Induction et forces de Laplace

Induction et forces de Laplace Chapitre 2 : Induction électromagnétique Sommaire 1 Aspect expérimental 1 1.1 Découverte du phénomène d induction électromagnétique......................... 1 1.2 Caractérisation du phénomène........................................ 1 1.3 Résultats expérimentaux............................................ 2 1.3.1 Flux magnétique............................................ 2 1.3.2 Loi de Faraday............................................. 2 1.3.3 Loi de modération de Lenz...................................... 3 2 Circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps (induction de Neumann) 3 2.1 Le phénomène d auto-induction........................................ 3 2.1.1 Description du phénomènre...................................... 3 2.1.2 Flux propre et inductance propre................................... 4 2.1.3 Auto-induction et loi de modération de Lenz............................ 5 2.2 Bobines en interaction............................................. 5 2.2.1 Inductance mutuelle entre deux bobines............................... 5 2.2.2 Circuits couplés par inductance mutuelle............................... 5 2.2.3 Transformateur de tension....................................... 6 3 Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire (induction de Lorentz) 6 3.1 Conversion de puissance mécanique en puissance électrique........................ 6 3.1.1 Dispositif des rails de Laplace..................................... 6 3.1.2 Freinage électromagnétique...................................... 8 3.1.3 Circuit en rotation dans un champ magnétique uniforme...................... 8 3.2 Conversion de puissance électrique en puissance mécanique........................ 10 3.2.1 Moteur à courant continu à entrefer plan.............................. 10 3.2.2 Haut-parleur électrodynamique.................................... 10 Page 1 Aspect expérimental 1.1 Découverte du phénomène d induction électromagnétique L expérience d Oersted a montré qu un courant électrique était une source de champ magnétique. En 1830, Mickael Faraday tente de renverser le phénomène en produisant un courant électrique à partir d un champ magnétique. Une des expériences qu il a réalisée est schématisée sur la figure suivante : 2013/2014 1/11

Deux bobines sont reliées entre elles par un matériau ferromagnétique (matériau permettant le guidage des lignes de champ magnétique). La première bobine, reliée à une pile, permet de créer un champ magnétique. La deuxième bobine, reliée à un galvanomètre (ampèremètre analogique permettant de mesurer de faibles courants), a pour objectif de produire un courant électrique à partir du champ magnétique la traversant. Les premiers essais de Faraday s averèrent infructeux : aucun courant permanent ne fut détecté. En revanche, il observa une déviation de l aiguille lors de l ouverture ou de la fermeture du circuit : Ce courant, généré ici par la variation du champ magnétique traversant un circuit électrique, est appelé courant induit. Ce phénomène est appelé induction électromagnétique. 1.2 Caractérisation du phénomène Une autre expérience a permis de caractériser le phénomène d induction : lorsque l on approche un aimant d un circuit électrique, un courant induit apparaît dans un sens bien déterminé, qui d ailleurs s inverse quand on éloigne l aimant : Les caractéristiques du courant induit sont les suivantes : L intensité du courant induit croît avec la vitesse d approche de l aimant. L intensité du courant induit est d autant plus grande que la surface de la bobine est grande. Le sens du courant induit est tel qu il génère un champ magnétique (appelé champ induit et noté B ind ) tendant à s opposer à la croissance du champ magnétique dû au rapprochement de l aimant. Il est possible également de laisser l aimant fixe (Le champ B est alors permanent) et de déplacer le circuit : on observe le même phénomène, ce que nous pouvions penser intuitivement, le phénomène important étant le déplacement relatif de l aimant par rapport à la bobine. 1.3 Résultats expérimentaux 1.3.1 Flux magnétique En vue de formaliser les lois de l induction, on introduit le flux magnétique, grandeur mathématique permettant de quantifier le champ magnétique traversant une spire. Conformément au programme, on se limite au cas où le champ magnétique est uniforme à l échelle de la spire. 2013/2014 2/11

