Correction des exemples Mathieu EMILY Novembre 2005
Table des Matières Exemple_Exercice 1 Page 2 Exemple_Exercice 2 Page 3 Exemple_Exercice 3 Page 5 Exemple_Exercice 4 Page 6 Exemple_Exercice 5 Page 7 Exemple_Exercice 6 Page 8 Exemple_Exercice 7 Page 9 Exemple_Exercice 8 Page 10 Exemple_Exercice 9 Page 11 Exemple_Exercice 10 Page 12 Exemple_Exercice 11 Page 12 Exemple_Exercice 12 Page 13 Exemple_Exercice 13 Page 14 Exemple_Exercice 14 Page 15 Exemple_Exercice 15 Page 16 Exemple_Exercice 16 Page 16 Exemple_Exercice 17 Page 17 Exemple_Exercice 18 Page 17 Exemple_Exercice 19 Page 18 Exemple_Exercice 20 Page 18 Exemple_Exercice 21 Page 19 Exemple_Exercice 22 Page 20 Exemple_Exercice 23 Page 20 1
Exemple_Exercice 1 Dans un bus, 35 personnes pratiquent le ski, 20 le surf, 5 le monoski. Parmi ces personnes, 10 pratiquent le ski et le surf, 3 le ski et le monoski, 1 le surf et le monoski et enn 1 personne pratique le ski, le surf et le monoski. Combien y a-t-il de personnes au total, sachant que les sports de glisse pratiqués se limitent au ski, au surf et au monoski? Correction 1 Soit A 1 = {L'ensemble des personnes pratiquant le ski}. Soit A 2 = {L'ensemble des personnes pratiquant le surf}. Soit A 3 = {L'ensemble des personnes pratiquant le monoski}. Soit N le nombre total de personnes on a : Donc d'après la formule de Poincaré : N = card(a 1 A 2 A 3 ) N = card(a 1 ) + card(a 2 ) + card(a 3 ) card(a 1 A 2 ) card(a 1 A 3 ) card(a 2 A 3 ) + card(a 1 A 2 A 3 ) Soit N = 35 + 20 + 5 10 3 1 + 1 N = 47 2
Exemple_Exercice 2 1. Dans un jeu de 32 cartes, on prend 3 cartes successivement sans remise. De combien de façons peut-on opérer pour obtenir au moins un c ur? 2. Une autoroute, aux abords d'une certaine ville, possède 3 sorties principales. Chacune de ces sorties possède elle-même 2 sorties secondaires. De combien de façons peut on sortir de cette autoroute? 3. 4 pions numérotés de 1 à 4 sont disposés sur 3 cases numérotées de 1 à 3. Une case peut contenir plusieurs pions. De combien de façons peut-on opérer : (a) de sorte qu'une case au moins soit vide? (b) de sorte qu'aucune case ne soit vide? Correction 2 1. Soit E l'ensemble des combinaisons de 3 cartes diérentes. Il y a 32 possibilités pour la 1 ère carte, 31 possibilités pour la 2 ème et 30 possiblités pour la 3 ème carte. Par conséquent : Card(E) = 32 31 30 Soit A l'évènement "Aucun c ur n'est apparu lors de 3 tirages successifs sans remise". Il y a 24 possibilités (8 "carreau", 8 "trèe" et 8 "pique") lors du 1 er tirage, 23 possibilités lors du 2 eme tirage, et 22 possibilités lors du 3 eme tirage. Donc : Card(A) = 24 23 22 L'évènement B "Au moins un c ur a été obtenu lors de 3 tirages successifs sans remise" est le complémentaire de A dans E, d'où : Card(B) = Card(C E A) = Card(E) Card(A) = 32 31 30 24 23 22 = 17616 Il y a 17616 façons d'obtenir au moins 1 c ur. 2. Soit A l'ensemble des sorties principales : Soit B l'ensemble des sorties secondaires : Card(A) = 3 Card(B) = 2 3
