Critères de plasticité

σ 1 σy - σy σy σ 2 - σy Critères de plasticité Georges Cailletaud Centre des Matériaux MINES ParisTech/CNRS

Plan 1 Aspects expérimentaux Mécanique Mécanismes 2 Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Un critère anisotrope : Hill 3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 2 / 43

Chargements biaxiaux Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 3 / 43

Cisaillements Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 4 / 43

Plan 1 Aspects expérimentaux Mécanique Mécanismes 2 Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Un critère anisotrope : Hill 3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Mécanique Passage du laboratoire au monde réel (1) 600 500 400 σ (MPa) 300 200 100 0 0 0.01 0.02 Tension curve Elastic slope 0.2% residual strain 0.03 0.04 ε(mm/mm) 0.05 0.06 0.07 0.08 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 7 / 43

Mécanique Passage du laboratoire au monde réel (1) 600 500 σ (MPa) 400 300 200 Courbe de traction connue 100 0 0 0.01 0.02 Tension curve Elastic slope 0.2% residual strain 0.03 0.04 ε(mm/mm) 0.05 0.06 0.07 0.08 Dans la plupart des cas, le matériau est caractérisé par une simple courbe de traction Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 7 / 43

Mécanique Passage du laboratoire au monde réel (2) σ (MPa) 600 500 400 300 200 100 0 0 Courbe de traction connue Tension curve Elastic slope 0.2% residual strain 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 ε(mm/mm) 212 53 107 53 88 32 107 32 316 Comment transposer? σ (MPa) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 Chargement réel complexe 20 30 40 t (s) 50 11 22 33 12 23 31 60 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 8 / 43

Mécanique Comment caractériser le comportement multiaxial? Essais mécaniques multiaxiaux Recherche sur les mécanismes physiques de la déformation eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 9 / 43

Mécanique Comment caractériser le comportement multiaxial? Essais mécaniques multiaxiaux Recherche sur les mécanismes physiques de la déformation Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 9 / 43

Mécanique Essais de traction torsion sur tube Pour un tube de longueur L, de diamètre 2R et d épaisseur e : Déformation mesurée par jauge, ou utilisation de la relation entre l angle (β) et la déformation (γ) : Specimen traction torsion β = γ L R Relation entre le moment (M) et le cisaillement (τ) : M = 2πeR 2 τ 0 0 0 0 0 σ θz 0 σ θz σ zz (rθz) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 10 / 43

Aspects expérimentaux Mécanique Essais biaxiaux Essai biaxial sur une éprouvette cruciforme vinylester fibre de verre Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plus d info sur le site Sciences de l Ingénieur, ENS Cachan Critères 15 mars 2010 11 / 43

Mécanique Essais de cisaillement Double Cisaillement (caoutchouc) Montage Arcan Doc. Centre des Matériaux, MINES ParisTech eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 12 / 43

Mécanique Machine de cisaillement Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 13 / 43

Mécanique Recherche de la surface de charge en traction cisaillement Thèse Rousset, ENS Cachan Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 14 / 43

Mécanique Surface initiale et après première compression Thèse Rousset, ENS Cachan Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 15 / 43

Mécanique Surface initiale et chargement carré Thèse Rousset, ENS Cachan Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 16 / 43

Mécanique Résultat de cisaillement du basalte Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 17 / 43

Mécanismes Bilan des observations expérimentales Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches) Réseau cristallin Pas de changement de volume Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Mécanismes Bilan des observations expérimentales Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches) Réseau cristallin Pas de changement de volume Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Mécanismes Bilan des observations expérimentales Variable critique? Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches) Réseau cristallin Pas de changement de volume Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Mécanismes Bilan des observations expérimentales Variable critique? Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches) Réseau cristallin Pas de changement de volume Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables Cisaillement Déviateur eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Mécanismes Bilan des observations expérimentales Variable critique? Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches) Réseau cristallin Pas de changement de volume Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables Cisaillement Déviateur Déviateur + partie sphérique eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Mécanismes Système de glissement dans un monocristal Thèse F. Hanriot (ENSMP-CDM, Evry) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 20 / 43

Mécanismes Système de glissement dans un alliage polycristallin base nickel Clavel (ECP, Châtenay) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 21 / 43

Mécanismes Rupture sous chargement dynamique Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 22 / 43

Mécanismes Loi de Schmid La déformation s effectue par glissement sur un système s défini par un plan de normale n s, et une direction de glissement l s, lorsque la cission résolue, τ s atteint une valeur critique τ c Projection du vecteur contrainte du plan sur la direction de glissement, soit, pour un monocristal soumis à un tenseur de contrainte σ τ s = (σ.n s ).l s Il y a autant de critères linéaires en contrainte que de systèmes de glissement f(σ ) = τ s τ c Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 23 / 43

