. Signaux périodiques et signaux sinusoïdaux.. Caractéristiques des signaux périodiques Rappelons la définition. Un signal s(t) est dit périodique s il reprend la même valeur à des intervalles de temps égaux : T R / tr s(t + T) = s(t) L intervalle de temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur du signal est appelé période T. La fréquence f (f = /T) est l inverse de la période. La valeur moyenne d un signal périodique est par définition, calculée sur un intervalle de temps correspond au période. = (). = (). L intégrale ne dépend pas de l intervalle choisi. Un changement de variable permet de se ramener à [0, T] ce qui ici allège les écritures. Mais il est toujours possible de choisir un intervalle mieux adapté au cas étudié. Le carré de la valeur efficace Seff d un signal périodique est égal à la valeur moyenne du module au carré de ce signal. Ce qui nous donne : = (). Le carré de cette valeur efficace correspond à la puissance moyenne du signal. Les signaux périodiques ont des énergies infinies mais des puissances moyennes finies... Caractéristiques d un signal sinusoïdal Les signaux sinusoïdaux sont des signaux périodiques qui jouent un rôle fondamental puisque que tout signal périodique peut se décomposer comme la superposition de signaux sinusoïdaux. 4
Un signal s(t) est dit sinusoïdal si son évolution temporelle peut se mettre sous la forme : () =. ( + ) > 0 La grandeur positive A représente l amplitude du signal, la quantité ωt + est la phase à l instant t, ou phase instantanée, du signal. Elle s exprime en radian (rad), et la phase à l origine des temps, ou phase initiale est définie en modulo π. La grandeur ω, exprimée en rad/s est appelée pulsation du signal. Figure : Signal sinusoïdal avec A =, f = 0.5 et =/6 C est un signal périodique dont il est facile de calculer la fréquence f et la période T en fonction de sa pulsation. La période correspond à l intervalle de temps pour lequel la phase varie de π. Nous avons donc : = = [] = = [] Comme l intégrale d une sinusoïde sur une période est nulle, alors la même pour la valeur moyenne d un signal sinusoïdal : = (). =. ( + ). = 0 La valeur efficace de signal sinusoïdal précédent peut être calculée comme suit : 5
= (). = ( + ) = ( [( + )]) = Pour un signal sinusoïdal, Il existe une relation simple entre la valeur efficace et l amplitude d un signal sinusoïdal : = Cette interprétation physique de l amplitude en termes de puissance moyenne est possible car l amplitude d un signal sinusoïdal est un invariant temporel. Considérons en effet un signal sinusoïdal s(t) par translation temporelle de τ nous obtenons : ( ) =. [( ) + ] =. [ + ( )] La translation temporelle résulte en un changement de la phase à l origine, mais ne modifie pas l amplitude du signal.. Analyse en série de Fourier d'un signal périodique Le théorème de Fourier, dont les hypothèses sont toujours vérifiées pour les signaux rencontrés dans la réalité, permet de décomposer tout signal périodique en somme de signaux sinusoïdaux. D où l importance de l étude des signaux sinusoïdaux.. Théorème de Fourier Toute fonction s(t) réelle, périodique de période T = /, monotone par morceaux et bornée sur le segment [0, T] est décomposable en une somme de fonctions sinusoïdales appelée "Série de Fourier" () = + [ () + ()] 6