Flux magnétique : Soient un circuit électrique orienté arbitrairement (par la flèche de i) et S le vecteur surface correspondant. Si le circuit baigne dans un champ magnétique B uniforme, le flux magnétique φ à travers le circuit est défini par la relation suivante : φ = B S (1) L unité SI du flux magnétique est le weber (Wb) : 1 Wb = 1 T m 2 1.3.2 Loi de Faraday L apparition d un courant induit montre que tout se passe comme si le circuit contenait un générateur de tension. La difficulté fut d exprimer la force électromotrice de ce générateur. Suite à ses obervations expérimentales, Faraday a établi la loi qui porte son nom : Loi de Faraday (1831) : Un circuit électrique orienté par le sens conventionnel de i et traversé par un flux φ(t) est le siège d une force électromotrice induite e, orientée en convention générateur et telle que : e = dφ dt (2) Méthode : utilisation de la loi de Faraday : La loi de Faraday nécessite de mettre en place des orientations et de les respecter durant toute la résolution d un problème d induction : 1. Orienter arbitrairement le circuit en choisissant un sens conventionnel pour le courant. 2. En déduire le vecteur surface S du circuit par la règle de la main droite. 3. Calculer le flux du champ magnétique à travers le circuit : φ = B S (expression valable seulement si B est uniforme à l échelle du circuit). 4. En déduire la force électromotrice induite e = dφ dt. 5. Dessiner le schéma électrique équivalent au circuit. Il s agit du schéma de départ auquel on ajoute un générateur électrique de force électromotrice e orienté en convention générateur. 6. Le schéma équivalent permet d écrire une ou plusieurs équations électriques pour calculer l intensité du courant induit. En considérant que la bobine de l expérience précédente puisse être assimilée à une spire pour laquelle le champ magnétique serait uniforme, appliquons la loi de Faraday afin de vérifier les observations expérimentales et notamment le sens du courant induit : 2013/2014 3/11

1.3.3 Loi de modération de Lenz Le phénomène d induction a été caractérisé de manière qualitative par Lenz : Loi de modération de Lenz : Le sens du courant induit est tel que, par ses effets, il tend à s opposer aux causes qui lui ont donné naissance. Ainsi, le rapprochement de l aimant dans une spire ou une bobine créé un courant induit, source d un champ magnétique qui s oppose à l accroissement du flux du champ magnétique. 2 Circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps (induction de Neumann) 2.1 Le phénomène d auto-induction 2.1.1 Description du phénomènre Lorsqu un circuit est parcouru par un courant, il créé lui-même un champ magnétique qui contribue au flux magnétique à travers le circuit et participe donc au phénomène d induction. On parle d auto-induction. Lors de l étude de l induction dans un circuit électrique, on appelle champ propre le champ magnétique créé par ce circuit. Le champ magnétique créé par d autres sources (autres circuits ou aimants) est appelé champ extérieur. Le champ magnétique qui règne au voisinage d un circuit électrique est la somme du champ propre et du champ extérieur : B tot = B ext + B propre (3) 2.1.2 Flux propre et inductance propre On appelle flux propre d un circuit le flux du champ magnétique propre à travers le circuit. L intensité du champ magnétique propre est proportionnelle à l intensité i du courant dans le circuit étudié (cf chapitre IFL1). Par conséquent, le flux propre, qui est proportionnel au champ magntique propre, est proportionnel à i. De plus, l orientation du champ magnétique propre est elle que la constante de proportionnalité est positive. Cette constante de proportionnalité, notée L, n est autre que le coefficient d inductance propre déjà rencontré lors de l étude des bobines en électricité. Inductance propre : Un circuit électrique filiforme parcouru par un courant d intensité i créé à travers lui-même un flux magnétique propre proportionnel à i : φ propre = Li (4) Le coefficient L, appelé inductance propre : est positif ; dépend uniquement de la géométrie du circuit ; a pour unité SI le henry (H). Exemple : En négligeant les effets de bords, calculer le coefficient d auto-inductance d un solénoïde de section S et de longueur l possédant N spires. Donner sa valeur numérique avec N = 1,0 10 3, l = 0,10 m, S = 1,0 10 3 m 2 : Pour préciser le fait que l auto-induction est prise en compte dans un problème, on représente une bobine dans le 2013/2014 4/11

circuit. Méthode : circuit fixe dans un champ B temporellement variable : Pour étudier un circuit filiforme fixe et indéformable dans un champ magnétique dépendant du temps, on peut proposer la méthode suivante : 1. Orienter le circuit 2. Calculer le flux magnétique 3. Exprimer la fem induite e = e ext + e L où e ext = dφext dt est la part de la fem due au champ magnétique extérieur et e L = L di dt est la part due au champ magnétique propre du circuit. (e L est appelée force électromotrice induite), 4. Représenter le schéma équivalent, constitué des éléments réellement présents dans le circuit, auxquels on ajoute la fem induite orientée en convention générateur. 5. Obtenir l équation électrique du circuit à partir du schéma équivalent. Exemple : Considérons par exemple le cas d un circuit filiforme plan, de résistance R, d aire S, d auto-inductance L et plongé dans un champ magnétique uniforme variable sinusoïdalement dans le temps et orthogonal au plan du circuit : B(t) = B 0 cos(ωt)e z. Représentons le schéma équivalent au circuit et établissons l équation électrique régissant le comportement de l intensité du courant électrique : 2.1.3 Auto-induction et loi de modération de Lenz Dans cette section, on étudie un circuit électrique en l absence de champ magnétique extérieur. On considère un circuit électrique filiforme d auto-inductance L, de résistance R, alimenté par un générateur de force électromotrice E. A l instant t = 0, on ferme l interrupteur K permettant l établissement du courant. Déterminons l évolution de l intensité i du courant électrique au cours du temps et discutons de l influence de L : 2.2 Bobines en interaction 2.2.1 Inductance mutuelle entre deux bobines Si deux circuits électriques sont proches l un de l autre, chacun baigne dans le champ créé par l autre. En indiçant 1 et 2 les grandeurs relatives aux deux circuits et en notant φ i j le flux magnétique créé par le circuit i à travers le circuit j, on obtient les relations de proportionnalité : 2013/2014 5/11

