PROBABILITE ere S Ce polycopié résume les bases essentielles pour aborder le programme de terminale..simulation d'une expérience aléatoire : Lorsque le résultat d'une expérience est imprévisible, c'est à dire lorsqu'il est soumis au hasard, on parle d'expérience aléatoire. C'est le cas lorsqu'on lance un dé. Il est possible avec une calculatrice ou un ordinateur de simuler cette expérience (fonction random, rand ou alea). Nous obtenons, par exemple, les séries statistiques suivantes 0 lancers Numéro 2 3 4 5 6 Effectifs 3 0 0 2 2 3 fréquence 0.3 0 0 0.2 0.2 0.3 00 lancers Numéro 2 3 4 5 6 Effectifs 7 2 9 6 5 2 fréquence 0.7 0.2 0.9 0.6 0.5 0.2 000 lancers Numéro 2 3 4 5 6 Effectifs 66 72 78 70 79 35 fréquence 0.66 0.72 0.78 0.7 0.79 0.35 Que peut on constater?
2. Loi de probabilité sur Ω 2. définition et exemples On réalise une expérience aléatoire. Les résultats ou issues possibles forment l'univers de cette expérience. On note Ω l'univers et {w,w 2, w n } les issues possibles. Afin de modéliser cette expérience, on définit une application p :Ω->[0.] i n w i ->p i avec p + p 2 + p n= = p = i i= Le réel p i de [0.] est la probabilité de l issue w i. L application p est une loi de probabilité sur Ω. Exemples : On lance un dé. L'univers est Ω={,2,3,4,5,6}. Si ce dé est parfaitement équilibré alors tous les numéros ont la même chance de sortir. Par suite p =p 2 =p 3 = =p 6 i n Comme = p =. i i= On dit qu un numéro a une chance sur 6 d apparaître lors d un lancer. Vocabulaire : Lorsque les probabilités de chaque issue sont égales, on dit que la loi de probabilité est équirépartie ou encore que Ω est équiprobable. Dans ce cas on a p =p 2 = =p n =/n 2 On jette un dé pipé de telle sorte que les nombres pairs ont deux fois plus de chance d apparaître que les nombres impairs. Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire. Cette loi est-elle équirépartie?
2.2 Loi des grands nombres : Lorsqu on modélise une expérience aléatoire par une loi de probabilité il faut ensuite valider ce modèle. Pour cela on simule plusieurs fois cette expérience et on observe les fréquences d apparition de chaque issue. Loi des grands nombres : Si on répète k fois un expérience aléatoire alors les fréquence f i de chaque issue w i se rapprochent des probabilités p i lorsque k devient grand. Si on n observe pas ce rapprochement c est que la loi choisie ne modélise pas correctement l expérience réalisée. Quel type de jet de dés est simulé dans l'exemple du.? 3. Probabilité d un événement 3. Définition et vocabulaire Soit une expérience aléatoire et Ω={w,w 2, w n } l univers associé. Un événement est une partie de Ω. Exemples : On lance un dé. A est l événement : obtenir un multiple de 3. A={3,6} 2 On choisit un élève au hasard dans la classe. B est l événement : "l'élève présente une option au bac". B=... Cas particuliers et vocabulaire : Lorsqu une issue w i appartient à A, on dit que w i réalise A ou encore que w i est un cas favorable. est l événement impossible car aucune issue ne le réalise. Ω est l événement certain car toutes les issues le réalisent. A={w i } est un événement élémentaire car il est constitué d une seule issue. 3.2 Probabilité d un événement Définition : Soit A un événement. La probabilité de A notée p(a) est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Reprenons les exemples précédents Considérons un dé parfait et un dé pipé Si le dé est parfaitement équilibré alors p(a)=..
Si le dé est pipé comme expliqué plus haut alors p(a)=. Conséquences : P( )=0 et p(ω)= Pour tout événement A, p(a) [0.] Théorème : Si la loi est équirépartie alors p (A) = nombre d'issues dans A = nombre de cas favorables nombres d'issues dans Ω nombres de cas possibles Démonstration : 2 Déterminons la probabilité de B : l élève présente une option au baccalauréat. 3.3 Opérations sur les événements Définitions : Soient A et B deux événements d un univers Ω={w,w 2, w n }. A ou B est l événement réalisé par les issues réalisant au moins un des deux événements. Il est noté AUB A et B est l événement réalisé par les issues réalisant à la fois A et B. Il est noté A B. Théorème : p(aub)=p(a)+p(b)-p(a B) Cas particulier : Lorsque aucun résultat ne réalise à la fois A et B on dit que les événements sont incompatibles et on note A B= Dans ce cas, p(aub)=p(a)+p(b) Définition : L événement contraire de A est réalisé par toutes les issues qui ne sont pas dans A. On le note A Théorème : Soit A un événement, p(a )=-p(a)
Exercice résolu : Dans un club, plusieurs activités sont proposées dont le tir à l arc et le golf. Parmi les 50 adhérents, 30 pratiquent le tir à l arc, 8 le golf et 6 les deux sports. Quelle est la probabilité pour qu un adhérent choisi au hasard : a) pratique le tir à l arc? le golf? b) pratique l un au moins des deux sports? c) ne pratique ni le tir à l arc ni le golf?