On a donc au total : Card(A B) = Card(A) Card(B) = 6 On peut sortir de l'autoroute de 6 façons diérentes. 3. (a) Notons A i = le nombre de dispositions laissant vide la case i. Card(A 1 A 2 A 3 ) = Card(A 1 ) + Card(A 2 ) + Card(A 3 ) Card(A 1 A 2 ) Card(A 1 A 3 ) Card(A 2 A 3 ) + Card(A 1 A 2 A 3 ) Calcul de Card(A i ) : Chaque pion est placé sur l'une des 2 autres cases. Par conséquent, pour chaque pion, il y a 2 possibilités, et comme il y a 4 pions en tout : i Card(A i ) = 2 4 = 16 Calcul de Card(A i A j ) : Pour chaque pion il n'y a qu'une seule possibilité, et comme il y 4 pions : (i, j), i j Card(A i A j ) = 1 4 = 1 Calcul de Card(A 1 A 2 A 3 ) : Chaque pion doit être est posé sur un case donc : Ainsi : Card(A 1 A 2 A 3 ) = 0 4 = 0 Card(A 1 A 2 A 3 ) = 16 + 16 + 16 1 1 1 + 0 = 45 Il y a 45 possibilités pour qu'une case au moins soit vide. (b) Soit E l'ensemble de tous les évènements. Chaque pion peut se positionner de 3 façons diérentes. Comme il y a 4 pions, on a : Card(E) = 3 4 = 81 Or l'évènement B : "Aucune case n'est vide" est le complémentaire de A 1 A 2 A 3 dans E, donc : Card(B) = Card(E) Card(A 1 A 2 A 3 ) = 81 45 = Il y a possibilités pour qu'aucune des cases ne soit vide. 4
Exemple_Exercice 3 (Application du lemme des bergers) 1. Soit n convives autour d'une table circulaire. Combien y a-t-il de dispositions possibles des convives, sachant que seules comptent les positions relatives des convives? 2. Une urne contient 6 boules blanches numérotées de 1 à 6 et 5 boules noires numérotées de 1 à 5. On tire successivement 4 boules sans remise. Combien de résultats apportent 3 boules blanches et 1 boule noire? Correction 3 1. Soit E l'ensemble de toutes les dispositions possibles. Il y a n choix pour le 1 er convive, n 1 choix pour le 2 ème convive, etc...donc : Card(E) = n.(n 1).(n 2) 1 = n! Cependant, dans ce décompte, plusieurs dispositions vont donner les mêmes voisins. Notons p le nombre de dispositions diérentes au sens des positions relatives des convives, et, i {1,, p}, A i l'ensemble des positions qui ne dièrent de la position i que d'une rotation. Pour une disposition i donnée, il n'existe que n rotations qui laissent les positions respectives des voisins inchangées, c'est à dire : Or : i {1,, p} Donc d'après le lemme des bergers, on a : E = Card(A i ) = n p i=1 A i p = Card(E) Card(A i ) = n! n = n 1 Il y a n 1 dispositions diérentes au sens des voisins relatifs. Remarque : Dans cet exemple, nous avons d'abord compté le nombre de pattes (Card(E)), puis le nombre de pattes par mouton (Card(A i )) pour trouver le nombre de moutons. 2. Soit E l'ensemble des résultats amenant à 1 boule noire et 3 boules blanches. La boule noire peut apparaître au 1 er, au 2 ème, au 3 ème ou au 4 ème tirage. Notons A i, l'ensemble des résultats faisant apparaître la boule noire en i ème position (1 i 4). Il y a 6 possibilités pour la 1 ère boule blanche, 5 possibilités pour la 2 ème boule blanche, 4 possibilités pour la 3 ème boule blanche et 5 possibilités pour la boule noire : Card(A i ) = 6 5 4 5 = 600 Il y a 4 possibilités pour le rang d'apparition de la boule noire, donc p = 4. On en déduit, d'après le lemme des bergers, que : Card(E) = p Card(A i ) = 4 600 = 2400 5
Il y a 2400 résultats qui amènent à 3 boules blanches et 1 boule noire. Remarque : Dans cet exemple, nous avons d'abord compté le nombre de moutons (4) puis le nombre de pattes par mouton (600), et on en a déduit le nombre total de pattes. Exemple_Exercice 4 (Urnes de Laplace) Soit n urnes U 1,..., U n. U k contient "k" boules blanches et "n + 1 k" boules noires (1 k n) On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule au hasard dans l'urne choisie. On note A k l'évènement "On choisit l'urne U k ". Montrer que (A 1,..., A n ) est un système complet d'évènements. Correction 4 Ω = {(k, b), k {1,, n}} {(k, n), k {1,, n}} où k désigne le numéro de l'urne, b (pour blanche) ou n (pour noire) la couleur de la boule. Donc : k {1,, n} A k = {k, b} {k, n} et : (i, j) {1,, n} 2 tels que i j A i A j = Ø n A 1 A n = ({k, b} {k, n}) k=1 = {(k, b), k {1,, n}} {(k, n), k {1,, n}} = Ω (A 1,..., A n ) est un système complet d'évènements. 6
