1/20 Microéconomie 1 - Département d économie ENS 2016-2017
2/20 Pourquoi les programmes d otpimisation statique (1)? Une des hypothèses fondamentales de la théorie microéconomique est que les individus sont optimisateurs Leurs décisions peuvent être prédites (avec une marge d erreur plus ou moins importante) si on connait leur fonction-objectif et les contraintes auxquelles ils font face Ce cadre peut servir à modéliser un grand nombre de situations Il s agit d une hypothèse de travail Elle est simplificatrice, volontairement réductrice On peut en tester la validité empirique dans un contexte précis NB : la non-conformité des prédictions peut découler d un manque de réalisme de l hypothèse de comportement, mais aussi d une mauvaise évaluation des contraintes ou de la fonction objectif
3/20 Pourquoi les programmes d otpimisation statitque (2)? Les problèmes étudiés en consistent donc généralement à résoudre une optimisation sous contraintes Objectif : trouver les valeurs des variables de décision qui maximisent la fonction-objectif de l agent Outil principal en : une fonction appelée Lagrangien et les multiplicateurs de Lagrange associés (autant que de contraintes) Son grand frère en optimisation dynamique : le Hamiltonien, lorsque le temps est modélisé de façon continue (et non discrète)
4/20 On considère le programme de maximisation P suivant, avec m contraintes : { max f (x) P x s.c. g i (x) c i i = 1,...,m On appelle Lagrangien L la fonction : m ( ) L(x,λ) = f (x) λ i gi (x) c i i=1 On appelle multiplicateur de Lagrange les scalaires λ i Il y en a autant que de contraintes ( λ est un vecteur) peut être pensé comme un outil qui va permettre la résolution de problèmes d
5/20 Pour pouvoir utiliser le Lagrangien en, il faut que certaines conditions soit vérifiées dépendent du type de contraintes posées dans le programme P Fait intervenir la notion de matrice jacobienne : lorsque les fonctions contraintes g i sont toutes linéaires, alors la condition de de la contrainte est vérifiée Condition suffisante mais pas nécessaire
6/20 premier ordre (CPO) A partir du Lagrangien, on peut poser les conditions de Kuhn et Tucker Ces conditions permettent de résoudre un problème d dans le cas le plus général, avec m contraintes d inégalité Ces conditions sont (une manière de poser) les conditions de premier ordre Les CPO permettent de caractériser les potentielles solutions au problème d optimisation On parle de premier ordre car elles font intervenir les dérivées premières du Lagrangien (et donc de la fonction objectif) Les conditions K-T Mais une fois qu on a déterminé les candidats... Comment déterminer quelles sont les solutions effectives?
7/20 Au-delà du premier ordre Pour qu un vecteur identifié comme solution potentielle par les CPO soit effectivement solution du problème d optimisation, il faut qu il vérifie les conditions de (CSO) Il peut y avoir plusieurs maxima locaux et un seul maximum global Il peut y avoir aussi plusieurs maxima globaux Ex : Si vous n êtes pas capable de vous décider entre n avoir que la moitié de votre sandwich et 2 desserts ou avoir tout votre sandwich et 1 seul dessert lors d une séance d Economie pratique, ces deux paniers peuvent être tous les deux des maximas globaux Second ordre il faut regarder les dérivées secondes du Lagrangien ou de la fonction objectif Beaucoup moins simples que les CPO... Et de ce fait, souvent laissées de côté!
