.3 CONTRAINTES NORMALES ET TANGENTIELLES La résistance des matériaux utilise fréquemment des coupes imaginaires planes dans les pièces en étude. Les forces appliquées dans la coupe proviennent de l action du tronçon supprimé sur la partie restante. Ces forces, exprimant la continuité et la cohésion de la matière, sont réparties sur toute l étendue de la section. L effet résultant correspond aux efforts extérieurs et satisfait aux conditions d équilibre statique du tronçon isolé. Figure 1.3 Forces élémentaires sur une surface élémentaire da Découpons une surface élémentaire da repérée par rapport à un systèmes de coordonnées trirectangle C x y z. La force élémentaire df, décomposable en deux composantes rectangulaires, est appliquée sur cette surface élémentaire da. Les composantes sont : 1. une composante normale à la coupe df n ;. une composante tangentielle df t située dans le plan de la coupe. Ces deux composantes rectangulaires sont reliées à la force élémentaire totale par la somme vectorielle : df = df n + df t. La contrainte normale, désignées par la lettre grecque sigma, est définie par le quotient de la composante normale par l aire de la surface élémentaire : - 5 -

Contraintes fondamentales σ = d F n da. La contrainte tangentielle, désignée par la lettre grecque tau, est définie par le quotient de la composante tangentielle par l aire de la surface élémentaire : τ = d F t da. 1. CONTRAINTE DE TRACTION Soit une pièce prismatique à fibre moyenne rectiligne et section constante. La pièce reste en équilibre statique sous l action de deux forces extérieures égales et directement opposées : F 1 = - F ou F 1 + F = 0. Ces deux forces sont appliquées aux centres de gravité des sections terminales de la barre. 1..1 ÉQUILIBRE ET FORCES INTÉRIEURES Coupons la pièce en un endroit quelconque, perpendiculairement à la fibre moyenne, et isolons soit le tronçon gauche, soit le tronçon droit. En supposant la partie droite supprimée en pensée, il faut appliquer dans la coupe imaginaire un effort normal F N de façon à maintenir l équilibre du tronçon gauche. L équilibre de translation de cette partie s écrit : Σ X = 0 : F N F 1 = 0 ou F N = F 1. La force F N est appliquée au centre de gravité C de la section droite, figure 1.4. L équilibre du tronçon de droite s exprime par : Σ X = 0 : F F N = 0 ou F N = F. Figure 1.4 Pièce rectiligne sollicitée en traction simple La pièce est en traction simple ou en extension simple. Les efforts dans la section droite, placés au centre de la surface, sont les suivants : - Effort normal : F N 0. - Effort tranchant : F T = 0. - Moment fléchissant : M f = 0. - Moment de torsion : M t = 0. 1.. CONTRAINTE NORMALE L effort normal F N étant placé au centre de gravité C de la section droite, nous pouvons admettre que cette force est la résultante de forces élémentaires df N, parallèles à F N, et proportionnelles à l étendue de la surface. L effort normal est donc réparti uniformément sur toute l aire de la surface. La contrainte de traction se trouve par : - 6 -

1. Traction simple d σ = = da F N N F A. (1.1) Divisons l aire de la surface plane en surfaces élémentaires d aire da = dy. dz. Chaque surface élémentaire est soumise à l action d une force normale élémentaire df N. Comme la répartition de la force normale totale est supposée uniforme sur toute l étendue de la section, le quotient de la force par l aire correspondante est constant pour toute aire élémentaire. Ce quotient vaut ainsi F N /A, figure 1.5. Figure 1.5 Répartition des forces normales élémentaires et valeur de la contrainte Remarques : 1. Chaque fois que la force normale F N est la résultante unique au centre de gravité de toutes les forces extérieures appliquées sur le tronçon éliminé en pensée de la poutre rectiligne, nous pouvons admettre une répartition uniforme de la contrainte normale sur toute l étendue de la section.. La forme géométrique de la section, plane ou creuse, ne joue aucun rôle sur la répartition de la contrainte normale dans la section. 3. Si la pièce est à section progressivement variable, nous pouvons encore admettre que la relation fondamentale reste valable. 4. Si la section transversale varie brusquement, la contrainte normale réelle peut devenir plusieurs fois celle calculée par la relation fondamentale en traction simple. Il y a concentration d efforts et une répartition non uniforme de la contrainte dans la section droite. Cette remarque est aussi valable aux extrémités de la pièce là où les forces de traction extérieures sont appliquées. 1..3 DÉFORMATIONS Sous l effet des forces extérieures F 1 et F, la barre, de longueur initiale l 0 et de section droite d aire A, subit des déformations : un allongement dans le sens axial, une contraction dans le sens transversal. 1..3.1 DÉFORMATION AXIALE En traction simple, la déformation axiale est la principale déformation de la pièce. L allongement de la barre l est la différence entre la longueur actuelle de la barre l, sous l action de l effort normal F N, et la longueur initiale l 0 : l = l l 0. - 7 -