Mécanismes Construction des surfaces de charge pour des agrégats polycristallins (Elasticité uniforme) Alliage à solidification dirigée Polycristal Evaluer des surfaces de charge Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 24 / 43

Mécanismes Surface de charge en traction cisaillement 200 100 σ12 0-100 -200 001-200 -100 0 100 200 σ 11 Un grain cubique orienté selon les axes (001) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Mécanismes Surface de charge en traction cisaillement 200 100 σ12 0-100 -200 001 234-200 -100 0 100 200 σ 11 Un grain désorienté (234) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Mécanismes Surface de charge en traction cisaillement 200 100 σ12 0-100 -200 001 234 2g -200-100 0 100 200 σ 11 Un grain (001) et un grain (234) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Mécanismes Surface de charge en traction cisaillement 200 100 σ12 0-100 -200 001 234 2g 10g -200-100 0 100 200 σ 11 Dix grains au hasard Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Mécanismes Surface de charge en traction cisaillement 200 100 σ12 0-100 -200 001 234 2g 10g 100g -200-100 0 100 200 σ 11 Cent grains au hasard Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Mécanismes Surface de charge en traction cisaillement 200 100 σ12 0-100 -200 001 234 2g 10g 100g Tresca -200-100 0 100 200 σ 11 σ 2 11 + 4σ2 12 = σ2 y, «critère de Tresca» Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Caractérisation du cisaillement maximum σ 1 0 0 Tenseur de contrainte dans le repère principal := 0 σ 2 0 0 0 σ 3 Vecteur contrainte pour une normale n dans le plan (x 1 x 2 ) (avec θ = angle(x 1,n) : T n = σ 1 cos 2 θ + σ 2 sin 2 θ = σ 1 + σ 2 2 Cercle de Mohr : ( Cisaillement maxi + σ 1 σ 2 2 T t = ( ) T 2 T 2 1/2 σ 1 σ 2 n = sin2θ 2 Tn σ 1 + σ 2 2 ) 2 + T 2 t = T max t = σ 1 σ 2 2 ( σ1 σ 2 2 ) 2 cos2θ Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 28 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Critère de Tresca T t T max σ 3 σ 2 σ 1 T n Le cisaillement maximum reste inférieur à une valeur critique. Max i,j σ i σ j σ y = 0 σ y est la limite d élasticité en traction simple WIKI Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 29 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Caractérisation d un matériau isotrope - Invariants du tenseur de contraintes : I 1 =trace(σ ) =σ ii I 2 =(1/2)trace(σ ) 2 =(1/2)σ ij σ ji I 3 =(1/3)trace(σ ) 3 =(1/3)σ ij σ jk σ ki - Invariants du déviateur (s = σ (I 1 /3) I ) : J 1 =trace(s ) =0 J 2 =(1/2)trace(s ) 2 =(1/2)s ij s ji J 3 =(1/3)trace(s ) 3 =(1/3)s ij s jk s ki - On pose : J = ((3/2)s ij s ji ) 0,5 = ( (1/2) ( (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2)) 0,5 = σ Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 30 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Signification physique de J Sphère dans l espace des contraintes déviatoriques Contrainte de cisaillement octaédral : sur une facette de normale (1,1,1), le vecteur contrainte a pour composantes normale σ oct et tangentielle τ oct : σ oct = (1/3)I 1 ; τ oct = ( 2/3)J Energie élastique de distorsion (associée à la partie déviatorique de σ et ε ). W ed = 1 2 s : e = 1 6µ J2 Critère de von Mises f(σ ) = J σ y NB : formulé par Maxwell en 1865, et Huber en 1904 ( WIKI) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 31 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Contour du critère de von Mises dans le plan déviateur σ 3 TS CS CI TS σ 1 CS CS TS σ 2 TS désigne les points qui peuvent se ramener à de la traction simple, CS ceux qui peuvent se ramener à la compression simple (par exemple un chargement biaxial, car un état où les seules contraintes non nulles sont σ 1 = σ 2 = σ est équivalent à σ 3 = σ), CI un état de cisaillement f(σ ) = J σ y Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 32 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique Critère de von Mises f(σ ) = J σ y Critère de Tresca f(σ ) = Max i,j σ i σ j σ y Utilisation du deuxième et du troisième invariant f(σ ) = fct(j 2,J 3 ) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 33 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Comparaison des critères de Tresca et von Mises Dans le plan traction-cisaillement von Mises : Tresca : f(σ,τ) = ( σ 2 + 3τ 2) 0,5 σy f(σ,τ) = ( σ 2 + 4τ 2) 0,5 σy Dans le plan des contraintes principales (σ 1,σ 2 ) von Mises : f(σ 1,σ 2 ) = ( σ 2 1 + σ 2 2 σ 1 σ 2 ) 0,5 σy Tresca : f(σ 1,σ 2 ) = σ 2 σ y si 0 σ 1 σ 2 f(σ 1,σ 2 ) = σ 1 σ y si 0 σ 2 σ 1 f(σ 1,σ 2 ) = σ 1 σ 2 σ y si σ 2 0 σ 1 (symétrie par rapport à l axe σ 1 = σ 2 ) Dans le plan déviateur, von Mises = cercle, Tresca = hexagone Dans l espace des contraintes principales, cylindres de génératrice (1,1,1) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 34 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises Comparaisons des critères de Tresca et de von Mises σ 12 σ 1 τ m τ t σy - σy σy τ t - σ 11 - σy σy σ 2 - τ m - σy a. En traction-cisaillement (von Mises : τ m = σ y / 3, Tresca : τ t = σ y /2) b. En traction biaxiale Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 35 / 43