Exemple_Exercice 5 1. On tire au hasard un ensemble de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que la main contienne au moins un As? 2. Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On extrait au hasard une poignée de n boules. Quelle est la probabilité que cette poignée contienne k boules blanches (0 k n)? Correction 5 1. donc Ω = {ensemble de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes} A = {La main contient au moins un As} A = {La main ne contient pas d'as} Comme le tirage se fait au hasard, il y a équiprobabilité pour le tirage d'une carte, on a : P (A) = Card(A) Card(Ω) et donc : = C5 28 C 5 32 P (A) = 1 C5 28 C 5 32 P (A) = 1 C5 28 C 5 32 2. L'extraction d'une poignée se faisant au hasard, il y a équiprobabilité. Nous allons donc compter, d'une part, le nombre de poignées au total, et d'autre part le nombre de poignées contenant k boules blanches. Au total, il y a a + b boules et on en extrait n. Il y a donc C n a+b poignées possibles. Si une poignée contient k boules blanches, elle contient n k boules noires. Par conséquent, il y a k choix possibles parmi a pour les boules blanches, et n k choix possibles pour les boules noires parmi b. Donc au total, il y a Ca k C n k b poignées contenant k boules blanches. Donc : P ("La poignée contienne k boules blanches.") = Ck a Cn k b Ca+b n 7
Exemple_Exercice 6 Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On en tire successivement n, en remettant, à chaque fois, la boule tirée. Quelle est la probabilité que le nombre de boules blanches obtenues soit pair? Correction 6 On pose A = "La boule tirée est blanche". Pour un tirage, on a : P (A) = a a + b Notons k {1,, n} B k = "k boules blanches ont été tirées sur n tirages." Si, sur n tirages, on a obtenu k boules blanches, alors on a également obtenu n k boules noires. Ainsi : k {1,, n} P (B k ) = Cn( k a b a + b )k ( a + b )n k Remarque : B k suit une loi binomiale B(n, a a+b ). Or : P ("Le nombre de boules blanches est pair") = P (B 0 B 2 B 2 n 2 ) n 2 = P ( B 2k ) = = n 2 k=0 P (B 2k ) k=0 n 2 Cn( k a b a + b )k ( a + b )n k k=0 P ("Le nombre de boules blanches est pair") = n 2 k=0 Ck n( a a+b )k ( b a+b )n k 8
Exemple_Exercice 7 Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire les boules une à une avec remise. Quelle est la probabilité que, sur m tirages, le plus grand des numéros tirés soit k? Correction 7 Notons A k l'évènement "Le numéro tiré est plus petit que k", B k l'évènement "Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est inférieur à k", B k l'évènement "Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est supérieur à k", C k l'évènement "Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est égal à k". Comme le tirage se fait au hasard, il y a équiprobabilité, donc : Donc : P (A k ) = k n P (B k ) = P ( tous les numéros tirés sont inférieurs à k ) = P (A k ) m = ( k n )m P (B k ) = 1 P (B k) = 1 ( k n )m D'où : P (C k ) = P ( Le plus grand numéro tiré est inférieur à k et supérieur à k 1 ) = P ( Le plus grand numéro tiré est inférieur à k le plus grand numéro tiré est supérieur à k 1 ) = P (B k B k 1 ) = P (B k + P (B k 1 ) P (B k B k 1 (( ) ) k m ) ( ( ) k 1 m ) = + 1 1 n n = km (k 1) m n m P ("Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est égal à k") = km (k 1) m n m 9
