CHAPITRE 2 Limites de fonctions Sommaire Partie A (s4) 2 Asmptotes parallèles au aes......................................... 2. Approche graphique 2.2 Limite finie d une fonction à l infini 3.3 Limite infinie d une fonction en un point 4 2 Limite infinie d une fonction en l infini.................................. 5 3 Limites des fonctions usuelles.......................................... 6 Partie B (s0) 7 4 pérations sur les ites............................................. 7 4. Limite d une somme 7 4.2 Limite d un produit 7 4.3 Limite d un quotient 8 5 Limite de la fonction (u()) n...................................... 8
Ch.02 Limites de fonctions T ale STI2D Partie A (s4) n peut faire commencer l histoire du concept de ite avec le philosophe grec Zénon d Élée (-450). Il est connu pour ses paradoes qui prétendent démontrer l impossibilité du mouvement. Par eemple, celui d Achille et de la tortue : «Achille, situé en, poursuit une tortue qui se trouve en A. Le temps qu il arrive en A, la tortue sera en B. Achille devra donc ensuite aller en B. Mais alors la tortue sera en C, et ainsi de suite. Achille pourra se rapprocher sans cesse de la tortue, mais il ne pourra jamais la rattraper.» L Analse fit d énormes progrès au cours des vii e et viii e siècles. Les mathématiciens de cette époque avaient une intuition de la notion de ite mais il faudra attendre le i e avec le français Louis-Augustin Cauch (789-857), puis l allemand Karl Weierstrass (85-897) pour avoir une définition précise de la ite. Asmptotes parallèles au aes. Approche graphique n considère la fonction f, définie pour tout 3 par f() = + 3 + 2 = 2 + 7 + 3. n souhaite représenter cette fonction. n construit le tableau de valeurs suivant : la fonction n est pas définie pour = 3-8 -7-6 -5-4 -3-2 - 0 2 f(),8,75,67,5 3 2,5 2,33 2,25 2,2 Ce qui donne : 3 2 8 7 6 5 4 3 2 Graphiquement, on observe deu phénomènes : entre 4 et 2, nous n avons pas assez d éléments pour savoir ce qu il se passe. Il nous faut construire un tableau plus précis avec des valeurs proches de 3 : 3, 3, 0 3, 00 3, 000 2, 9999 2, 999 2, 99 2, 9 f() 8 98 998 9998 0002 002 02 2 n remarque que plus on se rapproche de 3, plus la courbe prend de grandes valeurs. n note f() = et f() = +. 3 3 + http://mathematiques.daval.free.fr 2/8 Lcée Georges Brassens
«avant» 8 et «après» 2, on a l impression que la courbe se rapproche de la droite d équation = 2. Afin d étaer ce phénomène, on construit un tableau avec de grandes valeurs en valeur absolue : 0 4 0 3 0 2 0 0 0 2 0 3 0 4 f(), 9999, 9990, 989, 857 2, 0769 2, 0097 2, 000 2, 000 n remarque que plus on se rapproche de ±, plus les valeurs de f() se rapprochent de 2. n note f() = 2 et f() = 2. + Ce qui nous permet d obtenir un graphique plus complet : f() = + 3 + 7 6 5 4 3 f() = 2+ + les notations seront introduites dans les paragraphes suivants f() = 2 2 0 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 2 3 3 f() = 4 5.2 Limite finie d une fonction à l infini Définition. a est un nombre réel. Soit f une fonction définie sur au moins ] a; + [ (respectivement ], a [). Lorsque le réel prend des valeurs de plus en plus grandes vers +, (respectivement vers ), si les nombres f() deviennent de plus proches d une réel l, on dit que f() a pour ite l en + (respectivement vers ). n note : f() = l et f() = l + http://mathematiques.daval.free.fr 3/8 Lcée Georges Brassens