Théorie du signal Chapitre : Analyse de Fourier Dr. Djilali Benyoucef, An et Bn sont réels et peuvent être calculés à partir des expressions suivantes : = (). = (). (). = (). (). Les fréquences des composantes sinusoïdales sont des multiples de la fréquence f du signal périodique décomposé. La fréquence f = f correspond au fondamental, ou premier harmonique (n = ). La fréquence fn = n.f correspond à l harmonique d ordre n (n > ). Cette décomposition signifie que les fonctions cos(nt) et sin(nt) constituent une base orthogonale de l espace des fonctions considérées :, (). (). = 0, (). (). = (). (). = 0 0: (). = (). = L'écriture précédentes des séries de Fourier présente en fait peu d'intérêt physique, en effet si la fonction s(t) subit une simple translation suivant l'axe des temps alors les coefficients An et Bn seront modifiés. En conséquence, on cherche donc une nouvelle écriture des séries de Fourier dans laquelle la puissance est conservée après une translation suivant l'axe des temps et où cette translation apparaitra sous la forme d un déphasage. Cette nouvelle écriture s'obtient en posant : = ( ) = ( ) 7
Théorie du signal Chapitre : Analyse de Fourier Dr. Djilali Benyoucef Ainsi, en remplaçant An et Bn par ses expressions : () = + [( )() + ( )()] = + ( + ) Avec: = = + Cn et n sont respectivement les spectres d amplitude et les spectres de phase.. Fonctions périodiques paires et impaires Les fonctions cosinus et sinus sont respectivement paire et impaire. Montrons que, comme dans l exemple précédent, la décomposition de Fourier d une fonction paire ne comporte que des termes en cosinus, alors que celle d une fonction impaire ne comporte que des sinus. Considérons une fonction s(t) paire. Montrons que tous les coefficients Bn de la décomposition de cette fonction sont nuls. Nous choisissons un intervalle d intégration symétrique par rapport à t = 0, soit [-T/, T/]. Calculons Bn, pour n > 0 : = = (). (). (). (). + (). (). Avec changement de variable (z = -t), l'intégral précédent devient : = ( ). ( ). ( ) + ( ). ( ). ( ) En tenant compte de la parité de s(t) nous avons donc : 8
Théorie du signal Chapitre : Analyse de Fourier Dr. Djilali Benyoucef = (). (). + (). (). = (). (). + (). (). = 0 En procédant de manière similaire il est facile de montrer que les coefficients An ainsi la valeur moyenne pour une fonction impaire sont nuls. () = + () () = () () () Fonction impaire : Soit la fonction périodique s(t) de période définie comme suit : () =, Cette fonction est monotone par tranches et bornée. Elle admet donc un développement en série de Fourier : =. = 4 [ ] = 0 =. (. ). = (. ) (. ). = 0 La valeur moyenne et les coefficients de cosinus sont nuls parce que s(t) est impaire. = () = (). (. ). = (. ) + () () + + ( ) (. ). = ( ) () + = ( ) 9
Cette égalité a lieu partout sauf au point de discontinuité où est égale à la somme arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite (égale à 0 pour cet exemple). Figure : Décomposition d'un signal périodique impair en série de Fourier Fonction paire : Soit la fonction périodique s(t) de période définie comme suit :, 0 () =, 0 < Cette fonction est monotone par tranches et bornée. Elle admet donc un développement en série de Fourier : = = = (). = ( ). +. = (). (. ). = (. ) + ( ). (. ). +. (. ) (. ). + (. ) (. ). 0
= 0 [() ] = 4 = (). (. ). = ( ). (. ). +. (. ) = 0 5 Figure : Décomposition d'un signal périodique paire en série de Fourier Les coefficients de cosinus sont nuls parce que s(t) est paire. () = 4 () + (3) ( + ) 3 + + ( + ) + = 4 ( + ) ( + ) NB : La modélisation d'une fonction dérivable par morceaux par une série de Fourier fait apparaitre un artéfact au voisinage des discontinuités de la fonction sous forme d'oscillations. Ce phénomène porte le nom de phénomène de Gibbs. Lorsque le nombre d'harmoniques n devient grand, l'amplitude de ces oscillations tend vers une limite strictement plus grande que l'amplitude de la discontinuité, tandis que la largeur de la zone d'oscillation tend vers zéro. Ce phénomène est apparait dans le premier exemple (fonction impaire).