Exemple_Exercice 8 On répartit au hasard 8 pions de 1 à 8 sur 4 cases numérotées de 1 à 4. Plusieurs pions peuvent être placés sur une même case. Quelle est la probabilité qu'une case au moins soit vide? Correction 8 On note A i (i = 1 4), l'évènement "la case i est vide", B l'évènement "au moins une case est vide". D'où i {1,, 4} P (A i ) = ( ) 3 8 4 (i, j) {1,, 4} 2, i j P (A i A j ) = ( ) 2 8 4 (i, j, k) {1,, 4} 3, i j k (2 à 2); P (A i A j A k ) = P (A 1 A 2 A 3 A 4 ) = 0 ( ) 1 8 4 P (B) = P (A 1 A 2 A 3 A 4 ) 4 = ( 1) k k=1 1 i 1 < <i k 4 = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) + P (A 4 ) P (A i1 A ik ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 3 ) P (A 1 A 4 ) P (A 2 A 3 ) P (A 2 A 4 ) P (A 3 A 4 ) +P (A 1 A 2 A 3 ) + P (A 1 A 2 A 4 ) +P (A 1 A 3 A 4 ) + P (A 2 A 3 A 4 ) P (A 1 A 2 A 3 A 4 ) ( ) 3 8 ( ) 2 8 ( ) 1 8 = 4 6 + 4 4 4 4 P (B) 0.377 10
Exemple_Exercice 9 Un dé à 6 faces non pipé est lancé une innité de fois de façons indépendantes. Calculer la probabilité pour que le 1 n'apparaisse jamais. Correction 9 Notons : A l'évènement "Le 1 n'est pas apparu suite au lancer d'un dé." B n l'évènement "Le 1 n'est pas apparu suite à n lancers d'un dé". C l'évènement "Le 1 n'est pas apparu suite à une innité de lancers d'un dé". Le dé est non pipé donc les évènements sont équiprobables, d'où : De plus, par indépendance des lancers : P (A) = 5 6 n IN P (B n ) = P (A) n = (B n ) n IN est une suite croissante d'évènements et : ( ) 5 n 6 donc, + n=0 B n = C P (C) = lim P (B n) n + ( ) 5 n = lim n + 6 = 0 P (C) = 0 (C est quasi-impossible) 11
Exemple_Exercice 10 Une urne U 1 contient 3 boules blanches et 5 boules noires. Une urne U 2 contient 4 boules blanches et 4 boules noires. On choisit une urne au hasard, puis on tire simultanément 2 boules dans l'urne choisie. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche et une boule noire sachant que l'urne choisie est U 1? est U 2? Correction 10 Notons bn l'évènement "Un boule blanche et une boule noire ont été obtenues" et U 1 (resp. U 2 ) l'évènement "l'urne U 1 (resp. U 2 ) a été choisie". Comme le choix s'eectue au hasard, il y a équiprobabilité : P (bn U 1 ) = C1 3 C1 5 C 2 8 = 15 28 P (bn U 2 ) = C1 4 C1 4 C 2 8 = 4 7 Exemple_Exercice 11 Un jeu de cartes comprend 32 cartes. On distribue au hasard 5 cartes à chacun des 2 joueurs X et Y. 1. Calculer la probabilité que X ait au moins un As. 2. Sachant que Y a exactement un As, calculer la probabilité que X ait au moins un As. Correction 11 Notons A l'évènement "X a au moins un As", et B l'évènement "Y a exactement un As". 1. donc : P (A) = C5 28 C 5 32 P (A) = 1 P (A) 0.512 2. Si on sait que Y a exactement un As, il reste 32 5 = 27 cartes disponibles pour X dont 3 sont des As. D'où : P (A B) = C5 24 C 5 27 12
On en déduit : P (A B) = 1 P (A B) 0.473 Exemple_Exercice 12 On place 8 pions numérotés de 1 à 8 sur 5 cases numérotées de 1 à 5. Sachant que la case 1 est vide, calculer la probabilité que les cases 2 ou 3 le soient aussi. Correction 12 Notons A i l'évènement "La case i est vide". On cherche à calculer P (A 2 A 3 A 1 ), soit : P (A 2 A 3 A 1 ) = P (A 2 A 1 ) + P (A 3 A 1 ) P (A 2 A 3 A 1 ) Si la case 1 est vide, on est conduit à placer les pions sur les cases 2 à 5. Il y a 4 8 façons d'opérer dont 3 8 laissent la case 2 vide, 3 8 la case 3 vide et 2 8 les case 2 et 3, d'où : P (A 2 A 3 A 1 ) = 38 4 8 + 38 4 8 28 4 8 P (A 2 A 3 A 1 ) 0.196 13