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Un critère anisotrope : Hill Critères anisotropes f(σ ) = ((3/2)H ijkl s ij s kl ) 0,5 σ y (ou H ijkl σ ij σ kl ) Critère de Hill Dans les axes d orthotropie : f(σ ) =(F(σ 11 σ 22 ) 2 + G(σ 22 σ 33 ) 2 + H(σ 33 σ 11 ) 2 + 2Lσ 2 12 + 2Mσ 2 23 + 2Nσ 2 13) 0,5 σ y Transverse, 3 coefficients indépendants Symétrie cubique, un seul coefficient Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 37 / 43

Modèles sensibles à la pression hydrostatique Critère de Drucker-Prager Combinaison linéaire du premier et du second invariant (avec 0 < α < 0.5) f(σ ) = (1 α)j + αi 1 σ y Limites d élasticité en traction (σ t ) et en compression (σ c ) σ t = σ y σ c = σ y /(1 2α) σ 3 J σ 2 σ y 1 α σ 1 Dans l espace des contraintes principales σ y /α Dans le plan I 1 J I 1 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 39 / 43

Modèles sensibles à la pression hydrostatique Critère de Mohr-Coulomb f<0 Combinaison des contraintes tangentielles et normales dans le plan de Mohr T t < tan(φ)t n + C Peut aussi s exprimer comme combinaison de la somme et de la différence des contraintes extrêmes (σ 3 σ 2 σ 1 ) T σ 3 σ 1 t f(σ ) = σ 1 σ 3 + (σ 1 + σ 3 )sinφ 2C cosφ T n C cohésion, φ frottement interne du matériau Si C est nul et φ non nul, matériau pulvérulent Si φ est nul et C non nul, matériau purement cohérent Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 40 / 43

Modèles sensibles à la pression hydrostatique Représentation du critère de Mohr-Coulomb Dans le plan déviateur on obtient un hexagone irrégulier σ 3 TS = 2 6(C cosφ p sinφ)/(3 + sinφ) σ 1 σ 2 CS = 2 6( C cosφ+p sinφ)/(3 sinφ) En fonction de la poussée K p et de la limite d élasticité en compression, R p : f(σ ) = K p σ 1 σ 3 R p K p = 1 + sinφ ( π 1 sinφ = tan2 4 + φ ) 2 R p = 2 cosφc 1 sinφ Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 41 / 43

Modèles sensibles à la pression hydrostatique Critères «fermés» Le matériau ne doit pas être infiniment résistant en compression Cap model, ferme par une ellipse le critère de Drücker Prager, Modèle de Cam clay a sa courbe limite définie par deux ellipses dans le plan (I 1 J) J droite critique I 1 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 42 / 43

Modèles sensibles à la pression hydrostatique Critères, synthèse La frontière du domaine d élasticité initial est définie par une fonction de l espace des contraintes dans R, qui peut être Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca) Quadratique, ou de degré plus élevé Le domaine délimité est convexe Le critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43

Modèles sensibles à la pression hydrostatique Critères, synthèse La frontière du domaine d élasticité initial est définie par une fonction de l espace des contraintes dans R, qui peut être Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca) Quadratique, ou de degré plus élevé Le domaine délimité est convexe Le critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43