8/20 Soit f une fonction objectif à k variables, et g i un ensemble de fonctions définissant m contraintes. Soit P le programme de maximisation suivant : Soit x une solution aux CPO max x1,...,x n f (x 1,...,x k ) s.c. g i (x 1,...,x k ) c j i = 1,...,m Conditions de suffisantes pour que x soit un : Si f est concave et les g i i = 1,...,m sont convexes x est un Si f est quasi-concave et les g i quasi-convexes x est un i = 1,...,m sont
9/20 Exemple d application : choix du consommateur Soit une fonction d utilité U(x) représentant des préférences individuelles, avec x un panier de consommation, p le vecteur des prix de marché et R le revenu de l individu : Une contrainte budgétaire : px R k contraintes de non-négativité : x 0 Soit x une solution aux CPO On définit, pour les k +1 contraintes : g 0 (x) = px g j (x) = x j j = 1,...,k Hypothèses sur les préférences : Préférences rationnelles et continues existence d une solution Préférences convexes CSO suffisantes : Préférences convexes U(.) est quasi-concave i = 0,...,k, g i (.) est linéaire, donc quasi-convexe x est un ( pas nécessairement unique)
10/20 Soit f une fonction objectif à k variables, et g j un ensemble de fonctions définissant m contraintes. Soit P le pb de minimisation suivant : Soit x une solution aux CPO min x1,...,x n f (x 1,...,x k ) s.c. g j (x 1,...,x k ) c j j = 1,...,m Conditions de suffisantes pour que x soit un optimum global : Si f est convexe et les g j i = 1,...,m sont concaves x est un Si f est quasi-convexe et les g j quasi-concaves x est un i = 1,...,m sont
11/20 Comment déterminer la (quasi)-concavité d une fonction? Fonction à : il faut regarder la matrice hessienne de la fonction ou sa matrice hessienne bordée La Hessienne, H, de dim. (k,k) : f 11 f 12... f 1k f 21 f 22... f 2k........ f k1 f k2... f kk La Hessienne bordée, H, de dim. (k +1,k +1) : 0 f 1 f 2... f k f 1 f 11 f 12... f 1k f 2 f 21...... f 2k........... f k f k1...... f kk où f i = f (x) x i et f ij = f i (x) x j
12/20 Propriétés importantes des matrices hessiennes Pour caractériser la fonction f, il va falloir mobiliser plusieurs définitions relatives aux matrices : Déterminant, mineurs principaux, mineurs principaux diagonaux Matrice définie positive et matrice définie négative ; matrice semi-définie positive et matrice semi-définie négative Références : (à avoir lues et comprises une fois au moins!) Cours de maths pour économistes Julien Grenet, Vade mecum :. Lagrangien et conditions de Kuhn et Tucker. A conserver précieusement
13/20 Caractérisation de la concavité et de la convexité Caractérisation de la concavité pour une fonction f : R k R f concave la matrice hessienne de f est semi-définie négative x R k La matrice hessienne de f est définie négative x R k f est strictement concave Caractérisation de la convexité pour une fonction f : R k R f convexe la matrice hessienne de f est semi-définie positive x R k La matrice hessienne de f est définie positive x R k f est strictement convexe Rappels : f est concave ( f ) est convexe La somme de deux fonctions convexes (resp. concaves) est convexe (resp. concave)
14/20 Caractérisation de la quasi-concavité Il faut déterminer le signe des mineurs principaux diagonaux Il faut regarder les mineurs principaux d ordre 2 à k +1 Caractérisation de la quasi-concavité pour f : R k R Les mineurs principaux diagonaux D j de la matrice hessienne bordée de f alternent en signe à partir de j = 2, avec D j > 0 pour j impair et D j < 0 (pour j pair) f est quasi-concave Les mineurs principaux diagonaux D j de la matrice hessienne bordée de f sont tous négatif (D j < 0) pour j 2 f est quasi-convexe Rappels : f quasi-concave ( f ) quasi-convexe f concave f quasi-concave f quasi-concave et g monotone strictement croissante g f quasi-concave La concavité n est en revanche pas préservée
15/20 Exemple de la Cobb-Douglas Soit la fonction objectif U(x 1,x 2 ) = x α 1 x β 2 avec 0 < α,β < 1. Déterminez les signes des mineurs principaux diagonaux d ordre 2 et 3. Qu en conclure sur la fonction U(.)? Qu est-ce que cela implique pour le PMU? NB : on doit trouver que le mineur principal diagonal d ordre 3 vaut ( ) αβ(α + β) x1 3α 2 x 3β 2 2
16/20 CSO en pratique Il y a quelques cas simples qui se rencontrent fréquemment dans les problèmes de micro et pour lesquels on peut se passer des matrices hessiennes : Préférences rationnelles et continues : alors le maximum global existe Préférences strictement convexes : alors les fonctions d utilité associées seront strictement quasi-concaves. Dans ce cas, le est unique Préférences convexes (a priori non-strictement) : alors les fonctions d utilité sont quasi-concaves. Dans ce cas, les candidats caractérisés par les CPO sont des maxima globaux Mais le maximum n est pas nécessairement unique! avec la pratique, on finit par connaître la forme des fonctions d utilité les plus usuelles et leurs implications pour les programmes d optimisation (existence et unicité de la solution, solution en coin, etc.)