Exemple_Exercice 13 On considère 3 urnes U 1, U 2 et U 3. La première contient initialement 2 boules blanches, 3 boules rouges. La deuxième contient 2 boules vertes et 4 boules blanches. La troisième contient 5 boules noires et 2 boules rouges. On tire au hasard une boule dans U 1 que l'on place dans U 2. Puis on tire au hasard une boule dans U 2 que l'on place dans U 3. Enn on tire une boule dans U 3. Quelle est la probabilité pour que les boules tirées soient toutes de couleurs diérentes? Correction 13 Il faut énumérer l'ensemble des types de tirages qui amènent à l'évènement C : "Les 3 boules sont diérentes". On tire une boule blanche dans U 1, une verte dans U 2 et une noire dans U 3. On note cet évènement "B 1 V 2 N 3 ". On tire une boule blanche dans U 1, une verte dans U 2 et une rouge dans U 3. On note cet évènement "B 1 V 2 R 3 ". On tire une boule rouge dans U 1, une verte dans U 2 et une noire dans U 3. On note cet évènement "R 1 V 2 N 3 ". On tire une boule rouge dans U 1, une blanche dans U 2 et une noire dans U 3. On note cet évènement "R 1 B 2 N 3 ". On a : C = (B 1 V 2 N 3 ) (B 1 V 2 R 3 ) (R 1 V 2 N 3 ) (R 1 B 2 N 3 ) Calculons, à l'aide de la formule des probabilités composées, les probabilités des 4 évènements ci-dessus : P (B 1 V 2 N 3 ) = P (B 1 )P (V 2 B 1 )P (N 3 B 1 V 2 ) = 2 5 2 7 5 8 = 1 14 P (B 1 V 2 R 3 ) = P (B 1 )P (V 2 B 1 )P (R 3 B 1 V 2 ) = 2 5 2 7 3 8 = 1 35 P (R 1 V 2 N 3 ) = P (R 1 )P (V 2 R 1 )P (N 3 R 1 V 2 ) = 3 5 2 7 5 8 = 3 28 Ainsi : P (R 1 B 2 N 3 ) = P (R 1 )P (B 2 R 1 )P (N 3 R 1 B 2 ) = 3 5 4 7 5 8 = 3 14 P (C) = 1 14 + 1 35 + 3 28 + 3 14 P (C) 0.421 14
Exemple_Exercice 14 Deux joueurs X et Y s'entraînent au tir à la cible. L'un des joueurs, X, est adroit et lorsqu'il tire, il atteint la cible 9 fois sur 10. L'autre, Y, est débutant et n'atteint la cible que 6 fois sur 10. X laisse Y s'entraîner et n'eectue qu'un tir sur 3. Un des joueurs tire et la cible est atteinte. Quelle est la probabilité que ce soit par Y? Correction 14 Notons : X l'évènement "X a eectué le tir", Y l'évènement "Y a eectué le tir", C l'évènement "La cible a été atteinte". Remarque! X = Y. On cherche P (Y C). Or, d'après l'énoncé, on sait que : P (C Y ) = 6 10, P (C X) = 9 10 et P (Y ) = 2 3 Nous allons donc utiliser la formule de Bayes : P (Y C) = = = P (C Y )P (Y ) P (C Y )P (Y ) + P (C X)P (X) 6 10. 2 3 6 10. 2 3 + 9 10. 1 3 4 4 + 3 P (Y C) = 4 7 15
Exemple_Exercice 15 Reprenons l'exemple précédent. Quelle est la probabilité d'atteindre la cible? Correction 15 Reprenons les mêmes notations que dans la correction précédente. Nous cherchons à calculer P (C). D'après la formule des probabilités totales, on a : P (C) = P (C X)P (X) + P (C Y )P (Y ) = 9 10.1 3 + 6 10.2 3 P (C) = 7 10 Exemple_Exercice 16 Une pièce amène pile avec la probabilité p et face avec la probabilité q = 1 p (0 < p < 1). On la lance n fois de suite. Soit X le nombre de fois où pile apparaît au cours de ces lancers. Cherchons la loi de X. Correction 16 Il est impossible d'obtenir un nombre négatif de "pile" (X 0), et il est impossible d'obtenir plus de "pile" que de lancers (X n). Comme X est à valeurs dans IN, on a : X(Ω) = {0,, n} Supposons que k "pile" ait été obtenus, n k "face" ont également été obtenus. Par conséquent k X(Ω) : p k = P (X = k) = C k n.p k.(1 p) n k (Loi binomiale de paramètres (n,p)) 16