VARIABLE ALEATOIRE - LOIS DE PROBABILITE TS. Variable aléatoire. Définition et exemples : Soit une expérience aléatoire d univers Ω. On définit une variable aléatoire X en associant à chaque issue de Ω un nombre réel. Exemples : On lance deux dés. Leur somme S est une variable aléatoire. Les valeurs de S sont { 2 Un jeu de pari consiste à lancer deux pièces de monnaie parfaitement équilibrées. Si le résultat est pile-pile, le joueur gagne 3 euros Si le résultat est face-face, il perd 2 euros Sinon il récupère sa mise de un euro. On note G le gain algébrique du joueur pour une partie. G est une variable aléatoire. Les valeurs de G sont {..2 Loi de probabilité d une variable aléatoire. Soit {x,x 2, x p } les valeurs possibles d une variable aléatoire X. La loi de probabilité de X est la donnée des probabilités p(x=x ) ; p(x=x 2 ) ; p(x=x k ) Exemples : Le plus souvent on présente cette loi sous forme de tableau Valeurs de X p(x=x k ) Déterminons la loi de S :
2 Déterminons la loi de G.3 Espérance, variance et écart type d une variable aléatoire : Soit X une variable aléatoire dont la loi est : x i x x 2.. x k P(X=x i ) P P 2.. p k Son espérance est notée E(X), sa variance V(X) et son écart type σ(x). On a : = E(X) = x p + x p +...x p... 2 2 n n C'est la moyenne théorique des valeurs prises par X. V(X) σ ( X) = i k = = i= p(x i i E(X)) 2 V(X) V et σ sont des valeurs de dispersions. Exemples : Calculer E(S), V(S) et σ(s) : 2 Calculer E(G), V(G) et σ(g) :
Exercices de probabilité: Loi de probabilité et événement eres Une urne contient des boules numérotées,2,3. Un quart des boules porte le numéro, un tiers le numéro 2. On tire une boule de l'urne au hasard. Définir la loi de probabilité qui modélise cette expérience. 2 On dispose d'un dé. Une étude statistique conduit à l'estimation suivante: Les faces de à 5 ont la même fréquence de sortie. La fréquence de sortie de la face 6 est 0,3. Déterminer une loi de probabilité qui modélise un lancer de ce dé. 3 Une urne contient trois boules de couleurs différentes: jaune, rouge et vert. On tire une première boule au hasard, on la remet dans l'urne puis on tire une seconde boule. A l'aide d'un arbre déterminer l'univers Ω de cette expérience. Quelle est la probabilité de tirer deux fois la même couleur? Quelle est la probabilité de tirer des boules de couleurs différentes? 4 5 chevaux participent au tiercé. Combien de podiums sont possibles? On se place dans une situation d'équiprobabilité et on considère les événements: A:" le tiercé gagnant est 7-5-" B:" Le n 7 est gagnant" C:"Le n 7 est placé" Déterminer p(a), p(b) et p(c). 5 On considère six cubes, chacun portant une lettre du mot FRANCE. On mélange les cubes puis on les aligne au hasard de manière à former un "mot" de six lettres. On pose: A:" Les trois premières lettres du mot formé sont FRA" B:" Le mot se termine par E" 6 On lance une pièce de monnaie parfaitement équilibrée quatre fois de suite. Représenter à l'aide d'une arbre les issues possibles de cette expérience. Quelle est la probabilité de l'événement A:"obtenir au moins une fois pile"? 7 Après des études statistiques on estiment que 80% de la population possède un caractère génétique A et 60% un caractère génétique B. De plus 45% des individus possède les deux caractères. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle n'ait aucun des deux caractères? 8 Du fait d'un relevé des compteurs d'eau, 3 locataires laissent leur clé à la gardienne de l'immeuble. A leur retour elle leur rend leur clé au hasard. De combien de façons différentes la gardienne peut-elle rendre les clés? Donner la probabilité de: A:" Tous les locataires récupèrent leur clé" B:" Un seul locataire récupère sa clé" C:" Aucun locataire ne récupère sa clé"