Sujet B29 Page 1/7 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES TOUTE SPÉCIALITÉ DE BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL DU GROUPEMENT B SUJET DESTINÉ AU CANDIDAT Nom et Prénom du candidat : N : Spécialité de baccalauréat professionnel : Date et heure d évaluation : N poste de travail : Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7. Une annexe se trouve en page 4/7 et un formulaire en page 5/7. Une fiche technique d aide à l utilisation d un logiciel se trouve page 6/7 et 7/7. Le sujet et l annexe sont à rendre avec la copie. Dans la suite du document, le symbole signifie «Appeler l examinateur». Si l examinateur n est pas immédiatement disponible lors de l appel, poursuivre le travail en attendant son passage. L emploi des instruments de calcul est autorisé pour cette épreuve. En particulier toutes les calculatrices de poche (format maximal 21 cm 15 cm), y compris les calculatrices programmables et alphanumériques, sont autorisées à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante. L échange de calculatrices entre les candidats pendant les épreuves est interdit (circulaire n 99-186 du 16 novembre 1999 BOEN n 42).
Sujet B29 Page 2/7 Les trois exercices peuvent être traités de manière indépendante. Exercice 1 (10 points) Une entreprise fabrique des lits qui comportent des «têtes de lit» en bois massif (partie grisée du schéma ci-dessous). Chaque tête de lit est réalisée en collant les unes aux autres plusieurs planches rectangulaires de même largeur et de même épaisseur. Une partie du bois est perdue car les planches utilisées sont ensuite découpées afin d obtenir la forme arrondie de la partie supérieure de la tête de lit. L entreprise souhaite que le pourcentage de perte soit inférieur à 20%, c est-à-dire que l aire de la surface de bois perdue soit inférieure à 20% de l aire de la surface totale de bois utilisé. L objectif de l exercice est de déterminer le nombre minimum N de planches que doit comporter la tête de lit pour que le souhait de l entreprise soit satisfait. 1.1 En utilisant le fichier nommé «Sujet B29 question 1.1.ggb», indiquer comment semble varier le pourcentage de perte quand le nombre de planches augmente. 1.2 On note p% le pourcentage de perte. Le tableau figurant dans le fichier nommé «Sujet B29 question 1.2.ggb», présente la valeur de p correspondant à différents nombres n de planches utilisées pour fabriquer une tête de lit. 1.2.1 Ouvrir ce fichier et indiquer si les valeurs du tableau sont cohérentes avec la réponse à la question 1.1. Justifier la réponse. 1.2.2 Représenter le nuage de points de coordonnées (n, p), faire des essais pour déterminer l expression algébrique de la fonction g la plus adaptée pour ajuster le nuage de points obtenu. Appel : Expliquer à l examinateur la démarche adoptée, faire un essai devant lui et lui présenter l expression algébrique de la fonction g trouvée. 1.3 Recopier sur la copie l expression algébrique trouvée. 1.4 Déterminer graphiquement le nombre minimum N de planches que doit comporter la tête de lit pour que le souhait de l entreprise soit satisfait. 1.5 Montrer que l inéquation g(x) < 20 peut s écrire e 0,24x 71 9 1.6 Résoudre cette inéquation. Écrire les solutions sous la forme x > b, où b est un nombre qui sera arrondi au dixième. 1.7 Ce résultat est-il cohérent avec la valeur N trouvée à la question 1.4? Justifier la réponse..