Exemple_Exercice 17 On lance deux dés. X désigne la somme des numéros obtenus. Correction 17 Ω = {1,, 6} {1,, 6} X(Ω) = {2,, 12} Comme les dés sont non pipés, il y a équiprobabilité des évènements donc : P (X = 2) = 1 P (X = 3) = 2 P (X = 4) = 3 P (X = 5) = 4 P (X = 6) = 5 P (X = 7) = 6 P (X = 8) = 5 P (X = 9) = 4 P (X = 10) = 3 P (X = 10) = 2 P (X = 12) = 1 Exemple_Exercice 18 Une urne contient a boules blanches et b boules noires (a n, b n). On tire simultanément n boules et X désigne le nombre de boules blanches tirées. Correction 18 X(Ω) = {0,, n} P (X = k) = Ck a.c n k b Ca+b n ( ( )) Loi hypergéométrique de paramètres a a + b, n, a+b 17
Exemple_Exercice 19 A quelle condition portant sur α, p n probabilité, pour λ > 0? = α λn n!, n 0 sont-ils les coecients d'une loi de Correction 19 Supposons que (p n ) n IN sont les coecients d'une loi de probabilité. D'après le cours, ces coecients doivent vérier 2 propriétés : 1. n IN, p n 0. 2. + n=1 p n = 1 Ainsi : 1. p n 0 α 0 2. + n=1 p n = 1 + n=1 + α n=1 α λn n! = 1 αe λ = 1 α = e λ λ n n! = 1 Comme e λ 0, λ (p n ) n IN sont les coecients d'une loi de probabilité si α = e λ. Exemple_Exercice 20 Une urne contient N jetons numérotés de 1 à N. On eectue n tirages successifs avec remise. La variable aléatoire X représente le plus grand des numéros tirés. Déterminer, si c'est possible, la loi et la fonction de répartition de X. Correction 20 Notons Y la variable aléatoire représentant le résultat d'un tirage. P (Y = k) = 1 N et P (Y k) = k N Si le plus grand des numéros tirés lors de n tirages est plus petit que k, alors tous les numéros tirés sont plus petits que k. On obtient donc directement : 18
P (X k) = (P (Y k)) n = ( ) k n N Et, P (X = k) = P (X k X k 1) = kn (k 1) n N n Remarque : On constate, pour cet exemple, qu'il est plus facile de calculer la fonction de répartition que la loi de la variable X. Exemple_Exercice 21 On lance 3 fois une pièce truquée pour laquelle P (Face) = 2 3 et P (Pile) = 1 3. X indique le plus grand nombre de "face" obtenus. Quelle est l'espérance de X? Correction 21 Utilisons la formule de l'espérance, pour une variable aléatoire discrète : E(X) = + n=0 i < 0, P (X = i) = 0 et i > 3, P (X = i) = 0 P (X = 0) = x n P (X = x n ) ( ) 1 3 3 P (X = 1) = 3. 2 3. ( 1 3 ) 2 P (X = 2) = 3. ( ) 2 2. 2 3 3 Ainsi : P (X = 3) = ( ) 2 3 3 E(X) = 0.( 1 3 )3 + 1.3. 2 3. ( 1 3) 2 + 2.3. ( ) 2 2. 2 ( ) 2 3 3 3 + 3. 3 E(X) = 2 19
Exemple_Exercice 22 Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On tire successivement sans remise 2 boules de l'urne et l'on note X i la variable aléatoire réelle égale à 1 si la i ème boule tirée est blanche, et 0 sinon. Déterminons la loi conjointe de (X 1, X 2 ) Correction 22 On a : P (X 1 = 0, X 2 = 0) = P (X 1 = 0)P (X 2 = 0) X 1 = 0) = P (X 1 = 1, X 2 = 0) = P (X 1 = 1)P (X 2 = 0) X 1 = 1) = P (X 1 = 0, X 2 = 1) = P (X 1 = 0)P (X 2 = 1) X 1 = 0) = P (X 1 = 1, X 2 = 1) = P (X 1 = 1)P (X 2 = 1) X 1 = 1) = b a + b b 1 a + b 1 a a + b b a + b 1 b a + b a a + b 1 a a + b a 1 a + b 1 Exemple_Exercice 23 Reprenons l'exemple avec a boules blanches et b boules noires. On eectue 2 tirages successifs sans remise. Cov(X 1, X 2 )? Correction 23 Par dénition, on a : Or De plus : Donc : Cov(X 1, X 2 ) = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) E(X 1 X 2 ) = 1 1 P (X 1 = 1, X 2 = 1) + 1 0 P (X 1 = 1, X 2 = 0) = +0 1 P (X 1 = 0, X 2 = 1) + 0 0 P (X 1 = 0, X 2 = 0) a(a 1) (a + b)(a + b 1) E(X 1 ) = E(X 2 ) = Cov(X 1 X 2 ) = a a + b ab (a+b) 2 (a+b 1) 20