Contraintes fondamentales Pour caractériser le comportement de la matière et pour comparer les résultats d essai, on préfère toutefois indiquer l allongement relatif ou l allongement spécifique ε par le rapport suivant : l ε = l0 l =. (1.) l0 l0 L allongement spécifique ε est la fraction de longueur déformée de la barre. Il s exprime en pour-cent ou en pour-mille. 1..3. LOI DE HOOKE ET MODULE D ÉLASTICITÉ En chargeant progressivement une barre de dimensions déterminées par deux forces axiales directement opposées, nous pouvons constater que la déformation axiale dépend de la nature de la matière utilisée, de la longueur initiale l 0, de l aire de la section transversale A et de l effort normal F N. Ces grandeurs sont reliées entre elles par la loi de Hooke. L allongement se trouve par l expression : FN l0 1 FN l0 σ l0 l = α = =. (1.3) A E A E Avec : α coefficient d élasticité en traction. Ce coefficient est très peu utilisé en pratique. E module d élasticité en traction, nommé parfois module de Young. Les valeurs du coefficient d élasticité ou du module d élasticité sont des grandeurs relevées expérimentalement, lors de l essai de traction. Par exemple, les aciers ordinaires au carbone utilisés dans la construction de machines présentent des modules d élasticité compris entre 0 et. 10 4 N/mm, soit en moyenne 1. 10 4 N/mm. En combinant les relations de la déformation et de définition de la contrainte normale de traction, nous pouvons écrire successivement : l 1 ε = = σ, l0 E ou encore : σ = ε. E. (1.4) La contrainte de traction est proportionnelle à l allongement spécifique et au module d élasticité. Cette relation fait ressortir le fait que dès qu il y a contrainte, il y a allongement proportionnel et vice versa. La loi de proportionnalité, énoncée par Hooke, est le point de base de toute la théorie élastique de la résistance des matériaux. Dans les calculs pratiques de pièces métalliques, nous pouvons généralement confondre les longueurs de référence l 0 et actuelle l, car les déformations axiales restent toujours très faibles vis à vis des dimensions primitives des pièces. 1..3.3 DÉFORMATIONS TRANSVERSALES La déformation transversale peut se définir simplement sur une barre à section circulaire de diamètre initial d 0. Sous l action de l effort normal F N, le diamètre de la pièce diminue à la valeur d. Définissons : 1. La contraction transversale par la variation de diamètre : d = d - d 0.. La contraction transversale spécifique ou relative par : d ε t = d0 d =. d d 0 0-8 -

1. Traction simple La contraction transversale ε t s exprime généralement en pour-cent ou en pour-mille. Elle est négative. Le coefficient de contraction est égal au rapport de la contraction transversale à la déformation longitudinale, changée de signe : 1 ε ν = = t. m ε L inverse du coefficient de contraction est le coefficient de Poisson m. Il y a souvent confusion dans l appellation de ces deux coefficients. Par exemple, les aciers au carbone de construction présentent un coefficient de Poisson m = 10/3 ou un coefficient de contraction ν = 0,3. La déformation transversale de la pièce est habituellement négligée quant à sa grandeur dans les applications courantes. Par contre, elle ne peut pas être oubliée lorsqu il s agit de trouver la répartition des contraintes à partir d une mesure extensométrique. Si la pièce n est pas circulaire, les relations proposées restent encore valables. Pour une pièce à section rectangulaire de dimensions transversales b et h, nous pouvons définir la contraction transversale spécifique par : ε t = b b = 0 h h0. b0 h0 Le coefficient de contraction se définit comme précédemment pour la section circulaire. 1..3.4 ÉNERGIE ÉLASTIQUE ACCUMULÉE DANS LA BARRE Le travail élémentaire d une force F est égal au produit scalaire de cette force par le déplacement élémentaire ds du point d application de cette force. En traction simple, force et déplacement sont alignés. Le travail élémentaire est alors donné par le produit algébrique des deux grandeurs. Le travail total est égal à la somme des travaux élémentaires. Dans le domaine d application de la loi de Hooke, c est-à-dire dans le domaine dit élastique, la force axiale est proportionnelle à la déformation, le facteur de proportionnalité étant la raideur de la barre définie par l expression : dfn FN AE k = = =. d l l l Le travail élémentaire se calcule alors par dw = F. d l = k l d l. Le travail total pour déformer la barre de l produit par la force axiale variant de zéro à la valeur maximale F N se trouve par : z FN ln FN l W0, N = k l d l = k =. 0 Si le travail produit par la force extérieure est entièrement accumulée dans la pièce parfaitement élastique, sans pertes, ce travail est à l état latent sous forme d énergie élastique. Représentons par W u cette énergie interne. Nous pouvons donc écrire : W W F l N F N = u =. Calculons l énergie interne par unité de volume w u en divisant cette dernière expression par le volume de la barre V = A. l et en remplaçant F N par σ. A et l par σ l/e : w u Wu σ Aσ l σ = = =. V AlE E Cette dernière expression est la relation générale de l énergie élastique interne d une pièce soumise à une contrainte normale de traction. - 9 -