Théorie du signal Chapitre : Analyse de Fourier Dr. Djilali Benyoucef.3. Développement en termes complexes En introduisant la notation complexe de cos(nωt) et sin(nωt), il est possible d'obtenir une écriture complexe de la série de Fourier. On pose : () = + () = On obtient alors : () = = () Les coefficients complexes Sn sont reliés aux coefficients An et Bn par les relations suivantes : > 0 = = + Si s(t) est paire Bn = 0 et Sn = S-n et si s(t) est impaire An = 0 et Sn = -S-n 3. Théorème de Parseval Calculons, à partir de sa décomposition de Fourier, la valeur efficace Seff d un signal périodique s(t). Par définition nous avons : = (). () = + ( + ), = () () = ( + ), =
() = ( + ) + ( + ). ( + ). = ( + ). = ( + ). ( + ). = 0 = + Cette relation est appelée égalité de Bessel-Parseval. Le carré de la valeur efficace d un signal périodique s exprime à partir de la somme du carré de sa valeur moyenne et des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques. C est aussi la puissance moyenne du signal : = = + 4. Transformée de Fourier La représentation temporelle peut être suffisante dans les cas o`u la forme du signal et la nature du traitement restent simples. Dans la réalité, les signaux n ont pas toujours une forme simple soit en raison de la nature de l information qu ils portent, soit en raison du traitement qu ils doivent subir. L unique représentation du signal en fonction du temps s avère insuffisante : elle ne permet plus d interpréter correctement l information. Dans de tels cas, la représentation du signal en fonction de la fréquence est très utile. 3
La transformée de Fourier est un outil mathématique qui permet d'établir une dualité entre deux représentations différentes d un signal mais complémentaires au niveau de l interprétation des résultats. Elle effectue le passage du domaine temporel au domaine spectral (fréquentiel). Son résultat est appelé spectre d un signal. La transformée de Fourier du signal s(t), notée F[()] = () est définie par : () = F[()] = (), ( = ) Comme l'information fournie par l'intégrale correspond à toutes les instances de temps, la transformée de Fourier permet de dire en quelles quantités les fréquences existent mais elle ne dit pas à quels instants ces fréquences sont présentes. par : La transformée de Fourier inverse de () est le signal () = F [()] défini () = F [()] = (), ( = ) NB : L'énergie totale d'un signal ne dépend pas de la représentation choisie : fréquentielle ou temporelle d'après l'égalité de Parseval (dite aussi identité de Rayleigh). = (). = (). = ()., = 4.. Propriétés de Transformation de Fourier ) La transformée de Fourier est inversible si s(t) est un signal à énergie finie ) Linéarité F[. () +. ()] =. F[()] +. F[()] 3) Dilatation : F[(. )] =. 4) Translation en temps : F[( )] = (). 5) Translation en fréquence : F() = ( ) 4
6) Dérivation : F () = () () 7) Intégration : F () = () + (0)() 8) Conjugaison : F[ ()] = ( ) 9) Dualité si F[()] = () F[()] = ( ) 0) Parité : () = () + () F[()] = F () + F[ ()] ) Si x(t) est réel alors : R() = F () est une fonction réelle et I() = F[ ()] est fonction imaginaire ) Si x(t) est réel pair, alors X() est réel pair 3) Si x(t) est réel impair, alors X() est imaginaire impair 4) () () = ()() 5) F[(). ()] = () () 6) F[ ()] = () () 4.. Transformation de Fourier des fonctions usuelles F[] = () F[()] = F[()] = ω + () F[()] = ω F[ ()] = + F[( )] = [( + ) + ( )] F[( )] = [( + ) ( )] F[ ( )()] = F[ ( )()] = F[ ()] = ( + ) + ( + ) + ( + ) + F[Π(/)] = F[Λ(/)] = F[ ] = ( ) () () F = ( ) F[ ()] = (), = F = F = + (0) = () (0) = () 5
Exercice : On considère le signal suivant : TD n: Analyse de Fourier () = + 4 + + 4 + - Calculer la période et la pulsation fondamentale du signal s(t) -Calculer la puissance moyenne de s(t), puis déduire sa valeur efficace 3-Calculer la valeur moyenne de s(t) Exercice : On donne un signal périodique de période défini comme suit :, < < 0 () =, 0 - Tracer s(t) et calculer sa puissance moyenne -Calculer ses coefficients de Fourier 3-En utilisant le théorème de Parseval déduire la somme suivante : = ( + ) 3-Calculer la valeur moyenne du signal périodique de période suivant :, < < 0 () =, 0, > 4-Déduire ses coefficients de Fourier, en tenant compte les coefficients de de s(t). Exercice 3 : On donne un signal périodique de période défini comme suit : - Tracer s(t) -Calculer ses coefficients de fourrier 3-Déduire les sommes suivantes : () = =, = ( ) 6
En utilisant le théorème de Parseval, calculer la puissance des harmoniques d'ordre supérieur à Exercice 4 : Calculer directement la transformée de Fourier des signaux suivant : (), Π(), Λ() En utilisant les propriétés de la transformation de Fourier, Trouver la transformation du Fourier des signaux suivant : (), (), +, () =, [, ( + )[ Z Calculer la dérivée de s(t) puis déduire la transformée de Fourier de () Exercice 5 En utilisant la transformée de Fourier des Fonction usuelles et ses propriétés, trouver la transformé de Fourier des signaux suivant : β -α α -β.5 0.5 - -0.5 0.5 β -α α -β 7