f() l l + l f() l f() = l + f() = l Définition 2. n dit que la droite d équation = l est une asmptote horizontale à la courbe représentative C f..3 Limite infinie d une fonction en un point Définition 3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de la forme ] a ; b ] ou [ b ; a [ où a et b sont des réels. Lorsque le réel s approche de a, si les nombres f() deviennent de plus en plus grands, on dit que f a pour ite + en a et on note : f() = + a grands en valeur absolue, mais négatifs, on dit que f a pour ite en a et on note : f() = a ± signifie que la ite est soit +, soit Remarque 4 Lorsque le fonction n est pas définie en a, on précise si on s en approche par valeurs inférieures : a <a par valeurs supérieurs : a >a f() = ± ou f() = ± ; a + f() = ± ou f() = ±. a n obtient les quatre cas suivants : http://mathematiques.daval.free.fr 4/8 Lcée Georges Brassens
f() + f() + a a a a f() = + a >a f() = + a <a a a a a f() + f() + f() = a <a f() = a >a Définition 5. Dans le cas où la ite en a vaut ±, on dit que la droite d équation = a est une asmptote verticale à la courbe représentative C f. 2 Limite infinie d une fonction en l infini Définition 6. Soit f une fonction définie au moins sur ] a ; + [ (respectivement ] ; a [). Lorsque le réel prend des valeurs de plus en plus grandes vers + (respectivement ), si les nombres f() deviennent de plus en plus grands, on dit que f a pour ite + en + (resp. ) et on note : f() = + (resp. f() = + ) + grands en valeur absolue et négatifs, on dit que f a pour ite en + (respectivement ) et on note : f() = (resp. f() = ) + http://mathematiques.daval.free.fr 5/8 Lcée Georges Brassens
f() + f() + + f() = + + f() = + + f() f() f() = + f() = Remarque 7 Certaines fonctions n admettent pas de ite en l infini : par eemple les fonctions cosinus et sinus. 3 Limites des fonctions usuelles 2 = + + 2 = + + 3 = + 0 + = + = 0 + = 0+ fonction carré 3 = fonction cube = fonction inverse http://mathematiques.daval.free.fr 6/8 Lcée Georges Brassens
4 pérations sur les ites Partie B (s0) Dans tout ce qui suit, la notation «FI» désigne une Forme Indéterminée, c est à dire une ite que l on ne peut pas calculer par une opération élémentaire. La notation signifie qu il faut appliquer la règle des signes. 4. Limite d une somme f l l + g l ± + + (f + g) l + l ± + FI pour lever la FI, il faudrait écrire 2 + 3 = 3 ( + ) Eemple 8 Calcul de sommes de ites : 0 + = + ( ) 3 = 3 0 + + 3 = +. 0 + La courbe admet donc une asmptote verticale d équation = 0. = } ( ) + 3 =. 3 = } 2 = + 3 = ( 2 + 3) est une forme indéterminée. 4.2 Limite d un produit f l l 0 ± 0 g l ± ± ± (f g) l l FI pour lever la FI, il faudrait écrire ( 2 + ) = + Eemple 9 Calcul de produits de ites : ( 3) = 3 0 + [ = + ( 3) ] =. 0 + 0 + La courbe admet donc une asmptote verticale d équation = 0. } ( ) = 3 = (2 + ) = + = 0 [( ) 3 ] = +. [ ( 2 + ) ] est une forme indéterminée. http://mathematiques.daval.free.fr 7/8 Lcée Georges Brassens
4.3 Limite d un quotient f l l l ± ± 0 g l 0 ± 0 l ± 0 ( ) f l g l 0 FI FI pour lever la FI, il faudrait écrire 3 = 2 3 Eemple 0 Calcul de quotients ( de ) ites : + 3 = 3 ( 3 ) + 2 = + + 2 = 0. La courbe admet donc une asmptote horizontale d équation = 0. 4 = 4 } ( ) 0 4 + = =. 0 0+ 0 + + La courbe admet donc une asmptote verticale d équation = 0. } ( ) = ( ) 3 = 3 est une forme indéterminée. } ( 2) = + + 5 = 5 + + ( ) 2 = +. 5 5 Limite de la fonction (u()) n Propriété. Soit u une fonction définie sur un I R, n N et l un réel. si u() = l, alors (u()) n = l n ; a a si u() = +, alors a a (u()) n = + ; si a u() =, alors a (u()) n = { + si n est pair si n est impair. Eemple 2 ( ) 2 Soit f la fonction définie sur ] ; 3 [ ] 3 ; + [ par f() =. ( 3 ) 2 ( 3) = donc, 3 = 0 donc, = 0 ; 3 ( ) 2 ( 3) = 0 donc, = donc, 3 = + ; 3 3 <3 ( 3) = 0 + donc, 3 >3 ( 3) = + donc, + ( ) 2 = + donc, 3 = + ; 3 3 = 0 donc, ( ) 2 = 0. 3 http://mathematiques.daval.free.fr 8/8 Lcée Georges Brassens