17/20 Kuhn et Tucker Rappel des conditions de Kuhn et Tucker dans un cas classique : maximisation d utilité sous contrainte budgétaire On suppose une économie avec n biens de prix p 1,...,p n strictement positifs, un individu avec un revenu R > 0 Programme : Lagrangien : max U(x 1,...,x n ) x 1,...,x n n s.c. p k x k R, x i 0 i = 1,...,n k=1 L (x 1,...,x n,λ,µ 1,...,µ n ) = U(x 1,...,x n )+λ ( n ) n R p k x k + µ k x k k=1 k=1 n + 1 multiplicateurs de Lagrange
18/20 Kuhn et Tucker Kuhn et Tucker sont : (1) (2a) (2b) L (x 1,...,x n,λ,µ 1,...,µ n) = 0 k = 1,...,n U(x 1,...,x n ) = p x k x k µ k k L (x 1,...,x n,λ,µ 1,...,µ n) 0 k = 1,...,n x µ k 0 k L (x 1,...,x n,λ,µ 1,...,µ n) 0 λ (3a) µ k 0 k = 1,...,n (3b) λ 0 (4a) µ k x k = 0 k = 1,...,n (4b) λ ( n R p k x ) k = 0 k=1 n p k x k R k=1
19/20 Interprétation des conditions de Kuhn et Tucker (1) Les conditions (1) permettent d obtenir l égalité entre le TMS et le rapport des prix dans le cas d une solution intérieure Dans le cas d une solution en coin, elles indiquent que le TMS est relativement trop faible ou trop élevé par rapport au rapport des prix Ainsi lorsque µ 1 > 0, U 1 ( ) p U 2 ( ) = 1 µ 1 < p 1. L utilité marginale p 2 p 2 procurée par le bien 1 est trop faible compte tenu de son prix, relativement à ce qu elle est pour le bien 2. L agent a intérêt à ne pas consommer de bien 1 (solution en coin avec x1 = 0). Les conditions (2) correspondent aux contraintes associées au programme
Interprétation des conditions de Kuhn et Tucker (2) Les contraintes (3) correspondent à des normalisations posées sur les multiplicateurs de Lagrange Les contraintes (3) et (4) peuvent être interprétées conjointement λ correspond à l utilité marginale du revenu. Lorsque λ > 0, (4b) contrainte budgétaire saturée. Dans ce cas, l utilité marginale du revenu est bien strictement positive puisqu un euro de revenu additionnel permettrait d augmenter strictement l utilité Inversement, si px < R alors λ = 0. Si à l optimum la contrainte budgétaire n est pas saturée, cela signifie que l utilité marginale du revenu à l optimum est nulle. µ k indique le niveau de contrainte imposée par la réalité. Lorsque µ k > 0 (4a) x k = 0. La contrainte physique de non-négativité est saturée : l agent augmenterait son utilité en consommant encore mois de bien k, mais il ne peut pas. Inversement, si xk > 0, alors µ k = 0. Dans ce cas, ce n est pas la contrainte de non-négativité qui empêche l agent d augmenter son niveau d utilité. Retour 20/20