Sujet B29 Page 3/7 Exercice 2 (4 points) Pour chacune des questions de cet exercice, indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse exacte. Les choix faits aux questions 2.1.1 et 2.1.2 doivent être justifiés. 2.1 Les trois premiers termes d une suite arithmétique ( un) sont u 1 = 6,25 ; u 2 = 9,5 et u 3 = 12,75. 2.1.1 La raison r de la suite ( u n ) est : a) 0,25 b) 3,25 c) 6,5. Justifier la réponse. 2.1.2 Le cinquantième terme de la suite ( u n ) est : a) u 50 = 162,25 b) u 50 = 165,5 c) u 50 = 168,75. Justifier la réponse. 2.2 Dans l espace rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A (5, 4, 3) et B (3, 2, 0). Les coordonnées du vecteur AB sont : a) ( 2, 2, 3) b) (2, 2, 3) c) ( 2, 2, 3). 2.3 L équation e x = 2 a pour solution : a) x = 2 b) x = ln(2) c) x = e 2. Exercice 3 (6 points) Une entreprise produit des rouleaux de film plastique. À la sortie de la chaîne de fabrication, chaque rouleau peut présenter deux défauts : le défaut "pli" ou le défaut "bulle". Lors d un contrôle qualité, on teste un lot de 800 rouleaux prélevés au hasard dans la production et on constate que : - 16 rouleaux présentent le défaut "pli" ; - 12 rouleaux présentent le défaut "bulle" ; - 3 rouleaux présentent les 2 défauts. Partie1 L objectif de cette partie est de calculer des probabilités concernant les défauts présentés par les rouleaux de film plastique. 3.1 Compléter, en annexe, le tableau des résultats du contrôle. 3.2 On prélève un rouleau au hasard parmi les 800 rouleaux contrôlés et on considère les événements A et B suivants : événement A : «le rouleau prélevé présente le défaut "pli", événement B: «le rouleau prélevé présente le défaut "bulle". 3.2.1 Calculer la probabilité P(A) de l événement A et la probabilité P(B) de l événement B. 3.2.2 Définir par une phrase l événement A B. 3.2.3 Calculer la probabilité P( A B ) de l événement A B. Partie2 Le but de cette partie est de déterminer si les résultats obtenus lors du test du lot de taille n question le réglage de la machine utilisée en fin de chaîne de production. 800 remettent en On considère que cette machine est réglée convenablement si la proportion de rouleaux sans défauts, parmi les rouleaux produits, est p = 0,96. 3.3 Calculer la fréquence f de rouleaux sans défauts dans le lot testé. Arrondir le résultat au millième. 3.4 Calculer les bornes de l intervalle de fluctuation millième. 1 1 I p, p n n. Arrondir les résultats au 3.5 Les résultats obtenus lors du test remettent-ils en question le réglage de la machine utilisée en fin de chaîne de production? Justifier la réponse.
Sujet B29 Page 4/7 ANNEXE (À rendre avec la copie) Exercice 3 Tableau des résultats du contrôle Rouleau présentant un défaut "pli" Rouleau ne présentant pas de défaut "pli" Total Rouleau présentant un défaut "bulle" Rouleau ne présentant pas de défaut "bulle" Total 800
Sujet B29 Page 5/7 FORMULAIRE Probabilités P( A) P( A ) 1. Si A et B sont deux événements, alors : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Suites arithmétiques Terme de rang 1 : u 1 Raison : r Terme de rang n : u u n 1 ( n 1) r Suites géométriques Terme de rang 1 : u 1 Raison : q Terme de rang n : u u q n 1 n 1 Propriétés opératoires de la fonction logarithme népérien a > 0, b > 0 ln( ab) ln( a) ln( b) a ln ln( a) ln( b) b ln( a n ) n ln( a)
Sujet B29 Page 6/7 FICHE TECHNIQUE D AIDE POUR UTILISER LE LOGICIEL GEOGEBRA Présentation de l écran du logiciel Barre d outils Fenêtre Algèbre Fenêtre graphique Fenêtre Tableur Zone de saisie À l aide du menu «Affichage», on peut faire apparaître (ou disparaître) la fenêtre Algèbre et la fenêtre Tableur. Pour représenter un nuage de points de coordonnées (x, y) Ouvrir la fenêtre tableur. Saisir dans la colonne A les valeurs de x et dans la colonne B les valeurs de y correspondantes. Sélectionner les cellules contenant les données, cliquer droit sur la sélection et choisir : «Créer» puis «Liste de points». Pour utiliser un curseur dans la fenêtre graphique Sélectionner le curseur en effectuant un clic gauche sur le curseur et en maintenant le clic puis déplacer le bouton du curseur à l aide de la souris. Un déplacement plus précis peut être obtenu en utilisant les flèches du clavier (après avoir sélectionné le curseur).
Sujet B29 Page 7/7 FICHE TECHNIQUE D AIDE POUR UTILISER LE LOGICIEL GEOGEBRA Pour placer un point sur une courbe Sélectionner et cliquer sur la courbe. Pour afficher les coordonnées d un point Cliquer droit sur le point et cliquer sur propriétés. Sélectionner l onglet «basique», cocher «Afficher l étiquette» et choisir «Nom & Valeur». Pour déplacer un objet sur le graphique Sélectionner afin de pouvoir déplacer un objet libre (point ) sur le graphique en faisant glisser cet objet avec la souris.