Contraintes fondamentales 1..3.5 VARIATION RELATIVE DE VOLUME Sous l effet de la force de traction, la barre s allonge dans le sens axial et se contracte dans le sens transversal. Proposons-nous de trouver la variation relative de volume de la barre après déformation. Soit une barre de longueur initiale l 0, section rectangulaire de largeur b 0 et de hauteur h 0. Le volume initial de cette pièce simple se trouve par : V 0 = b 0 h 0 l 0. Après application de la force normale F N, les déformations sont : l = l l 0 = ε l 0, b = b b 0 = ε t b 0. h = h h 0 = ε t h 0. En introduisant ε t = - ν ε, le volume de la barre après déformation se trouve par les produits : V = b h l = b 0 (1 - ν ε). h 0 (1 - ν ε). l 0 (1 + ε) = b 0 h 0 l 0 (1 + ε) (1 ν ε ). La variation de volume vaut V = V V 0 = V 0 [(1 + ε) (1 - ν ε ) 1]. Développons cette expression et déterminons la variation relative de volume : V 3 = 1 νε+ ν ε + ε νε + ν ε 1. V 0 En négligeant les termes au carré et au cube, la variation relative de volume vaut : b g. V = 1 ν ε V 0 L expérience montre que le double produit du coefficient de contraction est inférieur à 1. La valeur entre parenthèses reste toujours positive. Une barre en traction simple subit donc toujours une augmentation de volume sous l effet de l effort normal positif. 1.3 ESSAI DE TRACTION La résistances des matériaux est une science essentiellement pratique. Elle utilise constamment les caractéristiques mécaniques des matières afin de pouvoir décider si la sécurité d une construction est suffisante ou non. Parmi tous les essais, l essai de traction simple sur éprouvette normalisée permet d obtenir les valeurs fondamentales de résistance. 1.3.1 MACHINE DE TRACTION Les résultats obtenus dépendent non seulement de l éprouvette, mais également de l équipement et du mode opératoire. La machine d essai oléohydraulique verticale est constituée le plus souvent par les composants suivants. 1. Un bâti comprenant un socle sur lequel est fixé un cadre composé de deux ou quatre colonnes et d une traverse supérieure supportant un vérin hydraulique à frottement des plus réduits.. Un cadre mobile, guidé sans frottement à l intérieur du cadre fixe, déplacé par l action du piston du vérin hydraulique. Cette disposition particulière des deux cadres permet d opérer dans diverses conditions et d effectuer des essais de traction, de compression, de cisaillement, de flexion et de dureté superficielle. 3. Un groupe générateur de pression comportant une pompe volumétrique produisant une pression comprise habituellement entre 00 et 500 bars, un régulateur de débit, un limiteur de pression maximale et un robinet de décharge. - 10 -

1. Traction simple 4. Un dispositif de mesure de la force produite par le vérin. Cet équipement est généralement composé d une conduite de mesure, séparée de la conduite d alimentation afin de tenir compte de la perte de charge due à l écoulement du fluide, d un mécanisme manométrique. 5. Un dispositif de mesure de la déformation axiale de l éprouvette de traction constitué par un mécanisme appelé extensomètre. La déformation est généralement transmise au pupitre de mesure, soit amplifiée mécaniquement, soit le plus souvent sous forme d un signal électrique. Figure 1.6 Représentation schématique d une machine d essai oléohydraulique Composants : machine à deux cadres, générateur de pression et poste de mesure (Amsler). Dans la machine d essai oléohydraulique, le régulateur de débit assure une alimentation à débit constant quelle que soit la pression à l intérieur du cylindre. La grandeur d entrée de cette machine d essai est donc le déplacement du cadre mobile par rapport au cadre fixe et non la valeur de la force produite. Le relevé graphique de la force axiale dans l éprouvette en fonction de la déformation mesurée sur une distance déterminée porte le nom de diagramme de traction. Pour pouvoir comparer les diverses matières et des éprouvettes de formes différentes, ce diagramme est modifié en portant en abscisses l allongement spécifique ε et en ordonnées la contrainte normale σ. 1.3. CARACTÉRISTIQUES MÉCANIQUES RELEVÉES L essai de traction a pour but de déterminer les grandeurs mécaniques définies ci-après. A cet effet, l éprouvette est soumise à l action d une traction croissante, uniaxiale et si possible homogène, sur toute la longueur de mesure. Généralement, l essai est poursuivi jusqu à la rupture de l éprouvette, la température d essai étant la température ambiante. - 11 -