Par des arguments théoriques hors programme, on peut montrer que les coefficients M 1 2 et M 2 1 sont égaux. On note M cette valeur commune, appelé inductance mutuelle des deux circuits. Inductance mutuelle : Soient deux circuits filiformes. On définit l inductance mutuelle M entre les deux circuits par : φ 1 2 = Mi 1 φ 2 1 = Mi 2 (5) Il dépend uniquement de la géométrie de l ensemble des deux circuits et s exprime en henrys. Son signe peut être quelconque : il dépend des orientations arbitraires des circuits. 2.2.2 Circuits couplés par inductance mutuelle On considère deux circuits fixes couplés par inductance mutuelle, contenant chacun un générateur (fem respectives E 1 et E 2 ) et une résistance. On note L 1 et L 2 les coefficients d inductance propre et M le coefficient d inductance mutuelle. Etablissons les équations régissant les intensités i 1 et i 2 des courants dans les deux circuits : 2.2.3 Transformateur de tension Un transformateur de tension convertit une tension alternative en une tension alternative de même fréquence mais de valeur efficace différente. Son principe de fonctionnement repose sur le phénomène de couplage par induction mutuelle. Un transformateur est un quadripôle composé de deux enroulements de fils autour d un matériau ferromagnétique qui permet de canaliser les lignes de champ magnétique. L enroulement de gauche, constitué de N 1 spires, est appelé enroulement primaire. Celui de droite, constitué de N 2 spires, est appelé enroulement secondaire : Le champ magnétique étant parfaitement canalisé dans le matériau ferromagnétique, son flux φ a la même valeur dans toute section plane : φ s appelle le flux commun. En appliquant la loi de Faraday, déterminons le rapport des 2013/2014 6/11

tensions U 1 et U 2 aux bornes du primaire et du secondaire : 3 Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire (induction de Lorentz) 3.1 Conversion de puissance mécanique en puissance électrique 3.1.1 Dispositif des rails de Laplace Les rails de Laplace correspondent à deux rails conducteurs horizontaux et fixes sur lesquels peut coulisser une barre conductrice qui referme le circuit : On note R la résistance du circuit. Un opérateur exerce une force constante F op mouvement la barre mobile. Sa vitesse est notée v(t) : = F op e x afin de mettre en Equation électrique : Etablissons l équation électrique en appliquant la loi des mailles au circuit équivalent : Equation mécanique : La barre étant parcourue par un courant et plongée dans un champ magnétique extérieur, elle est soumise à des actions de Laplace. Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à la barre mobile afin d établir l équation mécanique : 2013/2014 7/11

Les équations mécanique et électrique sont couplées : toutes deux contiennent v(t) et i(t) qui sont des grandeurs dépendant a priori du temps. Pour résoudre ces équations, il faut d abord les découpler. Déterminons ainsi la vitesse v(t) et l intensité i(t) : Remarque 1 : S il n y avait pas de champ magnétique, la vitesse de la barre tendrait vers l infini. En présence d un champ magnétique, la barre est soumise à la force de Laplace qui est résistante : elle s oppose à la vitesse de la barre et ce d autant plus fortement que sa vitesse est grande. Ceci est une manifestation de la loi de modération de Lenz : le mouvement de la barre créé un courant induit. La barre mobile est alors soumise à la force de Laplace qui tend à s opposer au mouvement de la barre. Remarque 2 : Il est satisfaisant que B interviennent au carré dans l expression de la force de Laplace : elle s oppose ainsi au mouvement quelque soit le signe de B, conformément à la loi de Lenz. Bilan de puissance : Effectuons un bilan de puissance en multipliant l équation électrique par i et l équation mécanique par v : 3.1.2 Freinage électromagnétique Déterminons l équation du mouvement de la barre du dispositif des rails précédents en l absence d opérateur extérieur (F op = 0) : C est le principe des ralentisseurs électromécaniques utilisés dans les poids lourds. Seule la géométrie du dispositif diffère. Dans un camion, il existe un disque métallique solidaire de l essieur : ce disque tourne à la même vitesse angulaire que les roues. Un électroaimant peut générer, sur demande du conducteur, un champ magnétique orthogonal au plan du disque. Ainsi, lorsque le camion roule, le disque en rotation est mobile dans un champ magnétique permanent : des courants induits prennent naissance dans le volume du disque. Ces courants induits, appelés courants 2013/2014 8/11

de Foucault, donnent lieu à des actions de Laplace réparties sur le volume du disque. D après la loi de modération de Lenz, ces actions de Laplace tendent à ralentir la rotation du disque, donc à freiner le camion. Les ralentisseurs électromécaniques présentent les avantages suivants : Les actions de Laplace sont volumiques. L échauffement au freinage est mieux réparti que sur les freins conventionnels où il se fait uniquement dans la zone de frottement entre les plaquettes et le disque. Il n y a pas d usure mécanique. Si jamais la roue se bloque intempestivement, le freinage cesse automatiquement et la roue se débloque aussitôt (le couple de freinage est proportionnel à ω). Il n y a donc pas de risque de dérapage. Le couple de freinage électromagnétique, proportionnel à ω, n est efficace qu à grande vitesse. Il devient inefficace à petite vitesse. Ainsi, les ralentisseurs électromagnétiques doivent être secondés par des freins conventionnels. 3.1.3 Circuit en rotation dans un champ magnétique uniforme On considère un circuit rectangulaire DEF G d aire S orienté arbitrairement par l intensité électrique i. Il peut pivoter sans frottement autour de l axe z. Il est plongé dans un champ magnétique uniforme B = Be x orthogonal à l axe (Oz). Grâce à un couple Γ op = Γ op e z fourni par un opérateur, ce cadre tourne à la vitesse angulaire ω constante autour de l axe (O, e z ). La position angulaire du cadre est repérée par l angle orienté entre le champ magnétique et la normale unitaire n au cadre : θ(t) = (e x, n) = ωt. On note J le moment d inertie du cadre par rapport à l axe (O, e z ) et R sa résistance électrique. On néglige l auto-induction : Déterminons le flux magnétique à travers le circuit et déduisons-en la fem induite dans le circuit : Représentons le circuit électrique équivalent et écrivons l équation électrique : Donnons l expression du moment Γ la des actions de Laplace par rapport à l axe (O, e z ) et vérifions qu il y a accord avec la loi de Lenz : Etablissons l équation du mouvement du cadre (équation mécnique) : 2013/2014 9/11

Etablissons un bilan de puissance électrique et mécanique pour le cadre : 3.2 Conversion de puissance électrique en puissance mécanique 3.2.1 Moteur à courant continu à entrefer plan Cette section illustre le principe des moteurs électriques sur la géométrie simplifiée correspondant au dispositifs des rails de Laplace. La barre [CD] étnant initalement immobile, le générateur fair circuler un courant. Etant plongée dans un champ magnétique, la barre est alors soumise à une force de Laplace qui la met en mouvement. Le circuit est donc le siège d une fem induite, ce qui donne le schéma équivalent suivant : En négligeant l auto-induction, déterminons l expression de la vitesse v(t) de la barre au cours du temps : 3.2.2 Haut-parleur électrodynamique Un haut-parleur doit convertir un signal électrique (tension variable dans le temps) en signal mécanique (vibration d une membrane pour émettre le son). Le schéma suivant représente les principaux éléments du haut-parleur : 2013/2014 10/11

Le principe de fonctionnement peut être décrit par le modèle simplifié des rails de Laplace : le haut parleur est alors représenté par des rails de Laplace horizontaux, plongés dans un champ magnétique extérieur uniforme B = Be z orthogonal au plan du circuit. La barre [CD], de masse m et de longueur l, est la seule partie mobile. Elle est liée mécaniquement aux parties fixes du circuit par un ressort de raideur k, qui ne joue aucun rôle électrique. La barre, en se déplaçant, entraîne avec elle une membrane qui émet des ondes sonores. De ce fait, la barre est soumise à une force résistance F son = αv, avec α > 0. On note L le coefficient d auto-inductance (cela tient compte du fait que le circuit d un vrai haut-parleur est bobiné) : Déterminons la fem induite dans le circuit lors du mouvement de la barre mobile [CD] et déduisons-en le schéma électrique équivalent ainsi que l équation électrique du circuit : Etablissons l équation mécanique de la barre : Le générateur délivre la tension E(t) = E cos(ωt) d amplitude E et de pulsation ω. Les équations étant linéaires, les grandeurs i et v et x sont sinusoïdales de pulsation ω. Ainsi, la membrane vibre en émettant une onde sonore à la même pulsation ω que le signal électrique d alimentation. 2013/2014 11/11